第2讲 离散型随机变量

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1、第2A讲 离散型随机变量的分布列知识梳理1. 离散型随机变量的分布列(1) 随机变量如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随 机变量常用字母X，y, ，n等表示.(2) 离散型随机变量对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散 型随机变量.(3) 分布列设离散型随机变量X可能取得值为x ,x，,X，X ,X取每一个值x (i = 1,2,12inin)的概率为P(X=x)=p，则称表i -iXx1x2 xi xnPp1p2 pi pn为随机变量X的概率分布列，简称X的分布列.(4) 分布列的两个性质p 三0, i = 1,2,，n；p

2、+p +p =_1_.i 12n 2. 两点分布如果随机变量X的分布列为X10Ppq其中0p1, q=1 p，则称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布.3. 超几何分布列在含有M件次品数的N件产品中，任取n件，其中含有X件次品数，则事件X,CkCn-k=k发生的概率为：P(X=k)= 1-皿仏=0,1,2,m),其中 m=minM, n,N且nWN, MWN, n、M、NeN*，则称分布列X01 mPCo Cn-OMNMCnNC1Cn-1M N MCnN CmCn-mM N MCnN为超几何分布列.一类表格统计就是通过采集数据，用图表或其他方法去处理数据,利用二些重要的特征数 信息进行评估并

3、做出决策，而离散型随机变量的分布列就是进行数据处理的一种 表格：第二行数据是随机变量的取值，把试验的所有结果进行分类，分为若土个 事件，随机变量的取值，就是这些事件的代一码；第二行数据是第二行数据代表事 件的概率，利用离散型随机变量的分布列，很容易求出其期望和方差等特征值 两条性质.第二行数.据.史的数都在(0,1)内；(2)第二行所有数的和等于丄一三种方法.(1)由统计数据得到离散型随机变量分布列；.(2)由古典概型求出离散型随机变量分布列；.(3)由互斥事件、独立事件的概率求出离散型随机变量分布列:双基自测1. 抛掷均匀硬币一次，随机变量为().A. 出现正面的次数B. 出现正面或反面的次

4、数C. 掷硬币的次数D. 出现正、反面次数之和2. 如果X是一个离散型随机变量，那么下列命题中假命题是().A. X取每个可能值的概率是非负实数B. X取所有可能值的概率之和为1C. X取某2个可能值的概率等于分别取其中每个值的概率之和D. X在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和3. 已知随机变量X的分布列为：P(X=k)=2k，k=l,2,，则P(2XW4)等于 ().3115A Rc d 16416164. 袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任意抽取2个 球，设2个球号码之和为X,则X的所有可能取值个数为（）.A. 25R. 10C. 7D.

5、 65. 设某运动员投篮投中的概率为P = 0.3，则一次投篮时投中次数的分布列是考点一由统计数据求离散型随机变量的分布列【例1】（2011北京改编）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数甲组乙组9 909891 11 0分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学（1）求这两名同学的植树总棵数y的分布列；（2）每植一棵树可获10元，求这两名同学获得钱数的数学期望.【训练1】某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利 12%； 旦失败，一年后将丧失全部资金的50%下表是过去200例类似项目开发 的实施结果：投资成功投资失败192次8次则该公司一年后估计可获收益的期望是.考点二由

6、古典概型求离散型随机变量的分布列【例2】袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为*.现 有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，取后 不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止.每个球在每一次被取出的机会是 等可能的，用X表示取球终止时所需要的取球次数.（1）求袋中原有白球的个数；（2）求随机变量X的分布列；（3）求甲取到白球的概率.【训练2】(2011 江西)某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试， 以便确定工资级别.公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且 其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮 料中选出4

