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1、鸡兔同笼问题（二）教学目标1. 熟悉鸡兔同笼的“砍足法”和“假设法”.2. 利用鸡兔同笼的方法解决一些实际问题，需要把多个对象进行恰当组合以转化成两个对象知识精讲一、鸡兔同笼这个问题，是我国古代著名趣题之一大约在1500 年前，孙子算经中就记载了这个有趣的问题书 中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这四句话的意思是：有若 干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有 35 个头；从下面数，有 94 只脚求笼中各有几只鸡和兔？你会解答这个问题吗？你想知道孙子算经中是如何解答这个问题的吗？二、解鸡兔同笼的基本步骤解答思路是这样的：假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只
2、鸡就变成了“独脚鸡”，每只兔就变成了“双 脚兔”这样，鸡和兔的脚的总数就由 94 只变成了 47 只；如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数 多 1 因此，脚的总只数 47 与总头数 35 的差，就是兔子的只数，即 47 -35 =12 （只）显然，鸡的只数就是 35 -12 =23 （只）了这一思路新颖而奇特，其“砍足法 ”也令古今中外数学家赞叹不已除此之外， “鸡兔同笼 ” 问题的经典思 路“假设法”假设法顺口溜：鸡兔同笼很奥妙，用假设法能做到，假设里面全是鸡，算出共有几只脚，和脚总数做比 较，做差除二兔找到解鸡兔同笼问题的基本关系式是：如果假设全是兔，那么则有：数=（每只兔子脚数鸡
3、兔总数-实际脚数）（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）兔数=鸡兔总数-鸡数如果假设全是鸡，那么就有：兔数=（实际脚数-每只鸡脚数鸡兔总数）（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）鸡数=鸡兔总数-兔数当头数一样时，脚的关系：兔子是鸡的 2 倍当脚数一样时，头的关系：鸡是兔子的 2 倍在学习的过程中，注重假设法的运用，渗透假设法的重要性，在以后的专题中，如工程，行程，方程等 专题中也都会接触到假设法例题精讲两个量的“鸡兔同笼”问题变例【例 1】某 次数学竞赛，共有 20 道题，每道题做对得 5 分，没做或做错都要扣 2 分，小聪得了 79 分，他做 对了多少道题？【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3 星 【题型】解答
4、【关键词】假设思想方法【解析】 做错 (5 20 -79 ) (5 +2) =3 (道)，因此，做对的 20 -3 =17 (道)【答案】 17 道【巩固】 数学竞赛共有 20 道题，规定做对一道得 5 分，做错或不做倒扣 3 分，赵天在这次数学竞赛中得了 60 分，他做对了几道题？【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】假设思想方法1【解析】 假设他将所有题全部做对了，则可得 100 分，实际上只得了 60 分，比假设少了 40 分，做错一题要 少得 8 分，少得的 40 分中，有多少个 8 分，就是他做错的题的数量，则知他做对了 15 道【答案】 15 道【巩固】 东湖
5、路小学三年级举行数学竞赛，共 20 道试题.做对一题得 5 分，没有做一题或做错一题都要倒扣 2 分.刘钢得了 86 分，问他做对了几道题？【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】 这道题也类似于“鸡兔同笼”问题假设刘钢 20 道题全对，可得分 5 20 =100 （分），但他实际上只 得 86 分，少了 100 -86 =14 （分），因此他没做或做错了一些题由于做对一道题得 5 分，没做或 做错一道题倒扣 2 分，所以没做或做错一道题比做对一道题要少 5 +2 =7 （分） 14 分中含有多少 个 7 ，就是刘钢没做或做错多少道题所以，刘钢没做或做错
6、题为14 7 =2（道），做对题为 20 -2 =18 （道）【答案】 18 道【巩固】 某次数学竞赛，试题共有 10 道，每做对一题得 6 分，每做错一题倒扣 2 分。小红最终得 44 分，做 对的题比做错的题多_道。【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】学而思杯，3 年级，第 8 题，假设思想方法【解析】 (60-44 )8=2，做错 2 道题，做对 8 道题，对的比错的多 6 道。【答案】多 6 道【巩固】 次数学竞赛有 10 道试题，若小宇得 70 分，根据图 5 中两人的对话可知小宇答对_题。【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】希望杯，五
7、年级，一试，第 12 题【解析】 设答对了 x 道题，那么10x -5 (10 -x ) =70 ，所以 x =8 ，也就是小宇答对了 8 道题。【答案】 8 题【巩固】 一次口算比赛，规定：答对一题得 8 分，答错一题扣 5 分。小华答了 18 道题，得 92 分，小华在此 次比赛中答错了_ 道题。【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，二试，第 12 题【解析】 假设他全答对了，应该的 188=144 分，实际上少了 144-92=52 分，每答错一道题少 8+5=13 分，答 错了 5213=4 道题。【答案】 4 题【例 2】某工人与老板签订了一份
