第四章数列3. (1)指出这个数列的［例1］已知数列1, 4, 7, 10,…，3n+7,其中后一项比前一项大通项公式；(2)指出1+4+…+ (3n—5)是该数列的前几项之和.,正解：(1) an=3n —2;“(2)1+4+…+ (3n—5)是该数列的前 n-1项的和.,,22［例2］已知数列an的前n项之和为① Sn2n n ②Sn n2 n 1求数列an的通项公式正解：①当n 1时，a1 S1 1当 n 2时，an 2n2n 2(n 1)2 (n 1) 4n 3I经检验n 1时a1 1也适合,an 4n 3I②当n 1时，a1 S13I当 n 2时，an n2n 1 (n 1)2 (n 1) 1 2nan3 (n 1)2n (n 2)［例3］已知等差数列an的前n项之和记为 S, S10=10 , S30=70,则S0等于正解：由题意:10al30al10 9, d230 29 , d210得a170一，d5215.、一 40 39代入得 S40 = 40a1 40d 1202［例5］已知一个等差数列an的通项公式an=25- 5n,求数列| an |的前n项和；正解：n(45 5n)2(20 5n)(n 5)2,n 550, n 6［例6］已知一个等差数列的前 10项的和是310,前20项的和是1220,由此可以确定求其前 n项和的公式吗？1 n［例7］已知：an 1024 lg 2 (lg 2 0.3010 ) n N (1)问前多少项之和为最 大？ （ 2）前多少项之和的绝对值最小?解：（1 ）an 1024 (1 n)lg2 0an 11024 nlg2 010241024 ,n1lg2lg23401 n 3403••• n 3402I(2) Sn 1024n n" 1)( 1g 2) 02当Sn 0或Sn近于0时其和绝对值最小令：Sn0 即 1024+ 吗 1) ( 1g 2) 0得：n 2048 1 6804.991g2n Nn 6805［例8］项数是2n的等差数列,中间两项为an和an 1是方程x2px q 0的两根，求证此数列J白W口 S2n是方程lg2x （lg n2lg p2)1g x (lg n 1g p)20的根。
S2n 0)证明：依题意an an 1 p2n(a1a2n)a1a2nan an 1 p , S2n- 叩2•, 1g2x (lg n2 lg p2)1g x (lg n lg p)2 02一(lg x lg np) 0-1• x np S2n(状证)四、典型习题导练1 .已知 a13且anSn 12，求 an及 Sn2.设 an 1 2 2 3 3 4Jn(n—1),求证： nn―1) an2(n 1)223.求和：11 112 12 34.求和：(1002 992) (982 972)(42 32) (22 12)5.已知a,b,c依次成等差数列，求证:2 2 2a bc,b ac,c ab依次成等差数列6.在等差数列 an中，a5 a13 40 ,则a8 a9 a10A. 72B. 60C. 48D. 36n），则am n等于7 .已知an是等差数列，且满足 am n,an m（m，一.1 一11138 .已知数列 成等差数列，且 a3— a5-3,求a8的值an 267§ 4.2等比数列的通项与求和三、经典例题导讲［例1］已知数列an的前n项之和&=aqn （ a0,q 1,q为非零常数），则an为（）。
A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列，也不是等比数列 D.既是等差数列，又是等比数列,正解：当 n=1 时，a1=S=aq;当 n>1 时，an Sn Sn 1 aqn 1（q 1）但 a2q 1 qa1an既不是等差数列，也不是等比数列，选Co［例2］已知等比数列 an的前n项和记为8o=1Q , S3o=7O,则S等于.错解：S30= S10 , q 之.q 2= 7, q =77 ,S40= S30 , q = 70, 7 .错因：是将等比数列中S, S 2m - Sm, S 3m - Gm成等比数列误解为Sm, S 2m, S 3m成等比数列正解：由题意:10、a(1 q )1 q30a1(1 q )1 q70 q10 2 或 q103（舍去）2-a-(1 q40)200.1 q[例 3] 求和：a+a2+a3+…+an.错解：a+a 2+a3+," +an="---1 an项和公式（2）用错因：是（1）数列｛ an｝不一定是等比数列，不能直接套用等比数列前等比数列前n项和公式应讨论 q是否等于1.正解：当 a = 0 时，a+a2+a3+…+a”= 0;当 a= 1 时，a+a2+a3+- - +an = n;当 a 1 时， a+a 2+a3+…+an=1 an1 a［例4］设a,b,c,d均为非零实数，a2b2 d2 2b ac2 0,证明:求证：a,b, c成等比数列且公比为证法一：关于d的二次方程 a2 b2 d 2 2b a c db2。
