《湖南省郴州市一中高三十二月月考理科数学试题word版附解析》由会员分享,可在线阅读,更多相关《湖南省郴州市一中高三十二月月考理科数学试题word版附解析(18页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、湖南省郴州市一中高三十二月月考理科数学一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知,若,则( )A. 3B. 2C. 3或2D. 3或1【答案】A【解析】【详解】由题,且,当 ,符合题意;当 ,此时,不符合题意.故 故选A.2.若复数的共轭复数是,且满足,则复数在复平面内对应的点为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】设,则 复数在复平面内对应的点为 .选 B .3.已知命题关于的方程有实根,则在区间上的使命题为真命题的概率为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题命题关于的方程有实根,即或 ,则在区间上
2、的使命题为真命题的概率为 .故选D.4.已知,则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】 故选B.5.在中,边所对的角分别为,且,则( )A. B. C. 2D. 1【答案】D【解析】 由正弦定理可得 故选D.6.设各项均为正数的等比数列的前项和为,且,则( )A. 242B. 162C. 80D. 54【答案】B【解析】由题各项均为正数的等比数列, 两式相比,可得(负值舍去),代入 故选D.7.如图,在中,过点且平行于的直线与线段交于点,记四边形的面积为,则函数的大致图像为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】由图可知直线的斜率为2,设其方程为 由两点式可得 联立方程得 ,
3、由题四边形为梯形,其面积 结合选项可知选D8.阅读如图所示的程序框图,运行相应程序,输出的结果是( )A. 12B. 18C. 120D. 125【答案】C【解析】第一次运行:为奇数, 第二次运行:为偶数, 第三次运行:为奇数, 第四次运行:为偶数,程序终止运行,输出 故选C.9.在中,为斜边上的高,则( )A. 6B. 3C. -6D. -3【答案】D【解析】由题意 ,则 又 故选D.10.已知函数的图像经过点和,当时,方程有两个不等的实根,则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为点在函数图像上, 又点 在函数图像上, 当方程有两个不等的实根时,已知函数d的图像
4、与直线有两个不同,由图像可知 故选D.11.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】 如图,由三视图可知该几何体为四棱锥,底面为正方形,侧面底面,过底面的中心作底面的垂线,则该几何体的外接球的球心在该垂线上,过作侧面 则垂足在的高线上,连接 ,则为球的半径,设 则 ,解得 故该几何体的外接球的表面积为 故选A.12.已知双曲线的离心率,对称中心为,右焦点为,点是双曲线的一条渐近线上位于第一象限内的点,的面积为,则双曲线的方程为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题点所在的渐近线为三个该渐近线的倾斜角为,则 所以直线的倾
5、斜角为 则与联立解得 因为双曲线的离心率, 与联立得 ,故双曲线的方程为.故选C.二、填空题:本题共4小题,每题5分,满分20分.13.已知实数满足约束条件,则的取值范围是_【答案】【解析】线性约束体积表示的可行域如图所示,当目标函数与重合时取得最小值1,当目标函数经过点时母函数取得最大值,故,的取值范围是.即答案为.14.二项式的展开式中,项的系数是60,则项的系数是_【答案】-192【解析】展开式的通项是项的系数是得到 则项的系数是即答案为-192.15.抛物线上的点到抛物线的焦点的距离和到点的距离都等于5,则抛物线的方程为_【答案】【解析】抛物线的焦点为,则点到周的距离为 线段的中点坐标
6、为,由 可得 ,抛物线的方程为.即答案为.16.点分别是函数、图像上的点,若关于原点对称,则称是一对“关联点”.已知,则函数、图像上的“关联点”有_ 对【答案】2【解析】令 表示圆心为 ,半径为2 的半圆,作出这个半圆及其关于原点对称的半圆,在作出函数,由图像可知,满足条件的“关联点”有2 对.即答案为2.【点睛】本题主要考查新定义题目,其中正确题意,再利用数形结合的思想是解决本题的关键.三、解答题 :共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22/23题为选考题,考生根据要求作答.17.已知是公差不为0的等差数列,满足,且成等比数列.(
7、1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.【答案】(1);(2).【解析】试题分析:(1)设等差数列的公差为,由成等比数列可知,又,解得即可得出(2)由(1)知,所以,可得 ,再利用裂项求和方法即可得出试题解析:(1)设等差数列的公差为,依题意有,即,因为,所以,解得(舍去)或,所以数列的通项公式为.(2)由(1)知,所以,所以,所以 ,所以 .18.某商场建成后对外出租,租赁付费按年收取,标准为:每一个商铺租赁不超过1年收费20万元,超过1年的部分每年收取15万元(不足1年按1年计算).现甲、乙两人从该商场各自租赁一个商铺,两人的租赁时间都不超过3年.设甲、乙租赁时间不超过1年的概率分
