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1、灰色系统理论及其应用第一章灰色系统的概念与基本原理1.1灰色系统理论的产生和发展动态1982年，北荷兰出版公司出版的系统与控制通讯杂 志刊载了我国学者邓聚龙教授的第一篇灰色系统理论论文” 灰色系统的控制问题”，同年，华中工学院学报发表邓聚 龙教授的第一篇中文论文灰色控制系统，这两篇论文的 发表标志着灰色系统这一学科诞生1985灰色系统研究会成立，灰色系统相关研究发展迅 速。1989海洋出版社出版英文版灰色系统论文集，同年， 英文版国际刊物灰色系统杂志正式创刊。目前，国际、 国内300多种期刊发表灰色系统论文，许多国际会议把灰色 系统列为讨论专题。国际著名检索已检索我国学者的灰色系 统论著300
2、0多次。灰色系统理论已应用范围已拓展到工业、 农业、社会、经济、能源、地质、石油等众多科学领域，成 功地解决了生产、生活和科学研究中的大量实际问题，取得 了显著成果。1.2几种不确定方法的比较确定系统研究方法。其研究对象都具有某种不确定性，是它 们共同的特点。也正是研究对象在不确定性上的区别，才派 生了这三种各具特色的不确定学科。模糊数学着重研究“认识不确定”问题，其研究对象具 有“内涵明确，外延不明确”的特点。比如“年轻人”内涵 明确，但要你划定一个确定的范围，在这个范围内是年轻人， 范围外不是年轻人，则很难办到了。概率统计研究的是“随机不确定”现象，考察具有多种 可能发生的结果之“随机不确
3、定”现象中每一种结果发生的 可能性大小。要求大样本，并服从某种典型分布。灰色系统理论着重研究概率统计，模糊数学难以解决的 “小样本，贫信息”不确定性问题，着重研究“外延明确， 内涵不明确”的对象。如到2050年，中国要将总人口控制 在15亿到16亿之间，这“15亿到16亿之间“是一个灰概 念，其外延很清楚，但要知道具体数值，则不清楚。1.3灰色系统理论的基本概念定义信息完全明确的系统称为白色系统。定义信息未知的系统称为黑色系统。定义部分信息明确，部分不明确的系统称为灰色系统。1.4灰色系统理论的基本原理公理1（差异信息原理）“差异“是信息，凡信息必有差 异。公理2 （解的非唯一性原理）信息不完
4、全，不确定的解 是非唯一的。公理3 （最少信息原理）灰色系统理论的特点是充分开 发利用已占有的“最少信息“。公理4（认知根据原理）信息是认知的根据。公理5（新信息优先原理）新信息对认知的作用大于老 信息。公理6 （灰性不灭原理）：信息不完全是绝对的1.5灰色系统理论的主要内容灰色系统理论经过20多年的发展，现在已经基本建立 起一门新兴学科的结构体系。其主要内容包括以灰色代数系 统，灰色方程、灰色矩阵等为基础的理论体系。以灰色序列 生成为基础的方法体系，以灰色关联空间为依托的分析体 系。以灰色模型（GM）为核心的模型体系，以系统分析，评 估，建模，预测，决策，控制，优化为主体的技术体系。1.6灰
5、数把只知道大概范围而不知道其确切值的数称为灰数。在应用 中，灰数实际上指在某一个区间或某个一般的数集内取值的 不确定数。通常用记号“ 0 ”表示灰数。灰数有以下几类：1. 仅有下界的灰数。有下界而无上界的灰数记为0 a,8，其中a是灰数0的下确界，是确定的数，我们称a,8为0的取数域，简称0的灰域。 2. 仅有上界的灰数。有上界而无下界的灰数记为0 g -8,a，其中a是灰数0的上确界，是确定的 数。3. 区间灰数。既有下界又有上界的灰数称为区间灰 数，记为0 也,&4. 连续灰数与离散灰数。5. 黑数与白数。当0 g-8, +8， 称0为黑数；当0 Ga a且a =-a时，0为白数。 , 6
6、. 本征灰数与非本征灰数。本征灰数是指不能或暂时还不能找到一个白数作为其“代表”的灰数，比如一般的事前预测值，宇宙的总能量等。非本征灰数是指凭先验信息或某种手段，可以找到一个 白数作为其代表的灰数。我们称此白数为相应灰数的白化 值。第二章序列算子与灰色序列生成灰色系统理论的主要任务之一，是根据社会，经济， 生态等系统的行为特征数据，寻找不同系统变量之间或某 些系统变量自身的数学关系和变化规律。灰色系统理论认 为任何随机过程都是在一定幅值范围和一定时区内变化的 灰色量，并把随机过程看成灰色过程。灰色系统理论是通过对原始数据的挖掘，整理来寻求 其变化规律的，这是一种就数据寻找数据的现实规律的途 径
7、，我们称为灰色序列生成。灰色系统理论认为，尽管客 观系统表象复杂，数据离乱，但它总是有整体功能的，因 此必然蕴含某种内在规律。关键在于如何选择适当的方式 去挖掘它和利用它。一切灰色序列都能通过某种生成弱化 其随机性，显现其规律性。例如考虑 4 个数据，记为 X(0)(1),X(0)(2),X(0)(3),X(0)(4)，其 数据见下表：序号1234符号X (0)(1)X (0) (2)X (0) (3)X (0) (4)数据121.54将上表数据作图得上图表明原始数据X（0）没有明显的规律性，其发展态势 是摆动的。如果将原始数据作累加生成，记第K个累加生 成为X（1）（K），并且X=X（0）=
8、1X (2) = X(o)(1) + X(o)(2) = 1 + 2 = 3X (3) = X (0) (1) + X (0) (2) + X (0) (3) = 1 + 2 +1.5 = 4.5X (4) = X (0) (1) + X (0) (2) + X (0) (3) + X (0)(4) = 1 + 2 +1.5 + 3 = 7.5得到数据如下表所示序号1234符号X (1)X (2)X (3)X (4)数据134.57.5上图表明生成数列X(1)是单调递增数列。2.1冲击扰动系统与序列算子定义设X 0 = 30(1.0(2), .,对()为系统真实行为序列，而 观察到的系统行为数
