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1、专题八：初中数学数形结合思想九年级数学集备组组员：郑步群、张彩霞、方国财知识梳理通过图形，探究数量关系，再由数量关系研究图形特征，使问题化难为易，由数想形、由形知数，这就是一种数形结合思想。数形结合是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索，使抽象思维和形象思维相结合，通过“以形助数”或“以数解形”可使复杂问题简单化，抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷，从而起到优化计算的目的 华罗庚先生曾指出：“数与形本是相倚依，焉能分作两边飞；数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万
2、事休”这充分说明了数形结合数学学习中的重要性，是中考数学的一个最重要数学思想典型例题一、在数与式中的应用【例1】实数、b在数轴上的位置如图所示，化简=_【例2】 如下图是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”，则搭n条“金鱼”需要火柴_根二、在方程、不等式中的应用【例3】已知关于x的不等式组的整数解共有2个，则的取值范围是 【例4】用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象(如图所示)，则所解的二元一次方程组是( )A B C D【例5】已知二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示，若关于x的方程x2+bx+ck=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 (
3、) Ak3 Bk=3 Ck3 D无法确定三、在函数中的应用【例6】如图为二次函数y=x2+bx+c的图象，在下列说法中：c0 当x1时，y随x的增大而增大。正确的说法有_(把正确的答案的序号都填在横线上)【例7】某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体(看成一点)在空中的运动路线如图所示，为经过原点O的一条抛物线(图中标出的数据为已知条件)要跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面米，入水处距池边的距离为4米，同时，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误， (1)求这条抛物线的解析式； (2)在某次试跳中，测得运动员在空中运
4、动路线是如图抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3导米，问此次跳水会不会失误?并通过计算说明理由【分析】(1)在给出的直角坐标系中，要确定抛物线的解析式，就要确定抛物线上三个点的坐标，如起跳点O(0，0)，入水点(2，10)，最高点的纵点标为(2)求出抛物线的解析式后，要判断此次跳水会不会失误，就是要看当该运动员在距池边水平距离为米，时，该运动员距水面高度与5米的关系四、在概率统计中的应用【例8】某报社为了解读者对本社一种报纸四个版面的喜欢情况，对读者作了一次问卷调查，要求读者选出自己最喜欢的一个版面，将所得数据整理后绘制成了如图所示的条形统计图： (1)请写出从条形统计
5、图中获得的一条信息； (2)请根据条形统计图中的数据补全扇形统计图，并说明这两幅统计图各有什么特点； (3)请你根据上述数据，对该报社提出一条合理的建议综合训练 1“数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点P所表示的数是”，这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做( ) A代入法 B数形结合 C换元法 D分类讨论 2如图，两温度计读数分别为我国某地今年2月份某天的最低气温与最高气温，那么这天的最高气温比最低气温高 ( )A5 B7 C12 D123某人从A地向B地打长途电话6分钟，按通话时间收费，3分钟以内收费24元，此后每加1分钟加收1元，则表示电话费y(元)与通话时间(分)之间的关系的
6、图象正确的是( ) 4若M，N，三点都在函数(ky3y1 By2y1y3 Cy3y1y2 Dy3y2y15关于x的一元二次方程x2xn=0没有实数根，则抛物线y=x2xn的顶点在( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 6若不等式组的解集为x0 B=0 C4 D=47福娃们在一起探讨研究下面的题目：函数y=x2x+m(m为常数)的图象如图所示，如果x=时，y0；那么x=1时，函数值( )Ay0 B0ym Dy=m下面是福娃们的讨论，请你解答该题贝贝：我注意到当x=0时，y=m0晶晶：我发现图象的对称轴为x=欢欢：我判断出x1b)如图1，把余下的部分剪拼成一个矩形如图2，通过计算两
7、个图形(阴影部分)的面积，验证了一个等式，则这个等式是_ 10如图，已知函数y=x+b和y=x+3的图象交点为P，则不等式x+bx+3的解集为_ _11方程组的解是_12如图，为实数、b在数轴上的位置，化简13(1)阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数、b，A、B两点之间的距离表示为当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，；当A、B两点都不在原点时， 如图2，点A、B都在原点的右边； 如图3，点A、B都在原点的左边，； 如图4，点A、B在原点的两边， (2)回答下列问题： 数轴上表示2和5的两点之间的距离是_，数轴上表示2和5的两点之间的距离是_，数轴上表示1和3的两点之
8、间的距离是_ _；数轴上表示x和1的两点A和B之间的距离是_ ，如果，那么x为_ 当代数式取最小值时，相应的x的取值范围是_ 14某厂生产一种产品，图是该厂第一季度三个月产量的统计图，图是这三个月的产量与第一季度总产量的比例分布统计图，统计员在制作图、图时漏填了部分数据 根据上述信息，回答下列问题： (1)该厂第一季度_ 月份的产量最高 (2)该厂一月份产量占第一季度总产量的_ _(3)该厂质检科从第一季度的产品中随机抽样，抽检结果发现样品的合格率为98请你估计：该厂第一季度大约生产了多少件合格的产品?(写出解答过程)15如图所示，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作ABBD，EDBD，连接AC、EC已知AB=5，DE=1，BD=8；设CD=x (1)用含x的代数式表示AC+CE的长； (2)请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小?(3)根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值 16如图，已知抛物线与x轴交于A(1，0)、B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，3)。 (1)求抛物线的解析式； (2)设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得PDC是等腰三角形?若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若点M是抛物线上一点，以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标55
