排 列【学习目标】1．理解排列的概念 .2．能利用计数原理推导排列数公式．3．能利用排列数公式解决简单的实际问题．【要点梳理】要点一、排列的概念1. 排列的定义一般地，从 n 个不同的元素中取出 m（ m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列．要点诠释：（ 1）排列的定义中包括两个基本内容，一是 “取出元素 ”，二是 “按照一定的顺序排列 ”．（ 2）从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列．（ 3）如何判断一个具体问题是不是排列问题， 就要看从 n 个不同元素中取出 m 个元素后， 再安排这 m 个元素时是有顺序还是无顺序，有顺序就是排列，无顺序就不是排列．要点二：排列数1.排列数的定义从 n 个不同元素中，任取 m（ m n ）个元素的所有排列的个数叫做从 n 个元素中取出 m元素的排列数，用符号 Anm 表示 .要点诠释：（ 1） “排列 ”和 “排列数 ”是两个不同的概念，一个排列是指“从 n 个不同的元素中，任取m（ m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列 ”，它不是一个数，而是具体的一个排列（也就是具体的一件事）；（ 2）排列数是指 “从 n 个不同元素中取出 m（ m≤n）个元素的所有不同排列的个数”，它是一个数．比如从 3 个元素 a、 b、 c 中每次取出 2个元素，按照一定的顺序排成一列，有如下几种：ab ，ac，ba， bc，ca，cb，每一种都是一个排列，共有6 种，而数字 6 就是排列数，符号A nm 表示排列数，在此题中 A326 ．2 ．排列数公式A mn n( n 1)( n 2) ( n m 1) ，其中 n，m∈ N+ ，且 m≤n．要点诠释：(1) 公式特征：第一个因数是 n，后面每一个因数比它前面一个少 1，最后一个因数是 n m 1 ，共有 m个因数。
2) 公式含义：① An2 的意义： 假定有排好顺序的 2 个空位， 从 n个元素 a1 , a2, an 中任取 2 个元素去填空， 一个空位第1页 共9页填一个元素，每一种填法就得到一个排列，反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到第一步：在第一个空位填一个元素，有 n 种方法；第二步：在第二个空位填一个元素，有 n 1种方法；由分步计数原理完成上述填空共有n(n1)种填法，第1位第 2位∴ An2 = n(n 1) .nn 1②求 Anm 可以理解为：从 n 个元素 a1 , a2,an 中任取 m个不同的元素去填空（不能重复），第1位 第2位 第 3位第 m位......nn 1 n 2nm 1第一步：在第一个空位填一个元素，有n 种方法；第二步：在第二个空位填一个元素，有n1种方法；第三步：在第三个空位填一个元素，有n2 种方法；第 m步：在第 m个空位填一个元素，有 nm1种方法；依据分步记数原理，共有 Anmn(n 1)(n2)(n m 1) 种方法要点三：阶乘表示式1 ．全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做 n 个不同元素的一个全排列。
全排列 Annn( n 1)(n 2)3 2 1 .2 ．阶乘的概念：把正整数 1 到 n 的连乘积，叫做 n的阶乘 .表示： n! ，即 Ann n! .规定： 0! 1．3. 排列数公式的阶乘式：A nmn( n1)(n2) ( n m 1)n (n 1) (n 2)(nm 1) (n m)2 1n!(nm)2 1(nm)!所以 A nmn!．(n m)!要点四：排列的常见类型与处理方法1. 相邻元素捆绑法：就是在解决对于某几个元素要求相邻问题时，可整体考虑将相邻元素视为一个大元素．2. 相离问题插空法：对于不能相邻的元素，可以先将其他元素排好，再将所指定的不相邻的元素插到它们的空隙及两端位置．第2页 共9页3. 元素分析法：以元素为考察对象，先满足特殊元素的要求，再考虑一般元素4. 位置分析法：以位置为考察对象，先满足特殊位置的要求，再考虑一般位置要点诠释：当用以上方法正面求解，情况较复杂时，可考虑用排除法即：直接考虑情况较多，但其对立面情况较少，先不考虑附加条件，计算出排列数，再减去不合要求的排列数典型例题】类型一、与排列数有关的运算例 1． 计算：（1） A73 ；（ 2） A55 ；（ 3） A124【解析】（ 1） A73＝ 76 5210（ 2） A55＝5!＝54 321 120（ 3） A124 ＝ 121110911880【总结升华】利用排列数公式要准确把握公式的结构特征 —— Anm 就是从 n 起，依次减 “ 1的”m 个正整数之积。