8、别为,;租赁时间1年以上且不超过2年的概率分别为,.甲、乙租赁相互独立.(1)求甲租赁付费为50万元的概率;(2)求甲、乙两人租赁付费相同的概率;(3)设甲、乙两人租赁付费之和为随机变量,求的分布列与数学期望.【答案】(1);(2);(3)见解析.【解析】试题分析:(1)设“甲租赁时间不超过1年”为事件,“甲租赁时间1年以上且不超过2年”为事件,“甲租赁时间为2年以上且不超过3年”为事件.由题意知,由事件互斥,可求即为甲租赁付费为50万元的概率;(2)甲、乙两人的租赁付费相同的有三种情况:都是20万元,都是35万元,都是50万元,分别求出三种情况下的概率,求和即可得到甲、乙两人租赁付费相同的概
9、率;(3)由题意知,甲、乙两人租赁付费之和的可能取值为40,55,70,85,100.求出各种情况下的概率可得分布列和期望.试题解析:(1)设“甲租赁时间不超过1年”为事件,“甲租赁时间1年以上且不超过2年”为事件,“甲租赁时间为2年以上且不超过3年”为事件.由题意知,又事件互斥,所以.所以甲租赁付费为50万元的概率是.(2)甲、乙两人的租赁付费相同的有三种情况:都是20万元,都是35万元,都是50万元,则都是20万元的概率为:,都是35万元的概率为:,都是50万元的概率为:,所以,甲、乙两人租赁付费相同的概率是.(3)由题意知,甲、乙两人租赁付费之和的可能取值为40,55,70,85,100
10、.; ; ; .所以的分布列为:所以的数学期望 .【点睛】本题考查相互独立与互斥事件及对立事件的概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望,考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力19.已知长方体中,为的中点,在棱上,.(1)若异面直线与互相垂直,求的长;(2)当四棱锥的体积为时,求证:直线平面.【答案】(1);(2)见解析.【解析】试题分析:如图,以为原点,分别以所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.得到相应点和相应向量的坐标,利用空间向量的夹角公式可得的长(2)证明:因为是长方体,在棱上,所以平面,所以四棱锥的体积,解得.此时为的中点,所以. 利用空间向量的知识可证得直线平面.试题解析
11、:(1)如图,以为原点,分别以所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.则,.设,则,因为,所以,即,解得.所以,当异面直线与互相垂直时,.(2)证明:因为长方体,在棱上,所以平面,所以四棱锥的体积 ,解得.此时为的中点,所以.由(1)可知,.设平面的法向量为,则,即,令,得,所以,因为,所以,因为直线平面,所以直线平面.20.椭圆:的离心率为,椭圆截直线所得的弦长为.过椭圆的左顶点作直线与椭圆交于另一点,直线与圆:相切于点.()求椭圆的方程;()若,求直线的方程和圆的半径.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析:(1)由题意布列方程组求椭圆方程;(2)联立得;联立得,易得,解得.试题解
12、析:()由题意知,即,由椭圆截直线所得的弦长为,弦在第一象限的端点的坐标为,将代入上式,解得.椭圆的方程为.()由()知,设,设直线的方程为,联立,得,;联立,得,且;,解得,.21.设函数.(1)当时,求的极值;(2)当时,证明: .【答案】(1)当,取得极小值;当时,取得极大值;(2)见解析.【解析】【试题分析】(1)当时,利用导数写出函数的单调区间,进而求得函数的极值.(2)当时,化简原不等式得,分别利用导数求得左边对应函数的最小值,和右边对应函数的最大值, 最小值大于最大值,即可证明原不等式成立.【试题解析(1)当时, , 当时,在上单调递减; 当时,上单调递增; 当时,在上单调递减
13、所以,当,取得极小值;当时,取得极大值 (2)证明:当时,所以不等式可变为要证明上述不等式成立,即证明设,则,令,得, 在上,是减函数;在上,是增函数所以 令,则,在上,是增函数;在上,是减函数,所以,所以,即,即,由此可知【点睛】本小题主要考查函数导数与极值的求法.考查利用导数证明不等式成立的问题. 求函数极值的基本步骤是:首先求函数的定义域,其次对函数求导,求导后一般需要对导函数进行通分和因式分解,然后求得导函数的零点,即原函数的极值点,结合图象判断函数的单调区间,并得出是最大值还是最小值.(二)选考题:共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.
14、在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标为(1)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程;(2)若曲线和曲线有三个公共点,求以这三个公共点为顶点的三角形的面积【答案】(1),;(2)4.【解析】试题分析:(1)根据同角三角函数平方关系将曲线的参数方程化为普通方程,根据将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程,(2)求两曲线交点得三个交点的坐标,再根据三点关系求三角形的面积.试题解析:(1)由消去参数,得,即为曲线的普通方程.由得,结合互化公式得,即为曲线的直角坐标方程.(2)因为曲线和曲线都是关于轴对称的图形,它们有三个公共点,所以原点是它们的其中一个公共点,所以中,解得三个交点的坐标分别为, , ,所以所求三角形面积.23.已知,.(1)解不等式;(2)若方程有三个解,求实数的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】分析】(1)对分三种情况讨论,分别去掉绝对值符号,然后求解不等式组,