9、据序列为X = (x(1),x(2),x(n) = (xo(1)+e ,xo(2) +8 ,xo(n) + 8 ) = Xo +8其中，8= (8,8.8)为冲击扰动项(干扰项)。X称为冲击 扰动序列。所以本章我们的讨论围绕：由X一 X。展开(扰动还原真实)2.2缓冲算子公理定义2.2.1 设系统行为数据序列为X = (x(1), x(2),x(n)，1-若Pk = 2,3,n,x(k) -x(k -1) 0，则称X为单调增长序列；2.若1中不等号反过来成立，则称X为单调衰减序列；3-若 3k,k w 2,3 ,n,有x(k) -x(k -1) 0,x(k) -x(k-1) 0，则称 X为随机
10、振荡序列。4.设 m = max x(k) I k -1,2,3,n ,m = x(k) I k -1,2,3,n ，则称 M-m为序列X的振幅定义设x = (x(1),x(2), ,x(n)为系统行为数据系列， D为作用于X的算于，X经过算于D作用后所得序列记为XD = (x (1)d, x (2) d，,x(n) d)称D为序列算于，称XD为一阶算子作用序列。序列算子的作用可以多次，相应的，若q, D2, D3都是序列算于， 我们称DD为二阶算于，并称XD D = (x(1)d d ,x(2)d d，,x(n)d d )1 21 21 21 2为二阶算子作用序列，同理，D1D2D3为三阶序
11、列算子定义称下述三公理为缓冲算于三公理，满足缓 冲算于三公理的序列算于D称为缓冲算于，一阶，二阶，三 阶缓冲算于作用序列称为一阶，二阶，三阶缓冲序 列。公理1 (不动点公理)设X = (x(1),x(2),x(n)为系统行 为数据系列，D为序列算于，则D满足x(n)d =x(n)。不动点公理限定在序列算于作用下，系统行为数据序列 的数据x( n) 保持不变。根据定性分析的结论，亦可使x(n)以前的若干个数据在 序列算于作用下保持不变。例如，令x( j)d 丰 x(j)Sx(f)d = x(i)其中,j = 1,2 ，k -1i = k, k +1,，n.公理2.(信息充分利用公理)系统行为数据
12、序列X中 的每一个数据x(k),阵1,2,，都要充分地参与算子的作用全过 程公理3 (解析化、规范化公理) 任意的 x( k) d,氐1.,.2,皆可由一个统一的x(1),x(2),x(n)的初等解析 式表达。定义设X为原始数据序列，D为缓冲算子，当X 分别为增长序列，衰减序列或振荡序列时：1. 若缓冲序列XD比原始序列X的增长速度(或衰减速 度)减缓或振幅减小，则称缓冲算子D为弱化算子。2. 若缓冲序列XD比原始序列X的增长速度(或衰减速 度)加快或振幅增大，则称缓冲算子D为强化算子。2.3实用缓冲算子的构造定理设原始数据序列x = (x (1), x (2),，x (n )令 缓冲序列 X
13、 D= ( x 1 )d , x (-2-d) , x , n d其中 x(k)d = x(k) + x(k + 1 F x(n)； k=1,2,， n,则当 Xn - k +1为增长序列，衰减序列或振荡序列时，D为弱化算子，并称 为平均弱化缓冲算子(AWBO)证明：直接利用x(k)d,(k = 1,2,.)的定义可知定理成立。推论对于定理1中定义的弱化算子D，令 XD 2 = XDD = (x (1) d 2, x (2) d 2, . , x (n) d 2)x(k)d2 =x(k)d + x(k + 1)d HF x(n)d,k = 1,2 n，n - k +1则Q2对于增长序列，衰减序
14、列或振荡序列时，皆为二阶弱化 算子。定理设原始序列和其缓冲算子序列分别为X = (x (1), x (2),x (n )XD = (x d, x (2) d,，x (n) d)其中x(1)+ x(2) + x(k-1)+kx(k)x(k )d = , k = 1,2 ，n -12k -1x(n)d = x(n)则当X为增长序列，衰减序列或振荡序列时，D为强化算子。推论设D为定理2中定义的强化算子，令X D2 = X D =D ( 1x)2 d, (x如)d , x2(n其)中 )x(n)d 2 = x (n)d = x(n)，x(1)d + x(2) d + x(k - 1)d + kx(k
15、)dx(k )d 2 = , k = 1,2 ，n -12k -1则d2对于增长序列，衰减序列或振荡序列皆为二阶强化算 子。定理原始数据序列和其缓冲算子序列分别为X = (x (1), x (2),x (n )XD = (x (1) d, x (2) d,，x (n) d)(n + k )(n - k +1)/2其中 x(k)d = kx(k)+ (k + 1)x(k + D +、二+ nx(n),k = 1,2.,n，则当 X 为增 长序列，衰减序列或振荡序列时，D为弱化算子，并称D为加权平均弱化缓冲算子(WAWBO)定理设x = ( x (1), x (2),，x (n )为非负的系统行 为数据序列，令 XD = (xd, x(2) d, . , x(n)d)其中 x(k )d = x
