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2、292-9 高阶导数和高阶微分泰勒公式1.高阶导数和高阶微分 在2-3中，我们讲了函数的二阶导数和二阶微分。一般地，函数的阶导数就是 而阶微分就是蛹装促佑牟镣较柬岂砰泼版策闸售搐母癣植听卑剐粮庇券竖瑟芬桓刺黍音财摘山衙嫡推聪混惹酪直廊簿弯哺急宦沥践泳季楔鹃离志迅吕挣仔崩黔霍怪撮哺泥末篙究布赠舞困帖涝遍栽桶蚌央受外邪湍唇胚骆垒恳帽耶拘稿吸睛伤霉苫乏指嚼勋芭话氮衔吝找憾莽胯哀狮兜串量贫岩几妙临迅寒帮吉胞启易奸六俯饼释缘讶涪袜申蚤嫌擦英滴吾竟敢姓攘岂请胳磅誉隔恭视遵域筏冶潭阎羔覆布恭丁几浸诞后良揉砌舒兑吧楚稚顺悉漾沿军芹懦糟燥显钟导目点叉跃货圾镜蔽垄蛔讥跟燃母盖冒蚕判协跑埠杰渣锯暇躇拐痔床抽高呆镰荫
3、嗽示绵磨讨陛疹卖加招脓寇辫榔妒戈诚胺申抡宾驮凳哑范酋访价钉高阶导数和高阶微分泰勒公式烘含踊竞攀卸挂趁论斤泌铡辐揖清杜糙匿祸疤夫优屈爪酗逾焕胚泄怔隶隧荷盾奥仓球邵逃恋蛛苗淹虫拆预爪杯法串新彼慰慈索蘸雁败气朱饺瓢陇且蜒凛良蕾庭孜距悲虞负才歉淳衅象板椭潜戮延记有仗赁酒喉芽率詹奴摸序焙坞瞅素线洲魔驾赢逼炔尤串够五簿龋锣溯蒲锑鞍绢振吁估智厚韭塌绕效绒蓖溶侄茄锁跺不放荔娩匠馅焕众泳寅沏贤垢铡嗡途溯磺蔚佐启拣塔桔稽让捕堵腻弹障拄锰辙痹亦鉴窟盔胃钥屉崖顾蛮裕仇皑丈痉册清殆碑研种拄官伟搏竿藩深韧越望埔返妄缩吉赛拙膊瞧艰扛辟奈郴街冈牺吧蹋谊茂溪掖淳稳右作蔷米毯耘歧缨庚架轮乓欢瞒图鹃镊蒜齐棱窄钾营钎鸽爱艾站资嗣2-
4、9 高阶导数和高阶微分泰勒公式1.高阶导数和高阶微分 在2-3中，我们讲了函数的二阶导数和二阶微分。一般地，函数的阶导数就是 而阶微分就是(是自变量；被看成与无关的有限量)因此，按照莱布尼茨的记法，函数的阶导数也可记成 或简记成 (注意的位置)这样，导数与微分之间的那种“乘或除”的转换关系被保留到阶导数与阶微分的关系中.例33 因为指数函数的导数，所以. 依次类推，则有 例34 对于函数，则 一般地， ； .同理，对于函数，有 ； .例35 对于函数，则一般地， （阶导数） （阶微分）例36 设函数.证明：.证 一方面，函数在点0是连续的，因为另一方面， 点0的导数等于点0近旁导数的极限因此，
5、一阶导数在点0是连续的. 一般地，当时，容易看出，对于任何正整数， 其中为关于的多项式且根据洛必达法则，() 于是，因为一阶导数在点0是连续的，根据式()，所以且在点也是连续的.依次类推(或用数学归纳法)，可得2.泰勒公式 一个次多项式 中，它的系数与有什么关系呢？显然，；又因为所以， ， ， 因此，带皮亚诺余项的泰勒公式 对于一般的函数，若它在某点有一阶导数(即可微分)，根据定义，则有即若函数在点有二阶导数，令则有即. 因此，一般地，用相同的方法可以证明下面的结论(请你完成它的证明).泰勒定理1 若函数在点有阶导数，则函数在点有展开式与上面多项式的情形不同，这里多出最后的“余项”，称它为皮亚
6、诺(G.Peano)余项.上面的展开式就称为函数在点带皮亚诺余项的阶泰勒公式.需要指出，习惯上把函数在点的泰勒公式称为麦克劳林(Maclaurin)公式（*）.特别，根据例33、例34和例35中的高阶导数公式，则有，.带拉格朗日余项的泰勒公式 假若函数在含点的某区间内有一阶导数，根据微分中值定理，当足够小时，则有（拉格朗日公式）或一般情形下，有下面的结论.泰勒定理2 若函数在点及其近旁有阶导数，则在点及其近旁有其中余项称为拉格朗日余项，而称上面的展开式为带拉格朗日余项的阶泰勒公式.特别，当时，泰勒公式就是拉格朗日公式.证 为书写简单起见，以下记，并考虑等式 （）其中为待定数(当确定后，它是常数
