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1、专业好文档常微分方程期终考试试卷(1)一、 填空题（30%）1、方程有只含的积分因子的充要条件是（ ）。有只含的积分因子的充要条件是_。、_称为黎卡提方程，它有积分因子_。、_称为伯努利方程，它有积分因子_。、若为阶齐线性方程的个解，则它们线性无关的充要条件是_。、形如_的方程称为欧拉方程。、若和都是的基解矩阵，则和具有的关系是_。、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_时，零解是稳定的，对应的奇点称为_。二、计算题（）1、若试求方程组的解并求expAt、求方程经过（0，0）的第三次近似解6.求的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.三、证明题（）、阶齐线性方程一定存在个线性无关解。试卷答案
2、一填空题、 、 、零稳定中心二计算题、解：因为，所以此方程不是恰当方程，方程有积分因子，两边同乘得所以解为 即另外y=0也是解、线性方程的特征方程故特征根 是特征单根，原方程有特解代入原方程A=-B=0 不是特征根，原方程有特解代入原方程B=0 所以原方程的解为、解：解得此时 k=1 由公式expAt= 得、解：方程可化为令则有（*）（*）两边对y求导：即由得即将y代入（*）即方程的 含参数形式的通解为：p为参数又由得代入（*）得：也是方程的解 、解： 、解：由解得奇点（3，-2）令X=x-3,Y=y+2则因为=1+1 0故有唯一零解（0，0）由得故（3，-2）为稳定焦点。三、 证明题由解的存
3、在唯一性定理知：n阶齐线性方程一定存在满足如下条件的n解：考虑从而是线性无关的。常微分方程期终试卷(2)一、填空题 30%1、 形如_的方程，称为变量分离方程，这里.分别为x.y的连续函数。2、 形如_的方程，称为伯努利方程，这里的连续函数.n3、 如果存在常数_对于所有函数称为在R上关于满足利普希兹条件。4、 形如_-的方程，称为欧拉方程，这里5、 设的某一解，则它的任一解_-。二、 计算题40%1、 求方程2、 求方程的通解。3、 求方程的隐式解。 4、 求方程三、 证明题30%1.试验证=是方程组x=x,x=，在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵。2.设为方程x=Ax（A为nn常数矩阵）
4、的标准基解矩阵（即（0）=E），证明: (t)=(t- t)其中t为某一值. 常微分方程期终试卷答卷一、 填空题（每空5分）1 2、 z=34、5、二、 计算题（每题10分）1、这是n=2时的伯努利不等式，令z=,算得代入原方程得到，这是线性方程，求得它的通解为z=带回原来的变量y，得到=或者，这就是原方程的解。此外方程还有解y=0.2、解：积分：故通解为：3、解：齐线性方程的特征方程为，故通解为不是特征根，所以方程有形如把代回原方程 于是原方程通解为4、解 三、证明题（每题15分）1、证明：令的第一列为(t)=,这时(t)=(t)故(t)是一个解。同样如果以(t)表示第二列，我们有(t)=
5、(t)这样(t)也是一个解。因此是解矩阵。又因为det=-t故是基解矩阵。2、证明：（1）,(t- t)是基解矩阵。 （2）由于为方程x=Ax的解矩阵，所以(t)也是x=Ax的解矩阵，而当t= t时，(t)(t)=E, (t- t)=（0）=E. 故由解的存在唯一性定理，得(t)=(t- t)常微分方程期终试卷(3) 一 . 解下列方程(10%*8=80%)1. 1. 2xylnydx+dy=02. =6-x3. =24. x=+y5. 5. tgydx-ctydy=06. 6. y-x(+)dx-xdy=07一质量为m质点作直线运动，从速度为零的时刻起，有一个和时间成正比（比例系数为）的力作
6、用在它上面，此外质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成正比（比例系数为）。试求此质点的速度与时间的关系。8. 已知f(x)=1,x0,试求函数f(x)的一般表达式。 二 证明题(10%*2=20%)9. 试证：在微分方程Mdx+Ndy=0中，如果M、N试同齐次函数，且xM+yN0,则是该方程的一个积分因子。10. 证明：如果已知黎卡提方程的一个特解，则可用初等方法求得它的通解。试题答案：1. 解：=2xlny+2x , =2x,则 =,故方程有积分因子=，原方程两边同乘以得dx+dy=0是恰当方程. d(lny)+ydy=0,两边积分得方程的解为lny+=C。2. 解：1）y=0是方程的特解。2
