《湖南省郴州市一中高三十二月月考理科数学试题word版附解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《湖南省郴州市一中高三十二月月考理科数学试题word版附解析（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、湖南省郴州市一中高三十二月月考理科数学一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，若，则（ ）A. 3B. 2C. 3或2D. 3或1【答案】A【解析】【详解】由题，且，当 ，符合题意；当 ，此时，不符合题意.故 故选A.2.若复数的共轭复数是，且满足，则复数在复平面内对应的点为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】设，则 复数在复平面内对应的点为 .选 B .3.已知命题关于的方程有实根，则在区间上的使命题为真命题的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题命题关于的方程有实根，即或 ，则在区间上
2、的使命题为真命题的概率为 .故选D.4.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 故选B.5.在中，边所对的角分别为，且，则（ ）A. B. C. 2D. 1【答案】D【解析】 由正弦定理可得 故选D.6.设各项均为正数的等比数列的前项和为，且，则（ ）A. 242B. 162C. 80D. 54【答案】B【解析】由题各项均为正数的等比数列， 两式相比，可得（负值舍去），代入 故选D.7.如图，在中，过点且平行于的直线与线段交于点，记四边形的面积为，则函数的大致图像为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由图可知直线的斜率为2，设其方程为 由两点式可得 联立方程得 ，
3、由题四边形为梯形，其面积 结合选项可知选D8.阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果是（ ）A. 12B. 18C. 120D. 125【答案】C【解析】第一次运行：为奇数， 第二次运行：为偶数， 第三次运行：为奇数， 第四次运行：为偶数，程序终止运行，输出 故选C.9.在中，为斜边上的高，则（ ）A. 6B. 3C. -6D. -3【答案】D【解析】由题意 ，则 又 故选D.10.已知函数的图像经过点和，当时，方程有两个不等的实根，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为点在函数图像上， 又点 在函数图像上， 当方程有两个不等的实根时，已知函数d的图像
4、与直线有两个不同，由图像可知 故选D.11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 如图，由三视图可知该几何体为四棱锥，底面为正方形，侧面底面，过底面的中心作底面的垂线，则该几何体的外接球的球心在该垂线上，过作侧面 则垂足在的高线上，连接 ，则为球的半径，设 则 ，解得 故该几何体的外接球的表面积为 故选A.12.已知双曲线的离心率，对称中心为，右焦点为，点是双曲线的一条渐近线上位于第一象限内的点，的面积为，则双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题点所在的渐近线为三个该渐近线的倾斜角为，则 所以直线的倾
5、斜角为 则与联立解得 因为双曲线的离心率， 与联立得 ，故双曲线的方程为.故选C.二、填空题：本题共4小题，每题5分，满分20分.13.已知实数满足约束条件，则的取值范围是_【答案】【解析】线性约束体积表示的可行域如图所示，当目标函数与重合时取得最小值1，当目标函数经过点时母函数取得最大值，故，的取值范围是.即答案为.14.二项式的展开式中，项的系数是60，则项的系数是_【答案】-192【解析】展开式的通项是项的系数是得到 则项的系数是即答案为-192.15.抛物线上的点到抛物线的焦点的距离和到点的距离都等于5，则抛物线的方程为_【答案】【解析】抛物线的焦点为，则点到周的距离为 线段的中点坐标
6、为，由 可得 ，抛物线的方程为.即答案为.16.点分别是函数、图像上的点，若关于原点对称，则称是一对“关联点”.已知，则函数、图像上的“关联点”有_ 对【答案】2【解析】令 表示圆心为 ，半径为2 的半圆，作出这个半圆及其关于原点对称的半圆，在作出函数，由图像可知，满足条件的“关联点”有2 对.即答案为2.【点睛】本题主要考查新定义题目，其中正确题意，再利用数形结合的思想是解决本题的关键.三、解答题 ：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22/23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知是公差不为0的等差数列，满足，且成等比数列.（
7、1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）设等差数列的公差为，由成等比数列可知，又，解得即可得出（2）由（1）知，所以，可得 ，再利用裂项求和方法即可得出试题解析：（1）设等差数列的公差为，依题意有，即，因为，所以，解得（舍去）或，所以数列的通项公式为.（2）由（1）知，所以，所以，所以 ，所以 .18.某商场建成后对外出租，租赁付费按年收取，标准为：每一个商铺租赁不超过1年收费20万元，超过1年的部分每年收取15万元（不足1年按1年计算）.现甲、乙两人从该商场各自租赁一个商铺，两人的租赁时间都不超过3年.设甲、乙租赁时间不超过1年的概率分