举一反三：【变式 1】 计算： (1)A64(2)4A842A85；A88A95【答案】 (1)A64＝6543＝ 360.(2)4A842A854A842 4A8448 124 ．A88A954 3 2A849A84249155【变式 2】若 Anm1716155 4，则 n， m．【答案】由排列数定义，n 是连乘式中最大的数，m 是因数个数 , 故 n17， m 14 类型二、排列的定义及其理解例 2 ． 判断下列问题是否是排列问题：（ 1）从 1 ，2 ， 3 ，5 中任取两个不同的数相减（除）可得到多少个不同的结果？（ 2）从 1 ，2 ， 3 ，5 中任取两个不同的数相加（乘）可得到多少个不同的结果？（ 3）某班有 50 名同学，约定每两人通一次信，共需写信多少封？（ 4）某班有 50 名同学，约定相互握手一次，共需握手多少次？（ 5）平面内有 10 个点，无任何三点共线，由这些点可连射线多少条？【思路点拨】判断所给问题是否是排列问题，关键是看与顺序有无关系，具体问题中取出的元素与顺序有无关第3页 共9页系，由问题的条件和性质决定，认清问题的性质是作出正确判断的前提与关键．【解析】根据排列的定义可知： （ 1 ）、（ 3）、（5）是排列问题．【总结升华】判断一个具体问题是不是排列问题，就是看从 n 个不同元素中取出 m 个元素后，再安排这 m 个元素时是有序还是无序，有序则是排列；否则不是排列．举一反三：【变式】判断下列问题是否是排列问题：（ 1）从 1 到 10 十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内点的坐标， 可得多少个不同的点的坐标？（ 2）从 10 名同学中任选两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的选取方法？【答案】（ 1）由于取出的两数组成点的坐标与哪一数作横坐标，哪一数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问题．（ 2）因为任何一种从 10 名同学中选取两人去学校开目谈会的方式不需要考虑两人的顺序， 所以这不是排列问题．综上，（ 1）是排列问题， （ 2）不是排列问题．例 3 ．某年全国足球甲级（ A 组）联赛共有 14 个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？【思路点拨】本题是从 14 个队中选出 2 个安排比赛，因为有主客场，所以有次序问题，属于排列问题。
解析】 任意两队间进行 1 次主场比赛与 1 次客场比赛，对应于从 14 个元素中任取 2 个元素的一个排列．因此，比赛的总场次是 A142 =14 × 13=182.【总结升华】当根据题意判断出问题是排列问题，则可根据排列数公式进行计算举一反三：【变式 1】 5 人站成一排照相，共有多少种不同的站法？【答案】 120 ；问题可以看作 5 个元素的全排列 A55 5 4 3 2 1 5! 120 ；【变式 2】(1 ）从 5 本不同的书中选 3 本送给 3 名同学，每人各 1 本，共有多少种不同的送法？(2 ）从 5 种不同的书中买 3 本送给 3 名同学，每人各 1 本，共有多少种不同的送法？【答案】(1 ）从 5 本不同的书中选出3 本分别送给 3名同学，对应于从 5 个不同元素中任取 3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是A53 =5× 4× 3=60.(2 ）由于有 5 种不同的书，送给每个同学的1 本书都有 5 种不同的选购方法，因此送给3 名同学每人各1 本书的不同方法种数是5×5×5=125.【变式 3】由 1， 2，3， 4，5 这五个数字，①能够组成多少个没有重复数字的三位数？第4页 共9页②能够组成多少个三位数？【答案】① 从 1 ，2，3 ，4，5 这五个数字中任取三个分别排在百位、 十位、个位上有： A53 5 4 3 60（个）∴能组成 60 个无重复数字的三位数。
② 可分三步完成，第一步从1，2， 3，4，5 这五个数字中任选一个排在百位有A51 种不同的排法；由于允许重复，所以第二步排十位也有A51 种不同的排法；第三步排个位也有A51 种不同的排法，由分步计数原理有： N A51A51 A5155 5 125 （个）∴能够组成 125 个三位数变式 4 】用 1 ， 3 ，6 ， 7，8 ， 9 组成无重复数字的四位数，由小到大排列．⑴ 第 114 个数是多少？ ⑵ 3796 是第几个数？【答案】 3968 ， 95⑴ 因为千位数是 1 的四位数一共有 A53 60 个，所以第 114 个数的千位数应该是 “ 3，”十位数字是 “ 1”即 “31”开头的四位数有 A42 12 个；同理，以 “ 36、”“ 37、”“ 38开”头的数也分别有 12 个，所以第 114。