（浙江专版）2021年高中数学模块综合检测2新人教A版选修2-1

浙江专版）2021年高中数学模块综合检测2新人教A版选修2-1模块综合检测(时间120分钟　满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“若△ABC有一内角为，则△ABC的三内角成等差数列”的逆命题(　　)A．与原命题同为假命题B．与原命题的否命题同为假命题C．与原命题的逆否命题同为假命题D．与原命题同为真命题解析：选D　原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC的三内角成等差数列，则△ABC有一内角为”，它是真命题．2．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为(　　)A.　　　　　　　　　　 B．－C．8 D．－8解析：选B　由y＝ax2得x2＝y， ∴＝－8，∴a＝－.3．下列说法中正确的是(　　)A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B．“a>b”与“a＋c>b＋c”不等价C．“a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2＋b2≠0”D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真解析：选D　否命题和逆命题互为逆否命题，有着一致的真假性，故选D.4．已知空间向量a＝(1，n,2)，b＝(－2,1,2)，若2a－b与b垂直，则|a|等于(　　)A. B.C. D.解析：选D　由已知可得2a－b＝(2,2n,4)－(－2,1,2)＝(4，2n－1,2)．又∵(2a－b)⊥b，∴－8＋2n－1＋4＝0.∴2n＝5，n＝.∴|a|＝ ＝.5．双曲线－＝1(mn≠0)的离心率为2，它的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则mn的值为(　　)A. B.C. D.解析：选A　抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，故双曲线－＝1中，m>0，n>0且m＋n＝c2＝1.①又双曲线的离心率e＝＝ ＝2，②联立方程①②，解得故mn＝.6．若直线y＝2x与双曲线－＝1(a>0，b>0)有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为(　　)A．(1，) B．(，＋∞)C．(1， ] D．[，＋∞)解析：选B　双曲线的两条渐近线中斜率为正的渐近线为y＝x.由条件知，应有>2，故e＝＝＝ >.7．已知F1(－3,0)，F2(3,0)是椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，∠F1PF2＝α.当α＝时，△F1PF2面积最大，则m＋n的值是(　　)A．41 B．15C．9 D．1解析：选B　由S△F1PF2＝|F1F2|·yP＝3yP，知P为短轴端点时，△F1PF2面积最大．此时∠F1PF2＝，得a＝＝2 ，b＝＝，故m＋n＝15.8．正△ABC与正△BCD所在平面垂直，则二面角ABDC的正弦值为(　　)A. B.C. D.解析：选C　取BC中点O，连接AO，DO.建立如图所示坐标系，设BC＝1，则A，B，D.∴＝，＝，＝.由于＝为平面BCD的一个法向量，可进一步求出平面ABD的一个法向量n＝(1，－，1)，∴cos〈n，〉＝，∴sin〈n，〉＝.二、填空题(本大题共7小题，多空题每空3分，单空题每题4分，共36分)9．在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足·＝4，则动点P的轨迹方程是________．解析：由·＝4得x×1＋y×2＝4，因此所求动点P的轨迹方程为x＋2y－4＝0.答案：x＋2y－4＝010．点F是抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，l是准线，A是抛物线在第一象限内的点，直线AF的倾斜角为60°，AB⊥l于B，△ABF的面积为，则p的值为________，点A坐标为________．解析：设A(x，y)，∵直线AF的倾斜角为60°，∴y＝①，∵△ABF的面积为，∴··y＝②，∵A是抛物线在第一象限内的点，∴y2＝2px③，∴由①②③可得p＝1，x＝，y＝.答案：1　11．已知P为抛物线C：y2＝4x上的一点，F为抛物线C的焦点，其准线方程为____________，若准线与x轴交于点N，直线NP与抛物线交于另一点Q，且|PF|＝3|QF|，则点P坐标为____________．解析：∵y2＝4x，∴焦点坐标F(1,0)，准线方程x＝－1.过P，Q分别作准线的射影分别为A，B，则由抛物线的定义可知：|PA|＝|PF|，|QF|＝|BQ|，∵|PF|＝3|QF|，∴|AP|＝3|QB|，即|AN|＝3|BN|，∴P，Q的纵坐标满足yP＝3yQ，设P，y≠0，则Q，N(－1,0)，∵N，Q，P三点共线，∴＝，解得y2＝12，∴y＝±2，此时x＝＝＝3，即点P的坐标为(3，±2)．答案：x＝－1　(3，±2)12．若椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，则双曲线－＝1的离心率为________，渐近线方程为________．解析：因为椭圆＋＝1的离心率e1＝，所以1－＝e＝，即＝，而在双曲线－＝1中，设离心率为e2，则e＝1＋＝1＋＝，所以e2＝.渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.答案：　y＝±x13．已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上．若|F1A|＝2|F2A|，则cos∠AF2F1＝________.解析：由题意得解得|F2A|＝2a，|F1A|＝4a，又由已知可得＝2，所以c＝2a，即|F1F2|＝4a，∴cos∠AF2F1＝＝＝.答案：14．过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点作圆x2＋y2＝a2的两条切线，切点分别为A，B.若∠AOB＝120°(O是坐标原点)，则双曲线C的离心率为________．解析：由题意，如图，在Rt△AOF中，∠AFO＝30°，AO＝a，OF＝c，∴sin 30°＝＝＝.