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1、异面直线所成角的求法1、正确理解概念（1）在异面直线所成角的定义中，空间中的点O是任意选取的，异面直线a和b所成角的大小，与 点O的位置无关。（2）异面直线所成角的取值范围是（0，902、熟练掌握求法（1）求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，进而利 用平面几何知识求解，整个求解过程可概括为：一作二证三计算。（2 ）求异面直线所成角的步骤： 选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊点。 求相交直线所成的角，通常是在相应的三角形中进行计算。 因为异面直线所成的角0的范围是0 0 90,所以在三角形中求的角为钝角时，应取它的
2、补角 作为异面直线所成的角。3、补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理， 禾U用补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。例 1 如图，长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AA1=AB=2, AD=1,点 E、F、G 分别是 DD1、AB、CC1的中 点，则异面直线B1E与GF所成角的余弦是。例2已知S是正三角形ABC所在平面外的一点，如图SA = SB = SC, 且/ ASB= / BSC= / CSA=坦,M、N分别是AB和SC的中点.2求异面直线SM与BN所成的角的余弦值.AAA例3长方体ABCDA1B1C1D1中，若AB = BC
3、= 3 , AA1=4，求异面直线B1D与BC1所成角的大小。例4如图，PA1平面ABC , 3CB = 90。且PA = AC = BC = a，则异面直线PB与AC所成角 的正切值等于.练习：1. 在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和 BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是()(A)2. 如图，A1B1C1ABC是直三棱柱(三侧面为矩形)，匕BCA=90,点DF】分别是A、A1C】的中点若BC = CA=CC1，则BD与AF1所成角的余弦值是()(A)邑(B)1(C)邑正10215103. 正方体ABCDA1B1C1D中，直线BC1与AC(A)相交
4、且垂直(B)相交但不垂直(C)异面且垂直(D)异面但不垂直4. 设a、b、c是空间中的三条直线，下面给出四个命题： 如果 abx bc，则 aiic; 如果a和b相交，b和c相交，则a和c也相交； 如果a、b是异面直线，c、b是异面直线，则a、c也是异面直线； 如果a和b共面，b和c共面，则a和。也共面在上述四个命题中，真命题的个数是()(A)4(B)3(C)2(D)1(E)05. 如果直线l和n是异面直线，那么和直线l、n都垂直的直线(A)不一定存在(B)总共只有一条(C)总共可能有一条，也可能有两条(D)有无穷多条6. 如图，四面体SABC的各棱长都相等，如果E、F分别为SC、AB的中点，
5、那么异面直线EF与SA所成的角等于(A)90(B)60(C)45(D)307. 右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，BM与ED平行；CN与BE是异面直线；CN与BM成60角；DM与BN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是()(A)(B)(C)(D)8. 如图，四面体ABCD中，ACBD,且AC = 4,BD = 3,M、N分别是AB、CD的中点，则求MN和 BD所成角的正切值为.(第8题)C9 .异面直线a、b成60,过空间一点P的直线c与a、b成角都为60,则这样的直线c有 条。10 .异面直线a、b成60,直线ca，则直线b与c所成的角的范围为()(A ) 30, 90( B )
6、60, 90(C ) 30, 60( D ) 60, 12011.如图，正三棱柱的九条棱都相等，三个侧面都是正方形，AB1所成角的余弦值。M、N分别是BC和A1C的中点 求MN与(第11题)12.如图，四面体 ABCD 中，E 为 AD 中点，若 AC = CD = DA = 8, AB = BD = 5 , BC = 7，求 BE 与 AC 所 成角的余弦值。二.共面,共线、共点问题共点问题：证明线共点，就是要证明这些直线都过其中两条直线的交点.解决此类问题的一般方法是：先证其中 两条直线交于一点，再证该点也在其他直线上.共线问题：证明点共线，常常采用以下两种方法：转化为证明这些点是某两个平
7、面的公共点，然后根据公理3 证得这些点都在这两个平面的交线上；证明多点共线问题时，通常是过其中两点作一直线，然后证明其 他的点都在这条直线上.共面问题：证明空间的点、线共面问题，通常采用以下两种方法：根据已知条件先确定一个平面，再证明其他 点或直线也在这个平面内；分别过某些点或直线作两个平面，证明这两个平面重合.1. 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D中，E为AB中点，F为A1A的中点. 求证：（1）E、C、D、F四点共面；（2）CE、DJ、DA三线共点。2. 如图，ABCD，AB A a = B, CD A a = D, AC A a = E，求证：B、E、D 三点共 线。练习：1.
