因动点产生的平行四边形问题例1 成都市中考第28题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－2ax－3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），通过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一种交点为D，且CD＝4AC．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数体现式（其中k、b用含a的式子表达）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为 ，求a的值；（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请阐明理由．图1 备用图动感体验请打开几何画板文献名“15成都28”，拖动点E在直线AD上方的抛物线上运动，可以体验到，当EC⊥AC时，△ACE的面积最大．点击屏幕左下角的按钮“第（3）题”，拖动点H在y轴正半轴运动，观测点Q和Q′，可以看到点Q和点Q′都可以落在抛物线上．思路点拨1．过点E作x轴的垂线交AD于F，那么△AEF与△CEF是共底的两个三角形．2．以AD为分类原则讨论矩形，当AD为边时，AD与QP平行且相等，对角线AP＝QD；当AD为对角线时，AD与PQ互相平分且相等．满分解答（1）由y＝ax2－2ax－3a＝a(x＋1)(x－3)，得A(－1, 0)．由CD＝4AC，得xD＝4．因此D(4, 5a)．由A(－1, 0)、D(4, 5a)，得直线l的函数体现式为y＝ax＋a．（2）如图1，过点E作x轴的垂线交AD于F．设E(x, ax2－2ax－3a)，F(x, ax＋a)，那么EF＝yE－yF＝ax2－3ax－4a．由S△ACE＝S△AEF－S△CEF＝＝＝＝，得△ACE的面积的最大值为．解方程，得．（3）已知A(－1, 0)、D(4, 5a)，xP＝1，以AD为分类原则，分两种状况讨论：①如图2，如果AD为矩形的边，那么AD//QP，AD＝QP，对角线AP＝QD．由xD－xA＝xP－xQ，得xQ＝－4．当x＝－4时，y＝a(x＋1)(x－3)＝21a．因此Q(－4, 21a)．由yD－yA＝yP－yQ，得yP＝26a．因此P(1, 26a)．由AP2＝QD2，得22＋(26a)2＝82＋(16a)2．整顿，得7a2＝1．因此．此时P．②如图3，如果AD为矩形的对角线，那么AD与PQ互相平分且相等．由xD＋xA＝xP＋xQ，得xQ＝2．因此Q(2,－3a)．由yD＋yA＝yP＋yQ，得yP＝8a．因此P(1, 8a)．由AD2＝PQ2，得52＋(5a)2＝12＋(11a)2．整顿，得4a2＝1．因此．此时P．图1 图2 图3考点伸展第（3）题也可以这样解．设P(1,n)．①如图2，当AD时矩形的边时，∠QPD＝90°，因此，即．解得．因此P．因此Q．将Q代入y＝a(x＋1)(x－3)，得．因此．②如图3，当AD为矩形的对角线时，先求得Q(2,－3a)．由∠AQD＝90°，得，即．解得．例2 陕西省中考第24题如图1，已知抛物线C：y＝－x2＋bx＋c通过A(－3,0)和B(0, 3)两点．将这条抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N．（1）求抛物线C的体现式；（2）求点M的坐标；（3）将抛物线C平移到抛物线C′，抛物线C′的顶点记为M′，它的对称轴与x轴的交点记为N′．如果以点M、N、M′、N′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C如何平移？为什么？图1动感体验请打开几何画板文献名“14陕西24”，拖动右侧的点M′上下运动，可以体验到，以点M、N、M′、N′为顶点的平行四边形有四种状况．思路点拨1．抛物线在平移的过程中，M′N′与MN保持平行，当M′N′＝MN＝4时，以点M、N、M′、N′为顶点的四边形就是平行四边形．2．平行四边形的面积为16，底边MN＝4，那么高NN′＝4．3．M′N′＝4分两种状况：点M′在点N′的上方和下方． 4．NN′＝4分两种状况：点N′在点N的右侧和左侧．满分解答（1）将A(－3,0)、B(0, 3)分别代入y＝－x2＋bx＋c，得 解得b＝－2，c＝3．因此抛物线C的体现式为y＝－x2－2x＋3．（2）由y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，得顶点M的坐标为(－1,4)．（3）抛物线在平移过程中，M′N′与MN保持平行，当M′N′＝MN＝4时，以点M、N、M′、N′为顶点的四边形就是平行四边形．由于平行四边形的面积为16，因此MN边相应的高NN′＝4．那么以点M、N、M′、N′为顶点的平行四边形有4种状况：抛物线C直接向右平移4个单位得到平行四边形MNN′M′（如图2）；抛物线C直接向左平移4个单位得到平行四边形MNN′M′（如图2）；抛物线C先向右平移4个单位，再向下平移8个单位得到平行四边形MNM′N′（如图3）；抛物线C先向左平移4个单位，再向下平移8个单位得到平行四边形MNM′N′（如图3）．