第二章极限与连续一、数列的极限A、数列{Un}中的数称为数列的项,Un为数列的一般项或通项正整数n称为数列的下标 给定数列{Un},各项的取值由其下标唯一确定,所以数列{Un}可以视为定义在正整数集N*上的函数,即称为下标函数B、已知数列{Un},当n无限增大时,Un无限趋近于某一个常数A,则A为数列{Un}的极限即 Un=A 或Un→A(n→+∞) ①若数列{Un}有极限,则称数列{Un}收敛,或Un存在 ②若数列{Un}无极限,则称数列{Un}发散,或Un不存在 ※有界数列:|Un|≤M(n∈N*,M>0) ※收敛数列必定有界,单调有界数列必有极限二、函数的极限 【前提必须是在某一趋向下】A、x→∞时函数f(x)的极限 a、已知f(x),x→∞时,f (x)无限趋近于某一个常数A,则称当x→∞时,函数f(x)的极限存在,且称当A为x→∞时,f(x)的极限 【双边极限】 记作:f(x)=A 或f(x)→A,(x→∞) b、已知f(x),x→+∞时,f (x)无限趋近于某一个常数A,则称当x→+∞时,函数f(x)的极限存在,且称当A为x→+∞时,f(x)的极限。
【单边极限】 记作:f(x)=A 或f(x)→A,(x→+∞) c、已知f(x),x→-∞时,f (x)无限趋近于某一个常数A,则称当x→-∞时,函数f(x)的极限存在,且称当A为x→-∞时,f(x)的极限 【单边极限】记作:f(x)=A 或f(x)→A,(x→-∞)综上:f(x)=A <=> f(x)=f(x)=AB、x→x0时f(x)的极限 a、f(x)在x0的某空心邻域内有定义,x→x0时f(x)无限趋近于某常数A即当x→x0时f(x)的极限存在,且称A为x→x0时f(x)的极限 记作:f(x)=A 或f(x)→A,(x→x0) b、f(x)在x0的某空心邻域内有定义,x→x0-时f(x)无限趋近于某常数A即常数A为x→x0时f(x)的左极限 记作:f(x)=A 或f(x)→A,(x→x0-)或f(x0-0)=A c、f(x)在x0的某空心邻域内有定义,x→x0+时f(x)无限趋近于某常数A即常数A为x→x0时f(x)的右极限 【左极限和右极限统称为单侧极限】 记作: f(x)=A 或f(x)→A,(x→x0+)或f(x0+0)=A综上:f(x)=A <=> f(x)=f(x)=A三、无穷大量与无穷小量A、在自变量的某一变化过程中(即在某一趋向下),若f(x)的绝对值无限的增大,则称f(x)为无穷大量。
即limf(x)=∞a、 若f(x)恒为正且f(x)无限的增大,则称f(x)为正无穷大即limf(x)=+∞b、 若f(x)恒为负且f(x)的绝对值无限的增大,则称f(x)为负无穷大即limf(x)=﹣∞※ 一个无穷大量与一个有界变量(即有限函数)之和仍为无穷大量※ 两个无穷大量的乘积仍是无穷大量※ 两个正(负)无穷大量之和仍为正(负)无穷大量若是一正一负则结果不能确定】B、极限为零的变量成为无穷小量0也是无穷小量) limf(x)=A <=> f(x)=A+α 其中limα=0※ 有限个无穷小量的和或差仍为无穷小量※ 有限个无穷小量的积仍为无穷小量※ 无穷小量与有界变量的积仍为无穷小量※ 无穷小量除以极限不为零的变量,其商仍为无穷小量C、无穷大量与无穷小量的关系 在自变量的同一变化过程中,无穷大量的倒数是无穷小量,无穷小量(不取零时)的倒数是无穷大量 即limf(x)=∞ 则lim=0 D、无穷小量的阶【即无穷小量和无穷小量的大小比较】 ①若α与β为同一变化过程中的两个无穷小量a、若=0,则称α是比β高阶的无穷小量 b、若=∞,则称α是比β低阶的无穷小量。