有实根,4b2 a c4 a2 b2 (b2c2) 0b22ac 0则必有：b2 ac0,即b2 ac,，非零实数a, b, c成等比数列aq ，2 … 、c aq代入22 2.2a a q d 2aq a2 , aq d•- q2 1 a20,即 d22qd证法二：: a2 b2 d 2 2b ab2 c20a2d2 2abd b2,2.2 b d2bcd c2022ad b bd c••• a,b,c,d 非零，，ba［例5］在等比数列bn中，b43 ,求该数列前7项之积解：bib2 b3b4b5b6b7bmb2b6 b3b5 b4b42b1b7b3b5 ，••・前七项之积 32372187［例6］求数列｛n前n项和解：Sn2Sn1414181 o 1― 3 -816(n12n1)12n11两式相减：lsn -2212n 1112(1 / n11 五1 -2八1 n&2(12n *)212n 1n2n1kg盐水，然后加入1kg水，以后每［例7］从盛有质量分数为20%勺盐水2kg的容器中倒出次都倒出1kg盐水，然后再加入 1kg水,问：(1)第5次倒出的的1kg盐水中含盐多kg?(2) 经6次倒出后，一共倒出多少kg盐？此时加1kg水后容器内盐水的盐的质量分数为多少?解：(1)每次倒出的盐的质量所成的数列为{an},则:、 1 …a1= 0.2 (kg) , a2=—X0.2由此可见：an= ( — )n 1x 0.2 (kg),2(kg) , a3= ( 1 )2x 0.2 (kg)2a5= ( 1 )5 1x 0.2= ( 1)4X 0.2=0.01252 2(kg)。
『 …—，一 1(2) 由(1)得｛an｝是等比数列 a1=0.2 , q=—2S6a1(1 q6)1 q10.2(1 —) 2— 0.39375(kg)1 -20.4 0.393750.00625(kg)0.00625 2 0.003125(kg)答：第5次倒出的的1kg盐水中含盐0.0125kg; 6次倒出后，一共倒出0.39375kg盐，此时加1kg水后容器内盐水的盐的质量分数为0.003125四、典型习题导练1.求下列各等比数列的通项公式：1) a1= 2,a3= 82) a1=5,2an+1= 3ct3)a1=5, 且亘」 an2 .在等比数列 an ，已知a1 5, a9aio 100,求a- 012n_j3 .已知无穷数列 105,105,105,10 5 ,,求证：(1)这个数列成等比数列(2)这个数列中的任一项是它后面第五项的—,10(3)这个数列的任意两项的积仍在这个数列中4 .设数列an为1,2x,3x2,4x3nxn 1 x 0求此数列前n项的和5 .已知数列｛an｝中，a产2且an+尸S,求an , S6 .是否存在数列｛an｝,其前项和Sn组成的数列｛S｝也是等比数列，且公比相同?7 .在等比数列 an中，aia3 36, a? a,60, Sn 400 ,求n的范围。
§ 4.3 列的综合应用三、经典例题导讲1］设an是由正数组成的等比数列Sn是其前n项和.证明：log1 Sn2log 1 Sn 22>log〔 Sn 122log 1 Snlog 1 Sn错解：欲证—22->log： Sn 12只需证log 1 Sn2log〔 Sn 2>2log〔 Sn 1即证：log1(Sn2Sn22) > log1 Sn2由对数函数的单调性,只需证 (SnSn 2)< Sn 1Sn Sn 2 — Sn 1 =ai2(1qn)(1(1 q)n 2、q )2a2(1n 1 \2q )(1 q)22 n=—a1 q 0ccc2Sn Sn 2 V Sn 1原不等式成立.错因：在利用等比数列前n项和公式时，忽视了q= 1的情况.log1 Snlog1 Sn正解：欲证一22—> log 工 Sn2log 1 Sn 22>2logi Sn 12只需证log 1 Sn2即证：log 1 (Sn2Sn 2)>iog: S22由对数函数的单调性，只需证 (SnSn 2)< Sn 1由已知数列 an是由正数组成的等比数列,q >0, a10 .2人」Sn Sn 2 — Sn i = na[(n 2)a1 [(n1)ai]2若q 1,SnSn 2 - Sn 12nn 2、ai (1q )(1 q )a2(1n 1、2 q )(1q)2(1 q)22 n=—a1 q 0Sn Sn 2 Vsl21原不等式成立.。