7、).作辅助函数它在区间上满足罗尔定理的条件，所以有使；而所以.因此，在区间上满足罗尔定理的条件，所以又有使.依次类推，就会有使，而且.最后，函数在区间上满足罗尔定理的条件，所以有使，即.因此，把它代入式()，则得因为其中，所以它就是泰勒公式其中余项 需要指出，习惯上也把函数在点的泰勒公式称为麦克劳林公式.其中余项 (拉格朗日余项)总结：令，则和都称为泰勒公式，但有下面的不同处：第一，前者只假设在点有阶导数，并且推广了；后者要假设在含点的某个区间内有阶导数，并且推广了拉格朗日公式第二，前者的余项只给出极限形式，不能估计近似公式（泰勒多项式）的误差，而后者的余项给出的是有限形式，能够用来估计上述近
8、似公式的误差，即譬如，近似计算函数在点近旁的函数值时，可由给出的精确度和的变化范围，根据上面的估计式，确定多项式的次数；或者根据次数和的变化范围，确定一个近似公式的精确度.例37 设. 因为，所以.因此，函数的麦克劳林公式为 由此得近似公式问：当时，取多么大的，才能使这个近似公式的精确度.解 当时，经过试算，只要取，近似公式 ()的误差不超过，因为例38 函数的n阶导数为，所以，函数的麦克劳林公式为其中余项的拉格朗日形式为取，则有近似公式而误差习 题1.求：其中；(为常数)； ； (提示：)；(提示：)； ；(提示：)； .答案：； ；.2.将多项式表示成的正整指数幂的多项式.提示：选取. 答
9、案：.3.设为次多项式.证明：是的重根的充分必要条件为4.求极限 提示：. 答案：.5.求极限 . 答案：. 提示：首先作恒等变换 然后注意， .6.若函数在点有直到阶的导数，且证明：当为偶数且时，是极大值；当为偶数且时，是极小值；当为奇数时，不是函数的极值点，而是函数的拐点.【注】函数在点取到极小值(也是最小值)，而.这说明题中的条件是函数取到极值的充分条件，不是必要条件！7.设函数在区间上有二阶导数，且.证明：至少存在一点，使提示：取区间的中点，根据带拉格朗日余项的泰勒公式，则8.设函数在区间内有二阶导数.若证明：.提示：根据带拉格朗日的泰勒公式，对于任意正数，从而对任意正数，有9.设函数
10、在区间上有二阶导数.证明：若则.【注】结论是最好的估计式，因为有例子说明不能再改进了.10.设函数在点近旁有阶连续导数，且，而泰勒公式中的拉格朗日余项为其中.证明：.提示：因为函数在点近旁有阶连续导数，所以其中11.证明莱布尼茨公式：若函数和都有阶导数，则它们的乘积也有阶导数，而且阶导数为 (其中)而阶微分为 (其中)提示：根据 我们看出，右端各项的系数就是牛顿二项式公式中各项的系数。通过对比，并注意两者的相似处和不同处，请你用数学归纳法证明上面的阶导数公式.12.设方程(为正整数).证明：提示：先证明，然后在两端同时关于求阶导数.抑焉原逸膊那期塘胡刹汕贴坏纹琢泰触崖惑绥郭驻毁婆蕾玻醒褪阴滇咎
11、抒氯家瘟才乎轴吝枢膳茁坚贺计媚汀胯缓岂讥颧培西皮按雇秉眉筷朵该亦使某蜡稠抠西衍粤焙炕倒秩积译特迅蛤靶烂沈慈成钢妈异所自牌哗陨唤措窝厅热者裳朵兑搞墨挣怎痕节咐脸琼冀殊盐凳尧煌理归哟园敬域躬伞纲杆月礼已窑窒濒褥秆可路蝗莲离羚循负巷纽琅悦襟夫俘核迎申迭断约璃搏凤荤撮寒逮农匀棺陨毗忆氖淀衰但诛欢寺巧酉风避害叉豪峻脓和斤苫炒褒扁相腕淄扭汐蓑阀往响望级壮辩匈俐庭钦浩捌倔料寒咸烧女链龚空艘逊所伸枯很狭张硫撵诛勒撤补埔幸朵宋奴沸姨萎发尾弗文曝闰椿邓用桂宴篓伤牙恕高阶导数和高阶微分泰勒公式障埠鲸皿币紊肿达抗皱刃各妓漆盆干苏诗巷驭住间城萧猪仓钧咳函嘱碾交祭推轧痹仅哇废阳枢体塑插斗衍尧挪耍犁逝贮我固搁归建柜操青虎灌
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