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1、熟练运用旋转解决平面几何中的问题平面几何的证题方法多种多样利用旋转来解决平面几何问题，有时能收到事半功倍的效果 例 图1中以ABC的边AB、AC为一边向外作正方形ABDE及正方形ACFG，连结BG、CE 求证：(1)BG=CE；(2)BGCE分析：一般的证法是证明ABG与AEC全等，然后应用全等三角形的性质。而如果采用旋转，则可以如下证明：由已知可知，点E绕点A逆时针旋转90为点B，点C绕点A逆时针旋转90为点G，从而知线段EC绕点A逆时针旋转90为线段BG，故有BG=CE，BGCE本文将从最常见的两种旋转出发，谈谈旋转在平面几何中的应用。一、按旋转的角度进行区分 1、90角旋转 例1 如图2
2、，E、F分别是边长为1的正方形ABCD的BC、CD上的点，且CEF的周长是2求EAF的大小。解：将ABE绕点A作逆时针旋转90，则AB边与AD边重合，设旋转后EE，由条件CEF的周长为2，即CE+EF+CF=2，又BE+CE+CF+ DF=2，且显然有BE=DE，故CE+ CF+FE=2从而必有EF=FE，又AE= AE，AF=AF，故AEFAEF，EAF=EAF，又从作图知EAE=90，故EAF=45。例2（北京东城2010年上学期期末）如图，P为正方形ABCD内一点，若PA=a，PB=2a，PC=3a(a0)，求:(1)APB的度数;(2)正方形ABCD的面积 分析:三条已知的线段PA、P
3、B、PC具有一个共公顶点，且它们不能构成三角形但是当把ABP按顺时针方向旋转90后，即会出现等腰直角三角形，于是PA旋转后的线段与PC构成了一个新的三角形解:(1)将ABP绕点B顺时针方向旋转90得CBQ则ABP CBQ且PBQB于是PB=QB=2a，PQ=2a在PQC中，PC2=9a2，PQ2QC2=9a2PC2=PQ2QC2 PQC=90PBQ是等腰直角三角形，BPQ=BQP=45故APB=CQB=9045=135(2)APQ=APBBPQ=13545=180，三点A、P、Q在同一直线上在RtAQC中，AC2=AQ2QC2=(a2a)2a2=(104)a2故S正方形ABCD =AC2=(5
4、2)a2思考 例2中，如果把CBP绕点B逆时针方向旋转90得ABM，怎样解以上问题?(答:(1)PBM是等腰直角三角形， 且由勾股定理的逆定理得APM=90;(2)过点B作BNAP，垂足为N则PN=BN=，于是在ABN中可求出边长AB的平方，即得正方形的面积) 2、60角旋转 例1 如图3，分别以ABC的边AB、AC为一边向外作等边三角形ABD及等边三角形ACE。连结BE、CD。设M、N分别是BE、CD的中点。求证：AMN是等边三角形。 证明：由条件可知，ADC绕点A逆时针旋转60为ABE。即线段CD绕点A逆时针旋转60得BE中点M，故AN=AM，NAM二60，即AMN是等边三角形。 例2 如
5、图4，P是等边三角形ABC内一点，且PA=3，PB=4，PC=5求APB的大小。 解：将APC绕点A顺时针旋转60，由ABC为等边三角形知，此时所得新三角形边与AB重合。设P旋转后为P，则APP的边长为3的等边三角形，PB=PC=5，又PB=4，故pp2+PB2=PB2从而PPB是以PPB为直角的直角三角形，从而APB=APP+PPB=60+90=150。例3 如图，在凸四边形ABCD中，ABC=30，ADC=60，AD=DC证明:BD2=AB2BC2分析:所证结论即是三条线段BD、AB、BC能构成一个直角三角形因此需利用图形变换把它们集中到一个三角形中证:连接AC AD=DC，ADC=60，
6、ADC是等边三角形故将DCB绕点C顺时针方向旋转60时可得ACE连接BE于是DCBACE且CB=CE，BCE=60BCE是等边三角形，BC=BE，CBE=60ABC=30， ABE=90故AB2BC2=AB2BE2=AE2=BD2练习已知：如图，M是等边ABC内的一个点，且MA=2cm，MB=cm，MC=4cm，求：ABC的边AB的长度。3、旋转到特殊位置例1 如图，在ABC中，ACB=90，A=25，以点C为旋转中心将ABC旋转角到A1B1C的位置，使B点恰好落在A1B1上求旋转角的度数分析:将ABC旋转到点B落在A1B1上的特殊位置时，即确定了旋转角的大小于是A1BB1是平角，它是解题的切
7、入点，通过平角可列方程求出角 解:ABCA1B1C(旋转前后的图形全等)A=A1且CB=CB1ADC=A1DB， A1BD= 在ABC中，ABC=9025=65BCB1=(对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角)CBB1=(180)点A1、B、B1在同一直线上， 65(180)=180解之得=50思考 例1中，若A=，那么与有何数量关系?(答: =2)二、按计算要求进行区分1、求角度例1（青岛）、如图1，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，求APB的度数。分析：由题中已知条件中的6、8、10这组勾股数联想到直角三角形，于是设法将PA、PB、PC集中到一个三角形中，可
