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1、相似三角形题型归纳一、比例的性质：比例的性质示例剖析（1）基本性质：（2）反比性质：（3）更比性质：或或（4）合比性质：（5）分比性质：（6）合分比性质：（7）等比性质：已知，则当时，.二、成比例线段的概念：1比例的项：在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足2成比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段3黄金分割：如图，若线段AB上一点C，把线段AB提成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割
2、，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，AC与AB的比叫做黄金比（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个）三、平行线分线段成比例定理1平行线分线段成比例定理两条直线被三条平行线所截，所得的相应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理如图：如果，则， 【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如AB）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表达为，2平行线分线段成比例定理的推论平行于三角形一边的直线，截其他两边（或两边的延长线），所得的相应线段成比例如图：如果EF/BC，则， 平行线分线段成比例定理的推论的逆定理若或或，则有EF/BC【注意】对于一般形式的平行线分线段成比例的逆
3、定理不成立，反例：任意四边形中一对对边的中点的连线与剩余两条边，这三条直线满足分线段成比例，但是它们并不平行【小结】推论也简称“A”和“8”，逆定理的证明可以通过同一法，做 交AC于点，再证明与F重叠即可四、相似三角形的定义、性质和鉴定1相似图形定义：相应角相等，相应边成比例的图形叫做相似图形相应边的比例叫做相似比相似图形是形状相似，大小不一定相似相似图形间的互相变换称为相似变换性质：两个相似图形的相应角相等，相应边成比例 2相似三角形的定义定义：相应角相等，相应边成比例的三角形叫做相似三角形相应边的比例叫做相似比全等三角形是特殊的相似三角形，全等三角形的相似比是1如图，与相似，记作，符号读作
4、“相似于”注意：如果写成“”，则前后的字母一定相应；如果写成文字，则可以不相应3相似三角形的性质相似三角形的相应角相等如图，则有相似三角形的相应边成比例如图，则有（为相似比）相似三角形的相应边上的中线，高线和相应角的平分线成比例，都等于相似比如图，和是中边上的中线、高线和角平分线，、和是中边上的中线、高线和角平分线，则有相似三角形周长的比等于相似比如图，则有相似三角形面积的比等于相似比的平方如图，则有4相似三角形的鉴定鉴定定理鉴定定理1：如果一种三角形的两个角与另一种三角形的两个角相应相等，那么这两个三角形相似 简称为两角相应相等，两个三角形相似如图，如果，则鉴定定理2：如果两个三角形的三组相
5、应边成比例，那么这两个三角形相似 简称为三边相应成比例，两个三角形相似如图，如果，则鉴定定理3：如果两个三角形的两组相应边成比例，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似 简称为两边相应成比例且夹角相等，两个三角形相似如图，如果，则五、“A”字和“8”字模型基本模型图形重要结论“A”字型“8”字型六、与内接矩形的有关的相似问题如图，已知四边形DEFG是的内接矩形，E、F在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，则有：，特别地，当时，有 七、“A”字和“8”字模型的构造“A”字和“8”字模型的构造常常作平行线，常用的作平行线的措施： 八、斜“8”模型如图为斜“8”字型基本图形当时，则有九、斜“A”
6、模型如图为斜“A”字型基本图形当时，则有如图所示，当E点与C点重叠时，为其常用的一种变形当时，则有如图所示，当E点在AC的延长线上时，为另一种常用的变形 当时，则有十、射影定理在中，于D射影定理：（1）； （2）； （3）注意：（1）射影定理可以直接用，是用来证明的 （2）射影图形中，此外有下面的关系角的相等关系：，同一三角形中三边的平方关系：、十一、三平行模型如图，已知（1）（2）证明：， ， 十一二、三垂直模型如图，（1），则（2）（3）当是中点时，则有变形：如图，（1），则（2）（3）当是中点时，则有证明：， ，又是中点，, 即,又，十三、角平分线定理内角平分线定理：如图，在中，AD是的