8、别为，；租赁时间1年以上且不超过2年的概率分别为，.甲、乙租赁相互独立.（1）求甲租赁付费为50万元的概率；（2）求甲、乙两人租赁付费相同的概率；（3）设甲、乙两人租赁付费之和为随机变量，求的分布列与数学期望.【答案】（1）；（2）；（3）见解析.【解析】试题分析：（1）设“甲租赁时间不超过1年”为事件，“甲租赁时间1年以上且不超过2年”为事件，“甲租赁时间为2年以上且不超过3年”为事件.由题意知，由事件互斥，可求即为甲租赁付费为50万元的概率；（2）甲、乙两人的租赁付费相同的有三种情况：都是20万元，都是35万元，都是50万元，分别求出三种情况下的概率，求和即可得到甲、乙两人租赁付费相同的概
9、率；（3）由题意知，甲、乙两人租赁付费之和的可能取值为40，55，70，85，100.求出各种情况下的概率可得分布列和期望.试题解析：（1）设“甲租赁时间不超过1年”为事件，“甲租赁时间1年以上且不超过2年”为事件，“甲租赁时间为2年以上且不超过3年”为事件.由题意知，又事件互斥，所以.所以甲租赁付费为50万元的概率是.（2）甲、乙两人的租赁付费相同的有三种情况：都是20万元，都是35万元，都是50万元，则都是20万元的概率为：，都是35万元的概率为：，都是50万元的概率为：，所以，甲、乙两人租赁付费相同的概率是.（3）由题意知，甲、乙两人租赁付费之和的可能取值为40，55，70，85，100
10、.； ； ； .所以的分布列为：所以的数学期望 .【点睛】本题考查相互独立与互斥事件及对立事件的概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力19.已知长方体中，为的中点，在棱上，.（1）若异面直线与互相垂直，求的长；（2）当四棱锥的体积为时，求证：直线平面.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：如图，以为原点，分别以所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.得到相应点和相应向量的坐标，利用空间向量的夹角公式可得的长（2）证明：因为是长方体，在棱上，所以平面，所以四棱锥的体积，解得.此时为的中点，所以. 利用空间向量的知识可证得直线平面.试题解析
11、：（1）如图，以为原点，分别以所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.则，.设，则，因为，所以，即，解得.所以，当异面直线与互相垂直时，.（2）证明：因为长方体，在棱上，所以平面，所以四棱锥的体积 ，解得.此时为的中点，所以.由（1）可知，.设平面的法向量为，则，即，令，得，所以，因为，所以，因为直线平面，所以直线平面.20.椭圆：的离心率为，椭圆截直线所得的弦长为.过椭圆的左顶点作直线与椭圆交于另一点，直线与圆：相切于点.（）求椭圆的方程；（）若，求直线的方程和圆的半径.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）由题意布列方程组求椭圆方程；（2）联立得；联立得，易得，解得.试题解
12、析：（）由题意知，即，由椭圆截直线所得的弦长为，弦在第一象限的端点的坐标为，将代入上式，解得.椭圆的方程为.（）由（）知，设，设直线的方程为，联立，得，；联立，得，且；，解得，.21.设函数.（1）当时，求的极值；（2）当时，证明： .【答案】（1）当，取得极小值；当时，取得极大值；（2）见解析.【解析】【试题分析】(1)当时,利用导数写出函数的单调区间,进而求得函数的极值.(2)当时,化简原不等式得,分别利用导数求得左边对应函数的最小值,和右边对应函数的最大值, 最小值大于最大值,即可证明原不等式成立.【试题解析（1）当时， ， 当时，在上单调递减； 当时，上单调递增； 当时，在上单调递减
13、所以，当，取得极小值；当时，取得极大值 （2）证明：当时，所以不等式可变为要证明上述不等式成立，即证明设，则，令，得， 在上，是减函数；在上，是增函数所以 令，则，在上，是增函数；在上，是减函数，所以，所以，即，即，由此可知【点睛】本小题主要考查函数导数与极值的求法.考查利用导数证明不等式成立的问题. 求函数极值的基本步骤是:首先求函数的定义域,其次对函数求导,求导后一般需要对导函数进行通分和因式分解,然后求得导函数的零点,即原函数的极值点,结合图象判断函数的单调区间,并得出是最大值还是最小值.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.
14、在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标为（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若曲线和曲线有三个公共点，求以这三个公共点为顶点的三角形的面积【答案】(1)，；(2)4.【解析】试题分析：（1）根据同角三角函数平方关系将曲线的参数方程化为普通方程，根据将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，（2）求两曲线交点得三个交点的坐标，再根据三点关系求三角形的面积.试题解析：（1）由消去参数，得，即为曲线的普通方程.由得，结合互化公式得，即为曲线的直角坐标方程.（2）因为曲线和曲线都是关于轴对称的图形，它们有三个公共点，所以原点是它们的其中一个公共点，所以中，解得三个交点的坐标分别为， ， ，所以所求三角形面积.23.已知，.（1）解不等式；（2）若方程有三个解，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】分析】（1）对分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，