∴e＝＝2.答案：215．正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点，则EF与平面CDD1C1所成角的正弦值为________，EF与AB所成角的正切值为________．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则E(2,0,1)，F(1,2,0)，∴＝(－1,2，－1)．又平面CDD1C1的一个法向量为＝(0,2,0)，cos〈〉＝＝，故所求角的正弦值为.EF与AB所成角为∠EFC，tan∠EFC＝.答案：　三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分14分)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．(1)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件，若存在，求出m的范围；(2)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件，若存在，求出m的范围．解：(1)由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}，∵x∈P是x∈S的充要条件，∴P＝S，∴∴这样的m不存在．(2)由题意x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P.∴∴m≤3.综上，可知0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件．17．(本小题满分15分)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝1，AC＝AA1＝ ，∠ABC＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)求二面角AA1CB的正切值大小．解：法一：(1)证明：∵三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，∴AB⊥AA1.在△ABC中，AB＝1，AC＝ ，∠ABC＝60°.由正弦定理得∠ACB＝30°，∴∠BAC＝90°，即AB⊥AC，∴AB⊥平面ACC1A1.又A1C⊂平面ACC1A1，∴AB⊥A1C.(2)如图，作AD⊥A1C交A1C于D点，连接BD.∵AB⊥A1C，AD∩AB＝A，∴A1C⊥平面ABD，∴BD⊥A1C，∴∠ADB为二面角AA1CB的平面角．在Rt△AA1C中，AD＝＝＝.在Rt△BAD中，tan∠ADB＝＝，∴二面角AA1CB的正切值为.法二：(1)证明：∵三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，∴AA1⊥AB，AA1⊥AC.在△ABC中，AB＝1，AC＝ ，∠ABC＝60°.由正弦定理得∠ACB＝30°，∴∠BAC＝90°，即AB⊥AC.如图，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0，，0)，A1(0,0，)，∴＝(1,0,0)，＝(0，，－)．∵·＝1×0＋0×＋0×(－ )＝0，∴AB⊥A1C.(2)取m＝＝(1,0,0)为平面AA1C1C的法向量．由(1)知：＝(－1，，0)，设平面A1BC的法向量n＝(x，y，z)，则∴∴x＝y，y＝z.令y＝1，则n＝(，1,1)，∴cos 〈m，n〉＝＝＝，∴sin〈m，n〉＝ ＝，∴tan〈m，n〉＝.∴二面角AA1CB的正切值为.18．(本小题满分15分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5.(1)求证：AA1⊥平面ABC；(2)求二面角A1BC1B1的余弦值．解：(1)证明：因为AA1C1C为正方形，所以AA1⊥AC.因为平面ABC⊥平面AA1C1C，且AA1垂直于这两个平面的交线AC，所以AA1⊥平面ABC.(2)由(1)知AA1⊥AC，AA1⊥AB.由题知AB＝3，BC＝5，AC＝4，所以AB⊥AC.如图，以A为原点建立空间直角坐标系Axyz，则B(0,3,0)，A1(0,0,4)，B1(0,3,4)，C1(4,0,4)．设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)，则即令z＝3，则x＝0，y＝4，所以n＝(0,4,3)．同理可得，平面B1BC1的一个法向量为m＝(3,4,0)．所以cos〈 n，m〉＝＝.由题知二面角A1BC1B1为锐角，所以二面角A1BC1B1的余弦值为.19.(本小题满分15分)如图所示，在四棱锥PABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝BC＝2CD＝2，AD＝，PE＝2BE.(1)求证：平面PAD⊥平面PCD；(2)若二面角PACE的大小为45°，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．解：(1)证明：∵PC⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PC⊥AD，又CD⊥AD，PC∩CD＝C，∴AD⊥平面PCD，又AD⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面PCD.(2)取AB的中点F，连接CF，则CF⊥AB，如图，以C为坐标原点，CF为x轴，CD为y轴，CP为z轴，建立空间直角坐标系，设PC＝a，则P(0,0，a)(a>0)，E，A(，1,0)，＝(，1,0)，＝(0,0，a)，＝，设m＝(x，y，z)是平面PAC的一个法向量，则取x＝1，得m＝(1，－，0)，设平面EAC的法向量n＝(x1，y1，z1)，则取x1＝1，得n＝，∵二面角PACE的大小为45°，∴cos 45°＝|cos〈m，n〉|＝＝＝，解得a＝2，此时n＝(1，－，－2)，∴＝(，1，－2)，设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝＝.∴直线PA与平面EAC所成角的正弦值为.20．(本小题满分15分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点为(－2,0)，。