8、30 天的劳务合同：工作一天可得报酬 48 元，休息一天则要从所得报酬中 扣掉 12 元。该工人合同到期后并没有拿到报酬，则他最多工作了_天。【考点】和倍问题 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，二试，第 5 题【解析】 方法一：假设他没有休息他会得 30 48=1440 （元），休息一天会少 48 +12=60 （元），所以他休息 了 1440 60=24 （天），他工作了 30 -24=6 天方法二：工作一天休息 4 天刚好抵消，那么最后没拿到钱，他只工作了 30(4+1)=6 天。【答案】 6 天【例 3】春风小学 3 名云参加数学竞赛，共 10 道题，答对一道题得 1
9、0 分，答错一道题扣 3 分，这 3 名同学 都回答了所有的题，小明得了 87 分，小红得了 74 分，小华得了 9 分，他们三人一共答对了_2道题.【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】假设思想方法【解析】 三人共得 87 +74 +9 =170 (分)，比满分 10 10 3 =300 (分)少 300 -170 =130 (分)因此三个人共做错：130 (10 +3) =10 (道)题，共答对了 30 -10 =20 (道)题【答案】 20【例 4】张明、李华两人进行射击比赛，规定每射中一发得 20 分，脱靶一发扣 12 分，两人各射了 10 发，共 得 208 分
10、，其中张明比李华多 64 分，则张明射中_发。【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】希望杯，4 年级，1 试【解析】 张明得分（20864） 2136 分，根据鸡兔同笼，张明脱靶（2010136） （2012）2，射中 8 发。【答案】 8 发【巩固】 小明和小刚进行数学解题能力对抗赛，两人商定，对一题得 20 分，不答或答错一题扣 12 分。两人 各解答了 10 道题，一共得 208 分，又知道小明比小刚多得 64 分。那么小刚做对了 道题。【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】迎春杯，高年级，初试，10 题【解析】 小刚得了 (208 -64)2
11、=72 （分）,如果小刚 10 道题都做对了，应得 200 分，实际得 72 分，所以错了(200 -72)(20+12)=4 （道），做对了 10 -4 =6 （道）。【答案】 6 道【巩固】 有两次自然测验，第一次 24 道题，答对 1 题得 5 分，答错(包含不答)1 题倒扣 1 分；第二次 15 道 题，答对 1 题 8 分，答错或不答 1 题倒扣 2 分，小明两次测验共答对 30 道题，但第一次测验得分 比第二次测验得分多 10 分，问小明两次测验各得多少分？【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】 法一：如果小明第一次测验 24 题全对，得
12、5 24 =120 (分).那么第二次只做对 30 -24 =6 (题)得分是 8 6 -2 (15 -6) =30 (分).两次相差 120 -30 =90 (分).比题目中条件相差 10 分，多了 80 分.说明假设 的第一次答对题数多了，要减少.第一次答对减少一题，少得5 +1 =6 (分)，而第二次答对增加一题不 但 不 倒 扣 2 分 ， 还 可 得 8 分 ， 因 此 增 加 8 +2 =10 分 . 两 者 两 差 数 就 可 减 少 6 + 1 =0 1(分6). (90 -10) (6 +10) =5 (题).因此，第一次答对题数要比假设(全对)减少 5 题，也就是第 一 次
13、答对 19 题， 第二次 答对 30 -19 =11 ( 题 ). 第一 次得 分 5 19 -1(24 -9) =90 . 第 二次 得分 8 11 -2 (15 -11) =80 .法二：答对 30 题，也就是两次共答错 24 +15 -30 =9 (题).第一次答错一题，要从满分中扣去 5 +1 =6 (分)，第二次答错一题，要从满分中扣去 8 +2 =10 (分).答错题互换一下，两次得分要相差 6 +10 =16 (分).如果答错 9 题都是第一次，要从满分中扣去 6 9 .但两次满分都是 120 分.比题目中条 件“第一次得分多 10 分”，要少了 6 9 +10 .因此，第二次答
14、错题数是 (6 9 +10) (6 +10) =4 (题).第一次答错 9 -4 =5 (题).第一次得分 5 (24 -5) -15 =90 (分).第二次得分 8 (15 -4) -2 4 =80 (分).【答案】第一次得分 90 分.第二次得分 80 分.【例 5】某旅游点有儿童票、成人票两种规格的门票卖，儿童票的价格为 30 元，成人票的价格为 40 元，如 果是团体还可以买平均 32 元一位的团体票，一个由 8 个家庭组成的旅游团（每个家庭由两位大人， 或两个大人、一个小孩组成）来景点旅游，如果他们买团体票那么可以比他们各买各的少花 120 元， 问这个旅游团一共有多少人？【考点】鸡
15、兔同笼问题 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】 每个三口之家可以少花 30 +40 +40 -32 3 =14（元），每个二口之家可以少花 40 +40 -64 =16（元）， 如 果 这 8 个 家 庭 都 是 三 口 之 家 ， 那 么 一 共 少 花 14 8 =112 （ 元 ）， 所 以 这 8 个 家 庭 中 有 （120 - 112）（16- ）14=（4个）家庭是二口之家，所以这个旅游团一共有 4 2 +（8-4）3=20（人）3【答案】 20 人【例 6】一 张数学试卷，只有 25 道选择题做对一题得 4 分，做错一题倒扣 1 分；如不做，不得分也不扣 分若小明得了 78 分，那么他做对 题，做错 题，没做 题【考点】鸡兔同笼问题 【难度】4 星 【题型】填空【关键词】假设思想方法，祖冲之杯【解析】 这道题不是普通的鸡兔同笼问题，需要寻找一些特殊的线