7、杯A饮料.若4杯都选对，则月工资定为3 500元；若4杯选对3 杯，则月工资定为2 800元；否则月工资定为2 100元.令X表示此人选对A 饮料的杯数.假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力.(1) 求X的分布列；(2) 求此员工月工资的期望.考点三 由独立事件同时发生的概率求离散型随机变量的分布列【例3】(2011 浙江)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司2投递了个人简历.假定该毕业生得到甲公司面试的概率为3得到乙、丙两公司 面试的概率均为P,且三个公司是否让其面试是相互独立的.记X为该毕业生得 到面试的公司个数.若P(X=0)=丄，则随机变量X的数学期望E(X)二.【训练3】

8、某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型HN流感，其中只有A到过1 1疫区.B肯定是受A感染的.对于C,因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是1.同样也假定D受A、B和C感染的概率都是1在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量.写 出X的分布列(不要求写出计算过程)，并求X的均值(即数学期望).第2B讲 二项分布及其应用知识梳理1. 条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率 P AB叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为P(B|A)二p A n ar 在古典概型中，若用n(A)表示事

9、件A中基本事件的个数，则P(R|A)=_(2) 条件概率具有的性质： OWP(R|A)W1； 如果R和C是两互斥事件，则P(RUC|A)=P(R|A)+P(C|A).2. 相互独立事件(1)对于事件A、R,若A的发生与R的发生互不影响，则称A、R是相互独立事 件.若A与R相互独立，则P(R|A)=P(R),P(AR) =P(R|A) P(A)=P(A) P(R).(3) 若A与R相互独立，则A与R，A与R，飞与R也都相互独立.若P(AR) =P(A)P(R)，则A与R相互独立.3. 独立重复试验与二项分布(1) 独立重复试验独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，

10、 在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次 试验中发生的概率都是二样的.(2) 二项分布在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为k,在每次试验中事件A发生的 概率为P,那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X=k) =CkPk(1p)n-fc(k=0,1,2，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记作X nR(n，p)，并称p为成功概率.一种关系p ar可先定义条件概率 P(R|A)=A ，当 P(R|A)=P(R)即 P(AR)=P(A)P(R)时，事件b与事件 A 独立.但是要注意事件 A、R、C两两.独.立,但事件 A、R、C丕一 定相互独

11、立.两种算法计算条件概.率.有两种方法.P ab(1)利用定义 P(B|A)=；- pA- （2）若一 n（c）表示试验中事性一 c包含的基本事件的个数，则.ABT双基自测1. （2011 广东）甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就 获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同，则甲队获得 冠军的概率为（）.3A-42B-33C-51D-22. 小王通过英语听力测试的概率是他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是（）.4A-92B-94C 1C. 272D-273. （2011 湖北高考）如图，用K、A、A三类不同的元件连接成一个系统，当K1 2正常工作

12、且A、A至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、A、A正常1 2 1 2工作的概率依次为0.9,0. & 0.8，则系统正常工作的概率为（）.aEl-A. 0.960B. 0.864C. 0.720D. 0.576（1）4. 如果XB15, 4J,则使P（X=k）取最大值的k值为（）.A. 3B. 4C. 5D. 3 或 45. 把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A,“第二次出现正面”为事件B,则P（B|A）等于（）.1A.21B.41C.61D.8【训练1】（2011 湖南高考）如图，EFGH是以0为圆心，半径为1的圆的内接 正方形.将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件

13、“豆子落在正方形EFGH 内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则(l)P(A)二； (2)P(B|A)二考点二 独立事件的概率【例21-(2011 全国)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5, 购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立.(1) 求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率；(2) 求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.【训练2】(2011山东)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比 赛，甲对A、乙对B,丙对C各一盘.已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为 0.6,0.5,0.5，

14、假设各盘比赛结果相互独立.(1) 求红队至少两名队员获胜的概率；(2) 用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列和数学期望E( ).考点三独立重复试验与二项分布【例3】一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他曰.在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都(1) 设X为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布列；(2) 设Y为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y的分布列；(3) 求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.【训练3】某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的 再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训, 已知参加过财会培训的有60%,参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训 项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响.(1) 任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；(2) 任选3名下岗人员，记X为3人中参加过培训的人数，求X的分布列.第2C讲 离散型