7、）当y0时，令z=得=z+x. 这是线性方程，解得它的通解为z=代回原来的变量y得方程解为=；y=0.3. 解：令x=u+3, y=v2, 可将原方程变为=，再令z=，得到z+=，即=，分离变量并两端积分得=+lnC即ln+2arctgz=+lnC，ln=2arctgz+lnC 代回原变量得v=C所以，原方程的解为y+2=C.4. 解：将方程改写为 =+ （*） 令u=,得到x=x+ u,则(*)变为x =, 变量分离并两边积分得 arcsinu=ln+lnC, 故方程的解为arcsin=lnCx。5. 解：变量分离 ctgxdy=tgydx, 两边积分得 ln(siny)= ln+C或sin
8、ycosx=C (*) 另外，由tgy=0或ctgx=0得 y=k(k=0、1) ，x=t+(t=0、1)也是方程的解。 tgy=0或ctgx=0的解是(*)当C=0时的特殊情况，故原方程的解为sinycosx=C。6. 解：ydx-xdy-x(+)dx=0,两边同除以+得xdx=0,即d(arctg)d=0,故原方程的解为arctg=C。7 解：因为F=ma=m，又F=，即m=(v(0)=0)，即=(v(0)=0)，解得v=+(t).8 解：令f(x)=y，=，两边求导得=y，即=y，即=dx，两边求积得=2x+C，从而y=，故f(x)= .9. 证明：如M、N都是n次齐次函数，则因为x+y
9、=nM，x+y=nN，故有=0.故命题成立。10. 解：1）先找到一个特解y=。2）令y=+z，化为n=2的伯努利方程。证明：因为y=为方程的解，所以=P(x)+Q(x)+R(x) (1)令y=+z，则有+= P(x)+Q(x)+R(x) (2)(2)(1)得= P(x)+Q(x)z即=2P(x)+Q(x)z+P(x)此为n=2的伯努利方程。常微分方程期终试卷（4）一、填空题1、（ ）称为变量分离方程,它有积分因子( )。、当（）时，方程称为恰当方程，或称全微分方程。、函数称为在矩形域上关于满足利普希兹条件，如果（）。、对毕卡逼近序列，。、解线性方程的常用方法有（）。、若为齐线性方程的个线性无
10、关解，则这一齐线性方程的所有解可表为（）。、方程组（）。、若和都是的基解矩阵，则和具有关系：（）。、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部（）时，零解是稳定的，对应的奇点称为（）。、当方程组的特征方程有两个相异的特征根时，则当（）时，零解是渐近稳定的，对应的奇点称为（）。当（）时，零解是不稳定的，对应的奇点称为（）。、若是的基解矩阵，则满足的解（）。二、计算题求下列方程的通解。、。、。、求方程通过的第三次近似解。求解下列常系数线性方程。、。、。试求下列线性方程组的奇点，并通过变换将奇点变为原点，进一步判断奇点的类型及稳定性：、。三、证明题。、 、设为方程（为常数矩阵）的标准基解矩阵（即，
11、证明其中为某一值。答案：一、 填空题、形如的方程、存在常数0，对于所有都有使得不等式成立、常数变异法、待定系数法、幂级数解法、拉普拉斯变换法、，其中是任意常数、个线性无关的解称之为的一个基本解组、为非奇异常数矩阵、等于零稳定中心、两根同号且均为负实数稳定结点两根异号或两根同号且均为正实数不稳定鞍点或不稳定结点、二、 计算题、 解：方程可化为令，得由一阶线性方程的求解公式，得所以原方程为：、 解：设，则有，从而，故方程的解为，另外也是方程的解、 解：、 解：对应的特征方程为：，解得所以方程的通解为：、 解：齐线性方程的特征方程为，解得，故齐线性方程的基本解组为：，因为是特征根，所以原方程有形如，
12、代入原方程得，所以，所以原方程的通解为、 解： 解得所以奇点为（经变换，方程组化为因为又所以，故奇点为稳定焦点，所对应的零解为渐近稳定的。三、 证明题、证明：为方程的基解矩阵为一非奇异常数矩阵，所以也是方程的基解矩阵，且也是方程的基解矩阵，且都满足初始条件，所以常微分方程期终考试试卷（5）一 填空题 （30分）1称为一阶线性方程，它有积分因子 ，其通解为 _ 。2函数称为在矩形域上关于满足利普希兹条件，如果 _ 。3 若为毕卡逼近序列的极限，则有_ 。4方程定义在矩形域上，则经过点（0，0）的解的存在区间是 _ 。5函数组的伏朗斯基行列式为 _ 。6若为齐线性方程的一个基本解组，为非齐线性方程的一个特解，则非齐线性方程的所有解可表为 _ 。7若是的基解矩阵，则向量函数= _是的满足初始条件的解；向量函数= _ 是的满足初始条件的解。8若矩阵具有个线性无关的特征向量，它们对应的特征值分别为，那么矩阵= _ 是常系数线性方程组的一个基解矩阵。9满足 _ 的点，称为驻定方程组。二 计算题 （60分）10