图2 图3考点伸展本题的抛物线C向右平移m个单位，两条抛物线的交点为D，那么△MM′D的面积S有关m有如何的函数关系？如图4，△MM′D是等腰三角形，由M(－1,4)、M′(－1＋m, 4)，可得点D的横坐标为．将代入y＝－(x＋1)2＋4，得．因此DH＝．因此S＝．图4例3 上海市松江区中考模拟第24题如图1，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c通过A(0, 1)、B(4, 3)两点． （1）求抛物线的解析式；（2）求tan∠ABO的值；（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标．图1 动感体验请打开几何画板文献名“13松江24”，拖动点N在直线AB上运动，可以体验到，以M、N、C、B为顶点的平行四边形有4个，符合MN在抛物线的对称轴的左侧的平行四边形MNCB只有一种．请打开超级画板文献名“13松江24”，拖动点N在直线AB上运动，可以体验到，MN有4次机会等于3，这阐明以M、N、C、B为顶点的平行四边形有4个，而符合MN在抛物线的对称轴的左侧的平行四边形MNCB只有一种．思路点拨1．第（2）题求∠ABO的正切值，要构造涉及锐角∠ABO的角直角三角形．2．第（3）题解方程MN＝yM－yN＝BC，并且检查x的值与否在对称轴左侧．满分解答（1）将A(0, 1)、B(4, 3)分别代入y＝－x2＋bx＋c，得 解得，c＝1．因此抛物线的解析式是．（2）在Rt△BOC中，OC＝4，BC＝3，因此OB＝5．如图2，过点A作AH⊥OB，垂足为H．在Rt△AOH中，OA＝1，，因此． 图2因此，． 在Rt△ABH中，．（3）直线AB的解析式为．设点M的坐标为，点N的坐标为，那么．当四边形MNCB是平行四边形时，MN＝BC＝3．解方程－x2＋4x＝3，得x＝1或x＝3．由于x＝3在对称轴的右侧（如图4），因此符合题意的点M的坐标为（如图3）．图3 图4考点伸展第（3）题如果改为：点M是抛物线上的一种点，直线MN平行于y轴交直线AB于N，如果M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．那么求点M的坐标要考虑两种状况：MN＝yM－yN或MN＝yN－yM．由yN－yM＝4x－x2，解方程x2－4x＝3，得（如图5）．因此符合题意的点M有4个：，，，．图5例4 福州市中考第21题如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD//BC，交AB于点D，联结PQ．点P、Q分别从点A、C同步出发，当其中一点达到端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t≥0）．（1）直接用含t的代数式分别表达：QB＝_______，PD＝_______；（2）与否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，阐明理由，并探究如何变化点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ的中点M所通过的途径长．图1 图2动感体验请打开几何画板文献名“12福州21”，拖动左图中的点P运动，可以体验到，PQ的中点M的运动途径是一条线段．拖动右图中的点Q运动，可以体验到，当PQ//AB时，四边形PDBQ为菱形．请打开超级画板文献名“12福州21”，拖动点Q向上运动，可以体验到，PQ的中点M的运动途径是一条线段．点击动画按钮的左部，Q的速度变成1.07，可以体验到，当PQ//AB时，四边形PDBQ为菱形．点击动画按钮的中部，Q的速度变成1.思路点拨1．菱形PDBQ必须符合两个条件，点P在∠ABC的平分线上，PQ//AB．先求出点P运动的时间t，再根据PQ//AB，相应线段成比例求CQ的长，从而求出点Q的速度．2．探究点M的途径，可以先取两个极端值画线段，再验证这条线段是不是点M的途径．满分解答（1）QB＝8－2t，PD＝．（2）如图3，作∠ABC的平分线交CA于P，过点P作PQ//AB交BC于Q，那么四边形PDBQ是菱形．过点P作PE⊥AB，垂足为E，那么BE＝BC＝8．在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，因此AB＝10． 图3在Rt△APE中，，因此． 当PQ//AB时，，即．解得．因此点Q的运动速度为．（3）以C为原点建立直角坐标系．如图4，当t＝0时，PQ的中点就是AC的中点E(3，0)．如图5，当t＝4时，PQ的中点就是PB的中点F(1，4)．直线EF的解析式是y＝－2x＋6．如图6，PQ的中点M的坐标可以表达为（，t）．经验证，点M（，t）在直线EF上．因此PQ的中点M的运动途径长就是线段EF的长，EF＝．图4 图5 图6考点伸展第（3）题求点M的运动途径尚有一种通用的措施是设二次函数：当t＝2时，PQ的中点为(2，2)．设点M的运动途径的解析式为y＝ax2＋bx＋c，代入E(3，0)、F(1，4)和(2，2)，得 解得a＝0，b＝－2，c＝6．因此点M的运动途径的解析式为y＝－2x＋6．例5 烟台市中考第26题如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4)．以A为顶点的抛物线。