7、角平分线，则有证明：过作交延长线于，又平分，由可得：，外角平分线定理如图，在中，的外角平分线交对边BC的延长线于D，则有 证明：过作交于，又平分，由可得：，十四、线束模型若，则有若，则有题型一 比例的性质和成比例线段的概念例题1 （1）已知，则的值是_（2）若则_（3）若，且，则的值是_解析（1）设，；（2）；（3）巩固1： （1）如果，则下列各式不成立的是（）A B C D（2）已知：，求值：；（3）已知，求的值解析：（1）A为合比性质，B为分比性质，C显然对的，D错误，由于，不能用等比定理故答案为D（2）由等比性质直接可以得到；（3）当时， 于是：，当时，本题答案为或8题型二 平行线分线段
8、成比例定理例题2 （1）如图2-1，已知，用面积法证明：（2）如图2-2，若，则_（3）如图2-3，则， 图2-1 图2-2 图2-3（1）如图所示，连接AE，BD，BF，CE，（2）；（3），巩固2： （1）如图2-1，直线，已知，_（2）如图2-2，在中，D、E分别为AB、AC边上的点，若，则_（3）如图2-3，ABDE，AE与DB交于C，则_ 图2-1 图2-2 图2-3解析：（1）0.5cm；（2）；（3）6题型三 相似三角形的定义、性质和鉴定例题3 如图，直角梯形ABCD中，点E在BC上，点F在AC上，（1）求证：（2）当，点E、F分别是BC、AC的中点时，求直角梯形ABCD的面积解
9、析：（1），（2），又F是AC的中点，E是BC的中点，直角梯形ABCD的面积巩固3： （1）下列所给条件中，可以判断与相似的是（）A， B， C， D， （2）如图1，在中，点D是BC边上的中点，且，交BA于点E，EC与AD相交于点F求证：（3）如图2，为等腰直角三角形，求证： 图1 图2解析：（1）D； （2），；垂直平分BC，.（3）由等腰直角三角形得到条件变为，条件变为比例形式：，由于，题型四 “A”字和“8”字模型例题4 （1）如图4-1，已知ABCD中，过点B的直线顺次与AC、AD及CD的延长线相交于点E、F、G，若，则FG的长为_（2）如图4-2，已知在ABCD中，M、N为AB的三
10、等分点，DM、DN分别交AC于P、Q两点，则AP:PQ:QC=_ 图4-1 图4-2解析：（1）四边形ABCD为平行四边形，即得（2） 由DCAB，得，同理，故巩固4： （1）如图4-1，在中，M、E把AC边三等分，MN/EF/BC，MN、EF把提成三部分，则自上而下部分的面积比为 （2）如图4-2，AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且，则的值为_（3）如图4-3，已知在平行四边形ABCD中，M为AB的中点，DM，DB分别交AC于P，Q两点，则_ 图4-1 图4-2 图4-3解析：（1）；（2）；（3），又，题型五 与内接矩形有关的相似问题例题5 （1）如图5-1，中，正方形
11、EFGH的两个顶点E、F在BC上，另两个顶点G、H分别在AC、AB上，BC边上的高，求（2）如图5-2，已知中，四边形DEGF为正方形，D，E在线段AC，BC上，F，G在AB上，如果，求的面积 图5-1 图5-2解析：（1）设正方形EFGH的边长为x，AD、HG的交点为M，则有，即，解得，故（2）设正方形边长为x，则，由，得，解得，巩固5： 如图，已知中，四边形DEGF为正方形，其中D、E在边AC、BC上，F、G在AB上，求正方形的边长 解析：法一：由勾股定理可求得，由可得由可得，设正方形的边长为，则，解得法二：设，则，即，解得，题型六 “A字和“8”字模型的构造例题6 如图，中，D为BC边的中点，延长AD至E，延长AB交CE的延长线于P若，求证：解析：如图，过点D作PC的平行线，交AB于点H，还可用如下辅助线来证此题：巩固6： 如图，已知线段ABCD，AD与BC相交于点K，E是线段AD上一动点（1）若，求的值；（2）连接BE，若BE平分ABC，则当时，猜想线段AB、BC、CD三者之间有如何等量关系？请写出你的结论并予以证明再探究：当，而其他条件不变时，线段AB、BC、CD三者之间又有如何的等量关系？请直接写出你的结论，不必证明解析：（1），又CDAB，（2）当BE平分，时，；证明：取BD的中点为F，连接EF交BC于G点，由中位线定理，得E
