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1、一道向量试题引起的思考王小青一、问题（本题是江苏教育出版社必修课本第页习题第题）设a、b 是两个非零向量，如果( a3b)(7a5b )，且 ( a 4b) (7 a 2b) ，求向量 a 与向量 b 的夹角 .笔者参加年如皋市期末试卷命题时，将此题改为：已知两个非零向量a、b 的夹角为，3且 (a3b)(7a5b) ，求两向量 a 4b与 7a 2b 的夹角 .二、阅卷反馈.答题预测从年开始江苏高考数学试卷包含两大题，一是填空题共题， 每小题分； 二是解答题共道.第、题每题分，第、题每题分，第、题每题分，全卷满分分.如皋市期末考试将本题安排在解答题第题，满分分，笔者本意想把该题作为容易题送分
2、给学生，提高全市的平均分，我估计学生得分均分至少分.学生答题反馈由 (a3b)(7a5b) 得 (a3b)(7 a5b)0， 即 7 | a |216a b 15 |b |20， 又1，所以有7 | a |28 | a | | b | 15 | b |20(1).设两个向量a4b与向量ab| a| b |27a2b 的夹角为，则 cos(a4b)(7 a2b) ，| a4b|7a2b |再算 (a4b)(7a2b)7 | a |230ab8 | b |27 | a |215 | a | | b |8| b |2(2).有部分学生继续往下算得：| a4b |2| a |28ab 16 | b |
3、2 | a |24 | a | | b | 16 | b |2(3) ，| 7a2b |249 | a |228a b 4 | b |249 | a |214 | a | | b | 4| b |2(4) ，至此，多数学生无法运算下去了.全如皋市参考的学生中，的学生花费了较多的时间思考了此题，但最后平均得分为分.三、剖析就题目本身来看，学生做不下去的关键是（）式左边整体的形式与（）、（）、（）式的关1 / 5系非常不明显，学生无法进行运算.其实向量的模是正实数，本题的本质是转化为实数的运算，在实数范围内将（）式因式分解为(7 | a |5 | b |)(| a | b |)0 ，可得 | a
4、| | b | ，再将此结论直接代入（）式可得(a4b) (7a2b)7 | a |215 | a | | b |8 | b |20 ，所以 cos0 ，则两向量 a4b 和 7 a2b 夹角为.2四、反思此题若用因式分解来求解， 比原来的课本题目要简单的多 .为什么这么简单的一个 “操作”即因式分解学生就是想不到呢 ?而把题目做了那么繁， 花费了那么多时间， 还又得不到分数，究其原因问题还是出在我们教师的教学上.教师对学生的了解不够本届高一学生在初中学习时对因式分解的要求是了解，学生对因式分解的掌握仅仅是停留在“机械的操作”上，为什么要这样做却浑然不知；其二学生对向量的基本概念理解不深刻，对
5、向量加、减、数量积的运算及其运算律仅仅处于“机械操作”层面，不理解它们的本质含义，其实向量的模就是一正实数. 若本题借用换元手段，令| a |x,| b |y ，则有7 x28xy15y20 ，多数学生都会想到因式分解(7 x15y)( xy)0 ，由 x0, y0 ，所以x y ，往下转化为实数运算 .教师的主导性不够，对参考答案的理解不够深刻我们不少的教师在讲解课本习题时也只满足于教会学生如何去解题，没有深入的研究为什么要这样解，怎样想到这样解，还可以怎样解，该题的本质解法是什么等.教师是这样来处理课本习题的：先请学生独立思考，学生根据向量数量积定义很容易得到下列（）、（）两式由 ( a3
6、b) (7a5b) 得 (a 3b)(7a5b) 0，即 7 | a |216ab 15 |b |20(5)，再由 (a4b)(7a2b) ，得(a 4b )( a7b2) ，即 7 | a |230ab8| b |20(6) .再根据向量数量积余弦公式 cosa b，不少学生往下无法进行了.这时教师告诉学生将式 (5) (6) 得| a |b |2 / 5a b1 | b |2 ，再次代入（）式得 | a | | b | ，所以 cos1 ，则两向量的夹角为.223至此我们可以看到教师仅仅是把参考答案告诉学生，学生也知道如何求解这个问题，解题的关键一步是（） （） .象这样处理，把问题改变一