c、若lim=A≠0,(且A≠1)则称α与β为同阶的无穷小量 d、若=1,则称α是与β等价的无穷小量 记作:α~β e、若=A≠0,k>0,则称α是关于β的k阶无穷小量 ②若在同一极限中,α、β、γ均为无穷小量 a、α~α,即任何一个无穷小量总是和它本身等价 b、α~β,β~γ,则α~γ即等价关系具有传递性 c、α~β,则α•γ~β•γ即两个等价无穷小量乘以同一无穷小量后,仍为等价无穷小量 d、α~α1,β~β1,则α•β~α1•β1 即两个无穷小量之积等价于各自的等价无穷小量之积四、函数极限的性质与运算法则A、函数极限的性质(同样适用于数列极限) a、若极限limf(x)存在,则极限值唯一唯一性】 b、f(x)存在,则函数f(x)在x0的某空心邻域内有界局部有界性】 c、若f(x)=A 【局部保号性】 ①、A>0(或A<0),则函数f(x)在x0的某空心邻域内恒有f(x)>0(或<0) ②、x0的某空心邻域内恒有f(x)≥0(或f(x)≤0)则有A≥0(或A≤0)c、 若f(x)=A,若g(x)=B,且在的某个空心邻域内恒有f(x)≥g(x),则A≥BB、函数极限的运算法则 a、limf(x)与limg(x)存在,则lim[f(x)±g(x)]与lim[f(x)•g(x)]存在 若有limf(x)=A,limg(x)=B,lim[f(x)±g(x)]= limf(x)±limg(x)=A+B b、limf(x)与limg(x)存在,若有limf(x)=A,limg(x)=B lim[f(x)•g(x)]= limf(x)•limg(x)=A•B = = (B≠0)d、 由上a、b运算性质可得如下推论:① 极限limf(x)存在,C为常数,则有② 极限limf(x)存在, (n可为正数也可为负数也可以是分数) ※求函数极限的几种方法: ①、多项式与分式函数:消去0因子法(即通过因式分解消去不利因子) ②、有理化:分子分母都乘以相应无理式的共轭因式 ③、利用无穷小与有界函数的乘积为无穷小简化(只针对时)④、无穷小分子法:(给公式的那个~)… ⑤、之后马上就会说的利用两个重要极限。
⑥、最麻烦的那个变量代换(注意趋向)⑦、不会就用洛必达法则做,以后第四章再说~~C、极限存在性定理 a、夹逼定理:若在的某空心邻域【要求>0】内恒有【要求同一趋向下】 且有==A 则极限存在,且有=A 【对于其他函数极限的情形和数列极限,也有类似结果】 b、单调有界数列必有极限五、两个重要极限A、或 另:|sinx|<|x| (x≠0时)B、或或 ※几个等价无穷小 【时】 用于简化求极限值的运算 【等价无穷小的代换只适用于乘除,不能用于加减】六、函数的连续性A、函数的连续与间断 a、设函数y=f(x)在点的某个邻域内有定义,x在处的趋于零时,函数相应的该变量也趋于零即 即称函数y=f(x)在点处连续并称是函数y=f(x)的连续点 b、y=f(x)在点的某个邻域内有定义,若y=f(x),当时的极限存在且等于f()即即称函数y=f(x)在点处连续,并称是函数y=f(x)的连续点 ※连续即为不间断,连续的条件(证明时会用到) ①、存在 ②、存在 ③ = c、在某邻域有定义时 有定义时,f(x)在(a,b)内连续,且在点a右连续,在b左连续,则称函数f(x)在[a,b]上连续。
所以,f(x)在处连续f(x)在处既左连续又右连续e、 间断点的分类①、左右极限存在②、左右极限至少有一个不存在 B、初等函数及分段函数的连续性 a、设f(x)与g(x)在点或区间D上连续,则有、、在点或区间D上均连续 b、复合函数的连续性 函数f(x)在点连续时,函数符号f与极限符号lim可以交换即,且其连续性在某一邻域内一致 c、基本初等函数在其定义域内连续 初等函数在其有定义的区间内连续 d、常用的等价无穷小们 (第四页上有,就不再写一遍了) e、零点定理:在闭区间[a,b]上连续,且,则至少存在一点∈(a,b)使=0 4。