第一章 随机事件与概率（10课时）一、 目的与要求: 理解随机事件的基本运算及古典概率的常规计算技巧二、重点：离散的古典概率与连续型的古典概率三、难点：离散型的古典概率四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法.五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合.六、教学过程： 1. 课题引入P 11.1.1：随机现象：即同一条件下可能出现的不同结果成为随机现象例1.1.1：随机现象的例子：（1） 掷硬币可能出现正反两面2） 投掷骰子，可能出现的点数3） 一天进入某超市的顾客数4） 某种电视机的寿命5） 测量某种物理量（长度，直径等）的误差1.1.2 样本空间： 随机现象的一切可能结果成为样本空间例1.1.2 （1） 投硬币的样本空间为，其中表示正面，表示反面，（2） 投骰子的样本空间为（3） 进入商场的顾客数的样本空间为： （4） 电视机寿命的样本空间为： （5） 测量误差的样本空间： 注意：样本点为有限个或者可列个的空间为离散样本空间样本点不可列无限个的空间为连续样本空间1.1.3：随机事件： 随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件，简称事件。
通常用大写字母A,B,C,……表示.也可以用维恩图表示随机事件分为基本事件，必然事件，不可能事件例1.1.3 掷骰子的样本空间为： 事件A={出现1点}为基本事件 事件B={出现偶数点}为复杂事件 事件C={出现的点数小于7}为必然事件事件D={出现的点数大于6}为不可能事件1.1.4：随机变量：表示随机现象结果的变量为随机变量即为随机事件到数的一个映射例如：掷骰子 X=1，2，3，4，5，6. 掷币 X=0，X=1. 电视机寿命T>4000, T<100001.1.5：事件间的关系 例1.2.2 掷币两次，一正一反的概率为例1.2.3 （抽样模型）不返回抽样的情形一批产品共有N件，其中M件不合格品，N-M件合格品，求从中随机取出n件产品有m件不合格品的概率解：设={n件产品有m件不合格品}，则 取 ，则 （返回抽样）一批产品共有N件，其中M件不合格品，N-M件合格品，求从中随机取出n件产品有m件不合格品的概率解；设={n件产品有m件不合格品}，则 取 ，则 例1.2.6（盒子问题）设有n球，每个球等可能地投入N个不同的盒子里，求：（1） 指定的个盒子各有一球的概率;（2） 恰好有个盒子各有一球的概率。
解：（1）总样本有个 特殊样本有个 所求概率为（2）总样本有个 特殊样本有个 所求概率为例1.2.7 （生日问题）n个人的生日各不相同的概率P是多少 的近似结果 n10 20 0 40 50 600.8840 0.5942 0.3037 0.1180 0.0349 0.00780.1160 0.4058 0.6963 0.8820 0.9651 0.99221.2.5 确定概率的几何方法 例1.2.8 （会面问题）甲乙两人约定6-7点会面，先到者只等20分钟，求两人会面的概率解：设分别为甲乙到达的时间总体样本为：能会面的样本为：则会面的概率为：例1.2.9 （蒲丰针问题）平面上平行线相距为d，向平行线投长为的针，问：针与平行线相交的概率解：设为针的重心到平行线的边的距离，为针的方向角总体样本为：针能相交的样本为：则针能与平行线相交的概率为：用随机模拟法，即蒙特卡罗法也可以做出类似结论例1.2.10. 长度为a的线上任取两点，将其分成三段，求它们可以构成一个三角形的概率解：设分别为分成的三段线段的长度总体样本为：能构成三角形的样本为：则能构成三角形的概率为：1.2.6 确定概率的主观方法即用主观频率近似代替理论概率。
1.3 概率的性质1.3.1 概率的可加性性质1.3.2 （有限可加性）若互不相容，则 性质1.3.3 例：1.3.1 容36只灯泡4只60瓦，32只40瓦，任取3只，求至少一只60瓦的概率解：记，则所以抛一枚硬币5次，求有正有反的概率解：记，，则1.3.2 概率的单调性性质1.3.4 若，则证明：因为，所以 由于互不相容，由有限可加性得 即得推论（单调性）若，则一般性结论对于任意事件有证明：由又故应用例1.3.3 口袋有编号为的n个球，从中有放回抽取m次，求m个球中最大号码为的概率解：记，则 1.3.3 概率的加法公式性质1.3.6（加法公式）对于任意两个各事件，有 推论（半可加性）对于任意两个各事件，有 对于任意n个事件，有 例1.3.4 已知事件的概率分别为0.4，0.3，0.6 求 解：由得： 得于是已知 则A,B,C至少发生一个的概率是多少？A,B,C都不发生的概率是多少？解：（1） （2）例1.3.6 （配对问题）有n人参加晚会，没人带一件礼物，各人的礼物互不相同，晚会随机抽取礼物，问：至少一人抽到自己的礼物的概率是多少?解：记则所求概率为： 于是1.3.4概率的连续性对于，称为极限事件 即同样对于，称为极限事件 即定义1.3.2 当有，则称概率P是下连续的。
