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1、济南大学毕业论文毕业论文题 目 三重积分的计算与应用 学 院 数学科学学院 专 业 数学与应用数学 班 级 数学0802 学 生 xxxx 学 号 20000903042 指导教师 二一二年五月二十五日- 1 -济南大学毕业论文摘 要三重积分在现实中有着广泛的应用.利用三重积分求解不规则物体的体积，不仅仅是当代大学生要学习的基础知识，在很多的大型桥梁，建筑工程中，三重积分也有着不可替代的作用.然而，很多学生不能熟练掌握三重积分的相关知识，因而也不会去应用该知识.为了让学生更好地掌握三重积分的相关知识，以便以后能够熟练巧妙运用，本文系统的总结了三重积分的求解方法.求解三重积分最根本的就是将三重积
2、分化为累次积分.但是化为累次积分时可以有不同的选择，既可以“先二后一”（坐标面投影法），也可以“先一后二”（坐标轴投影法），有的题目还可以巧妙地运用对称性求解，复杂的题目可以选择换元法来求解.不同的方法在不同的情况下适用，对于一个题目来说，具体应该选择哪种方法来求解，则应该进一步分析.三重积分有着广泛的应用，主要是在大型桥梁工程建设中用来计算不规则物体的体积.无论在哪儿应用，都要先抽象成数学模型，再计算.因此本文的应用只是采用了一些简单的例题，关键是让学生去体会不同方法解三重积分的过程.关键词：三重积分；先一后二；先二后一；换元法；分析应用；ABSTRACTTriple integral in
3、 the reality in a wide range of applications. Using triple integral solving the volume of irregular objects, is not only the foundation of contemporary college students to learn knowledge, in many large Bridges, building engineering, triple integral also having the effect that cannot replace. Howeve
4、r, many students cant master triple integral related information, and thus wont go with the application of the knowledge. In order to let the student to grasp the triple integral of relevant knowledge, so that later skilled to clever apply, this paper summarized the system triple integral solution.
5、Solving the most fundamental triple integral is will triple integral into LeiCi points. But into LeiCi integral will have different options, already can after the first one (coordinate surface projection method), also can first after a second (a projection method), some questions can also smart use
6、of symmetry solution, complex title can choose for yuan method to solve. Different methods in different situations, applicable, for a topic for, specific should choose which kind of method to solve, it should be further analysis. Triple integral in a wide range of applications, mainly in the large b
7、ridge engineering construction is used to calculate the volume of irregular objects. No matter where application, first into abstract mathematical model, then calculation. So this paper is the application of the simple examples, the key is to let students to experience different ways to solve triple
8、 integral process. Key words： Triple integral；after the first one；first after a second；for yuan method； 目 录摘 要IABSTRACTII目 录III1 前 言12 三重积分的定义与性质22.1 三重积分的定义22.2 三重积分的性质23 三重积分的计算43.1 利用直角坐标计算三重积分43.3.1 坐标面投影法43.3.2 坐标轴投影法73.3.3 利用对称性化简三重积分计算83.2 利用换元法计算三重积分93.2.1 柱坐标变换103.2.2 球坐标变换114 三重积分的应用144.1
9、利用三重积分求重心144.2 利用三重积分求转动惯量164.3 利用三重积分求引力175 结 论20参 考 文 献21致 谢22- - 1 - -1 前 言三重积分在现实中有着广泛的应用.利用三重积分求解不规则物体的体积，不仅仅是当代大学生要学习的基础知识，在很多的大型桥梁，建筑工程中，三重积分也有着不可替代的作用.在国内，三重积分的实际应用远远比不上国外应用广泛，因此，国内的学生很多情况下只限于对三重积分的书面认识，意识不到它在现实中的广泛应用.很多学生在学习三重积分时，不了解三重积分的几何意义，因而不能熟练掌握求解三重积分的方法.当面临求解三重积分问题时，往往不知如何下手.即便是知道将三重
10、积分化为累次积分，也不知道该选用哪种方法求解，求解过程中更是会出现各种各样的错误.为了让学生更好地掌握三重积分的相关知识，本文系统的总结了三重积分的求解方法，以便学生尽快掌握相关内容.本文主要是将三重积分所有的求解方法系统的进行归纳总结，详尽介绍运用三重积分求重心，转动惯量，及引力的方法，同时给出求解上述问题的公式，并列举了部分例题，以便学生更好地掌握三重积分相关知识.要想熟练地掌握三重积分，首先要了解三重积分的定义，理解三重积分的定义及意义，熟练掌握三重积分的性质，为后面的求解方法打下坚实基础.（1）在直角坐标系下计算三重积分时，可以选用“先一后二”的坐标面投影法和“先二后一”的坐标轴投影法
11、，甚至可以利用对称性进行计算.但是，对于不同的问题，应该选择哪种方法，责应当具体问题具体分析.（2）利用换元法求解三重积分时，要注意把空间中的闭区域一对一地映成空间中的一般常用的是柱坐标变换和球坐标变换.当选择用换元法求解三重积分时，还应该注意积分限的确定.三重积分有着广泛的应用，主要是在大型桥梁工程建设中用来计算不规则物体的体积，重心，在物理学上求解转动惯量，及求质点对其他点的引力.不管什么问题，只要遇到三重积分问题，先看清题意，将实际问题抽象成数学问题，再套用公式，进行计算.2 三重积分的定义与性质2.1 三重积分的定义设密度函数是定义在三维空间可求质量的有界区域上的有界函数,现用若干光滑
12、曲面所组成的曲面网来分割,他把分割成个小区域.记的体积为,.在每个中任取一点，作积分和定义 设为定义在三维空间可求体积的有界闭区域上的函数，是一个确定的常数.若对任给的正数,总存在某一正数,使得对于任的意分割,只要,属于分割的所有积分和都有则称在上可积，数J称为函数在上的三重积分，记作其中称为被积函数，称为积分变量，称为积分区域.当时，在几何上表示的体积.2.2 三重积分的性质性质1 若在上可积，为常数，则在上也可积，且性质2 若在上可积，且无公共内点，则在上也可积，且性质3 若上可积，且，则性质4 若在上可积，则在上也可积，且3 三重积分的计算3.1 利用直角坐标计算三重积分在直角坐标系下求
13、解三重积分时，一般是先将三重积分化为累次积分.但是，将三重积分化为累次积分时，可以“先一后二”也可以“先二后一”.不同的题目，适合化为哪一种累次积分，还得具体问题具体分析.3.3.1 坐标面投影法如图2.5，在面上闭区域的投影为闭区域,， 过作一条与轴平行且穿过闭区域的直线，这时，该直线和闭区域的边界曲面分别相交于两点首先，我们将看作定值，则就可以看成只关于的函数.令在面上，我们可知因此，在上的二重积分有 图2.5所以三重积分可以化为 这种方法称为坐标面投影法，即先一后二法.闭区域称为型空间区域.同理，我们可以得到型空间区域.例1 若使由曲面和平面所围成的立体，将三重积分化为三次累次积分.图2.2从图2.2中可知， .例2 求，其中是由曲面，与平面和所围成的闭区域.解 由题意可知 .例3 一立体是由曲面围成，求该立体的体积.解 由题意可知因此3.3.2 坐标轴投影法 图2.3如图2.2，把积分区域向轴投影，得投影区间用过且平行于面的平面截，得截面.在截面上，可以计算二重积分.此时是关于的函数，只需计算单积分的值就可以得到三重积分的值.由分析可知，三重积分可以化为.这种方法被称为坐标轴投影法，即先二后一法.闭区域.这样的闭区域被称为-型空间区域.同理，可以得到-型，-型空间区域.