7、下学生不会处理是自然的了，在此教师用运算技巧掩盖了求解问题之本质，学生的“懂”仅仅停留在“会做”，会“复制”阶段，学生不能理解 “是什么”，更没有思考 “为什么” ，势必造成时间长一点，学生就完全忘记了，下次学生碰到这种问题时，仍然还是用自己头脑中建构的方法和思路来处理.在这里若教师追问：为什么要将（） （），其目的是什么？因为要求两向量之间的夹角，则必须知道向量数量积与向量模之间的关系.那本题还可以怎样处理呢？如(5)30(6)16 直接找到两向量的模相等，再代入求出向量数量积与向量模的关系.解决此向量问题的本质就是向量问题的实数化.怎样实现实数化呢？一是根据向量数量积的定义， 通过换元实数
8、化；二是通过建立坐标系实数化；三是依据平面向量基本定理，转化为基底向量的模和夹角的关系.五、感悟.解决向量运算问题本质是转化为实数的运算.（）换元法处理分析设 | a |m, | b |n ，根据题意( a3b) (7 a5b)0 ，所以 7m28mn15n20 ，则 mn ， (a4b) (7 a2b)7m28n215mn0 ，所以向量 a4b 与向量 7a2b 的夹角为 .2（）建立坐标系处理分析向量的表示方法有三种：基底向量表示、坐标表示、图形表示.建立坐标系设a( x, y),b (s,t )， 由 已 知 两 个 非 零向 量 a、b的 夹 角 为， 得3xs1x2y2s22(7)
9、，由 (a3b) (7a 5b) 得：ytt27( x2y2 )16( xsyt )15( s2t2 )0(8)，在这里我们可以看到（）（）两式其实是反映三个整体量xsyt,x2y2 ,s2t 2 之间的关系，将xsyt 代入（）式，可得x2y2s2t2，从而 (a4b)(7 a2b)7( x2y2 ) 30(xsyt)8(s2t 2 )0 ，则向量a4b 与向量 7a2b 的夹角为 .2（）借用基底向量处理3 / 5在平面凸四边形中，点，分别是边，的中点，且4 ， EF3 ， 2若 AD BC15 ，则 AC BD 的值为本题源于课本必修习题. .感受理解第题和选修空间向量的应用的一道题分析
10、 已知三边 AB、EF、 CD 长，取 AC 的中点 G ，连接 EG、FG ，则三角形 EFG 为确定的三角形 .由 AD BC6 ，有 ( AC CD ) ( BA AC )AC(BAAC CD )CDBA ACBD CD BA ，所以AC BD 6 CDBA ，又 CDBA4 ，所以 AC BD 的值为 .教师的专业成长感悟（）关注初高中的衔接高中教学时在学习新的一章时教师要提前思考，初中与本章有关的内容要求是什么，讲解到什么程度， 在即将开始新知识学习时需要补充那些内容等；在讲授新内容时要及时总结所学的新知识与学生已经掌握的知识内在联系，能否通过某些手段将所学的新知识新方法转化为已经建
11、构的知识的联系教学和揭示问题本质的教学2.再如 xa x b c 0 ，此方程有几解.（）教师要钻研教材，深刻领会教材和教参的本质在我们的日常教学中教师往往是把教材与教参内容照本宣科讲授给学生，把教师预设的教案原封不动的传递给学生，把基本方法和基本技能归纳给学生，把解决问题的思路和方法展示给学生， 而对思路的寻求过程以及为什么要这样解、怎样想到这样解重视不够， 对解决问题的思维和策略揭示不够，忽视数学教育的本质问题，表现在将所研究的问题稍作改变，学生就不知怎么办.在我们的教学中要将教材教参中“静态”知识转化为动态的、生成的教学资源， 把课堂“复制知识”转化为动态的、生成的课堂，提升学生的思维，增强应用意识.在现代社会中， 数学教育是终身教育的重要方面，它是公民进一步深造的地位，它使学生掌握数学的基础知识、基本技能、基本思想、使学生表达清晰、思考有条理，使学生具有实事求是的态度.高中数学课程有助于学生认识数学的应用价值，增强应用意识，这就要求我们的数学教学应注重提高学生的数学思维能力，形成解决简单实际问题的能力，这