当有，则称概率P是上连续的性质1.3.7 （概率的连续性）若P为事件域是F上的概率，则P即是下连续，又是上连续的证明：先证P是下连续，，即 定义，则，由可列可加性由有限可加性得：所以故概率P是下连续的上连续的证明类似1.4 条件概率1.4.1 条件概率的定义引入 例 1.4.1 两个小孩的家庭，其样本空间为，求：（1） 事件A=“家中至少有一个女孩”发生的概率2） 若已知事件B=“家中至少有一个男孩”发生，求A发生的概率解： （1） （2）定义1.4.1 设A与B是样本空间的两个事件，若，则称为B发生下A的条件概率，简称条件概率性质1.4.1 （1）F （2） （3）性质1.4.2 乘法公式（1），则（2）若，则证明：由可得： 成立例1.4.3 一批零件共有100个，其中10个不合格，从中一个一个抽取，求第三次取得不合格品的概率是多少？解：“第i次取出的是不合格品”记为则所求概率为： 例1.4.4（罐子模型）设罐中有b个黑球，r个红球，每次随机取出一个球后将原球放回，还加进c个同色球和d个异色球第i次取出的是黑球记为，第j次取出的是红球记为，则（1） 当c=-1,d=0时，即为不返回抽样。
2） 当c=0，d=0时，即为返回抽样3） 当c>0,d=0时，即为传染病模型4） 当c=0,d>0时，即为安全模型1.4.3 全概率公式 设为的一个分割，即互不相容，且，则证明： 全概率公式的简单应用形式： 例 1.4.5 （摸彩模型）设在n张彩票有一张奖券，求第二人摸到奖券的概率是多少？解：设则 类似的故买彩票时候，无论先后，中奖机会均等例 1.4.6 保险公司认为某险种的投保人可以分为两类：一类为容易出事故者，另一类为安全者统计资料表明：易出事故者在一年内发生事故的概率为0.4，而安全者发生事故的概率为0.1，若假定第一类人投保的比例为20%，现在有一人来投保，问该投保人在投保后一年内出事故的概率有多大？解：设，，则 例 1.4.7 （敏感性问题调查）调查学生阅读黄色书刊与影像，为得到真实结果，设计方案如下:问题A：你的生日是否在7月1日之前？问题B：你是否看过黄色书刊与影像？现在一个罐子里放白球与红球，抽到白球答问题A，抽到红球答问题B根据统计结果求看黄色书刊与影像的同学的比例解；即于是例如在一次实际调查中红球是30个，白球是20个，则，共收到1583张试卷，其中389张回答“是”，则由此计算得： 。
即约有7.62%的学生看过黄色刊物与影像1.4.4 贝叶斯公式设是样本空间的一个分割，即互不相容，且，则 例1.4.8 某地区居民的肝癌发病率为0.0004，现用试剂检查，有病呈阳性的占99%，无病呈阴性的占99.9%，现在某人检查结果呈阳性，问他真的患肝癌的概率是多少？解：记B为“被检查者换有肝癌”，A为事件“检查结果为阳性”，则 例1.4.9 伊索寓言“孩子与狼的问题” 记A为“小孩说谎”，B为“小孩可信”，若第一次村民印象为 第二此村民印象为§以上计算结果说明，经过两次说谎后，村民对小孩的可信度从0.8下降到0.138.以上例子也适用于银行评级问题 §1.5 独立性1.5.1 独立性的定义 若，则称与相互独立若，则称与相互独立以上两个定义是等价的性质1.5.1 若与相互独立，则与相互独立，与相互独立，与相互独立，证明：则与相互独立，其余结论类似可证1.5.2 多个事件的独立性若，， ，且则相互独立N个事件的独立类似定义例1.5.2 若相互独立，则与相互独立证明：所以与相互独立例1.5.3 两个射手独立射击同一目标，甲乙击中的概率分别为0.9和0.8，求目标被击中的概率？解：法一 法二 例1.5.4 某零件用两种工艺加工，第一种工艺有三道工序，不合格品率分别为0.3,0.2,0.1；第二种工艺有两道工序，不合格频率分别为0.3,0.2，试问：（1） 那种工艺的合格品的概率比较大？（2） 第二种工艺的两道工序的不合格品概率都是0.3时，情 况如何？解：（1）由独立性，两种工艺的合格品概率分别为： 故第二种工序的合格品概率大。
（2）当第二种工艺的两道工序的不合格品概率都是0.3时 故此时第一种工序的合格品概率高例1.5.5 有两名选手比赛射击，轮流射击同一目标，甲每枪命中的概率为，乙每枪命中的概率为，甲先射，谁先击中谁获胜，问甲乙获胜的概率各多少？解：设为第i次命中目标，则 例1.5.6 系统由多个原件构成，每个原件正常工作的概率为，试求以下系统正常工作的概率1） 串联系统（2） 并联系统（3） 混合系统解：（1） （2） 法一 法二 （3） 第二章 随机变量及其分布（10课时）二、 目。