8、共点的四条直线最多能确定个平面。2. 空间四点中，若任意三点不共线，那么经过三点的平面有-3.已知平面以A平面P =l，点人、B ea，点C e。且C史l，AB A l = R，设过A、B、C三点的平面为丫，则。A7是（ ）A.直线AC B.直线BC C.直线CR D.以上全错4. 已知MBC三边AB、BC、CA分别交平面a于P、Q、R,求证：P、Q、R共线。5. 如果MBC和小卢匚不在同一平面内，且AA1、BB1、CC1两两相交，求证：三直线AA1、BB1、CC1 交于一点。三平行问题1、“线线”的证明：(1)平行四边形法：由 AB =DDiCi如图，在正方体ABCD 一 ABC D中i i
9、 i 1 1得四边形ABCi Di为平行四边形，于是BRI/MD11中位线法：如图，四棱锥的底面ABCD为平行四边形，点Q是PC的中点，则由OQ是 PAC的中位线,得到OQIIPA ；(3)“线11面”平行法：如图,若BiCi平面ABCD,过BiCi的平面交平面ABCD于MN,则BiCi 11 MN ；(4)“面面”法：如图,若平面AiBiCiDi 11平面ABCD,平面以与平面AiBiCiDi、平面ABCD分别交于EF、MN, 则有 EF11 MN;(5) “平行线分线段成比例定理的推论”:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)， 所得的对应线段成比例。Ai如图，在正方体ABCD
10、 - AiBiCi?中，E，F分别为面对角DE AF线D,B, , AB上的动点，且DE= A F，则= T -I i， i i ， eb fb又 DBE=EE，故 EE=FF 所以 efgb。12、“线面”的证明：（1广线线”法：如图,Q为PC的中点，则OQ AP，所以OQ 平面PAD ；（2）“面面”法：如图若ABCD. 平面ABCD,直线MN在平面A1B1C1D1,则Mn/平面ABCD ；3、“面面”的证明: “线面”法：如图,在平面a1bCidi上找到两条相交直线MN、心仁均平行于平面ABCD,则有平面BCDx 平面ABCD ；例题分析：1. a a,b a，则a与b的位置关系（）a.
11、平行 b.异面 c.相交 d.以上情况均有可能2. a ,b是两条不相交的直线，则过直线b且平行于a的平面（）A.有且只有一个B.至少有一个C.至多有一个D.以上答案都不对3、已知正方体ABCD-ABCD、中，E , F分别是AB , BC的中点。求证：EFH ADC。4、如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P , E、F分别是AB, PC的中点， 求证：EFII平面PAD ；5.如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，点E、F分别为棱AB、PD的中点。求证：AFII平面PCE ；6、如图，在正方体ABCD - A1BC D1中，E是AA1的中点，求证：A1C 平面BDE。7.如图，在底面为平
12、行四边形的四棱锥P ABCD中，点E是PD的中点.求证：PB II平面AEC .8 .已知正四棱锥PABCD , M、N分别是PAS BD上的点，且PM : MA=BN : ND=5 : 8，求证：直线MN| 平面PBC ;9、正方体 ABCD-A1B1C1D1 , P、Q分别是正方形AA1D1D和A1B1C1D1的中心。求证PQ 平面DD1C1C ；10 .已知正三棱柱ABC - A1B1C1 , D为AC中点。求证：直线AB1II平面C1DB ；11 .如图:已知A1B1C1 - ABC是正三棱柱D是AC中点.证明:AB111平面DBC1；12 .如图，在斜三棱柱ABC - AB C中，E
13、、F分割是棱B C、A A的中点，证明AE 平面B FC , ， 113 .如图，在四棱锥P ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，E是PC的三等分点，F是PB的中点，求证：AF 面BDE ；14、如图PA平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB , PD的中点。求证：AF/平面PCE ；15.如图，平面EFGH分别平行于CD,AB，E,F,G,H分别在B,BC,AC,AD上，且 CD = a，AB = b，CD AB .（1）求证：EFGH是矩形；（2）求当点E在什么位置时，EFGH 的面积最大.16.如图，在四棱锥S - ABCD 中，SA = AB = 2，SB = SD = 242，底面ABCD是菱形，且ZABC = 60。，E为CD的中点.侧棱SB上是否存在点F， 使得CF/平面SAE ?并证明你的结论.17.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，AD/BC, PA=AB =BC=1 AD-在棱PD 2上是否存在一点&使隽平面PAB?若存在，请确定E点的位置；若不存在，请说明理 由.P18.如图，在长方体ABCD ABCD中，E为CC的中点.11111(1)求证：AC/平面BDE ；(2)判断并证明，点F在棱DD1上什么位置时，平面AC1 F /平面BDE.