8、以将APC绕着A点逆时针旋转60得到AFB， 图1 图2从而可得APB=APF+BPF，然后设法求出APF、BPF的度数即可。解：将APC绕点A逆时针旋转60后，得AFB，连接FP（如图2），则FB=PC=10，FA=PA=6，FAP=60。FAP是正三角形，FP=PA=6，在PBF中，PB2+PF2=82+62=102=BF2，BPF=90，APB=APF+FPB=60+90=150。图3例2、如图所示，ABC中，ACB=120，将该图形绕点C按顺时针旋转30后，得到ABC，则ABC的度数是 。分析：根据旋转的性质可以知道BCB是旋转角，它的度数应该是30，ABC可以看成是ACB和BCB的和
9、，所以ABC=12030=150。答：ABC的度数是150。2、求线段间的关系或长度例1（旅顺）操作：如图3，ABC是正三角形，BDC是顶角BDC=120的等腰三角形，以D为顶点作一个60角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连MN。探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明。分析：本题要探究的三条线段不在同一个三角形之中，必须设法将它们集中到一个三角形中。易知DBA=DCA=90，BD=CD，于是将DBM绕D点顺时针旋转120到DCP的位置，则BM=CP，DM=DP，再证MN=NC+CP即可得证。解：ABC为正三角形，ABC=ACB=60，又BDC=120，DB=DC，DBC=D
10、CB=30。DBM=DCN=90。于是将DBM绕D点顺时针旋转120到DCP位置，则BM=CP、DM=DP、MDP=120，又MDN=60，PDN=60，PDN=MDN，DN=DN，MDNPDN，MN=NP=NC+CP，BM+NC=MN。答：ABC的度数是150。图4图5例2、如图4所示，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30后得到正方形EFGH，EF交AD于点H，那么DH的长是 。分析：由旋转的性质可以知道BFC=DCG=30，所以FCD=60，可以连结线段HC（如图4所示），由已知可知F=D=90，FC=DC，HC是RtFHC和RtDHC公共的斜边，根据HL公理可以判断RtFH
11、CRtDHC，所以FHC=DHC=30，所以HC=2DH，根据勾股定理可得，即，因为DC=3，所以DH=。答：DH的长是。3、求面积 例1、如图4，ABC是等腰直角三角形，D为AB的中点，AB=2，扇形ADG和BDH分别是以AD、BD为半径的圆的，求阴影部分面积。 图4 图5 分析：从表面上看图形异常繁杂，若想直接求阴影部分面积则不可能，若将扇形BDH和BDC绕D点顺时针旋转180，问题就迎刃而解了。解：将扇形BDH和BDC绕D点顺时针旋转180变成图5。 S阴=S半圆SAEF=1212=（1）。图1图2例2、如图所示，AOB中，OA=3cm，OB=1cm，将AOB绕点O按逆时针方向旋转90到
12、AOB，那么AB扫过的区域的面积是 。分析：AB扫过的区域是一个不规则的图形，要想计算它的面积，可以将它分割为和两部分（如图2所示），根据旋转可以知道区域和区域的面积是相等的，所以可以将转化为，而区域的面积=扇形OAA的面积扇形ODD的面积，又因为OD=OD=1，OA=3，所以区域的面积=。答：AB扫过的区域的面积是。4、进行图形分割例4（厦门）如图6，在四边形ABCD中，A=90，ABC与ADC互补。（1）求C的度数；（2）若BCCD且AB=AD，请在图上画一条线段，把四边ABCD分成两部分，使得这两部分能够重新拼成一个正方形，并说明理由。析解：本题设计新颖，巧妙把直观感知、操作确认和逻辑推
13、理结合起来，第（1）问可根据四边形内角和直接求解；第（2）问则ABC+ADC=180，以及要把四边形分成两部分，使得这两部分能够 图6 图7拼成一个正方形，则新图必须有四个直角，由C=90，又AB=AD，因此猜想过点A作AEBC于E，又得一个直角。把ABE绕点A逆时针旋转90，这时AB与AD重合，则被分成两部分拼成一个正方形。5、构造平行四边形例5（天津）如图8，已知四边形纸片ABCD，现需将该纸片剪拼成一个与它面积相等的平行四边形纸片。如果限定裁剪线最多有两条，能否做到： （用“能”或“不能”填空）。若填“能”，请确定裁剪线的位置，并说明拼接方法；若填“不能”，请简要说明理由。分析：本题旨在通过操作与几何说理，拓展学生思考与探索空间，主要考四边形的分割和平行四边形的判定知识，其中包含着深刻的图形变换思想，需要丰富观察能力、抽象思维能力、动手操作能力和解决实际问 图8 图9 图10题能力。本题通过连接四边形对边中点，构造线段相等并利用四边形内角和为360，借助旋转、平移变换，可达到剪拼的目的。解：能。如图9、图10，取四边形ABCD各边的中点E、G、F、H，连接E
