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1、异面直线所成角的求法1、正确理解概念(1)在异面直线所成角的定义中,空间中的点O是任意选取的,异面直线a和b所成角的大小,与 点O的位置无关。(2)异面直线所成角的取值范围是(0,902、熟练掌握求法(1)求异面直线所成角的思路是:通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线,进而利 用平面几何知识求解,整个求解过程可概括为:一作二证三计算。(2 )求异面直线所成角的步骤: 选择适当的点,平移异面直线中的一条或两条成为相交直线,这里的点通常选择特殊点。 求相交直线所成的角,通常是在相应的三角形中进行计算。 因为异面直线所成的角0的范围是0 0 90,所以在三角形中求的角为钝角时,应取它的
2、补角 作为异面直线所成的角。3、补形法”是立体几何中一种常见的方法,通过补形,可将问题转化为易于研究的几何体来处理, 禾U用补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。例 1 如图,长方体 ABCDA1B1C1D1 中,AA1=AB=2, AD=1,点 E、F、G 分别是 DD1、AB、CC1的中 点,则异面直线B1E与GF所成角的余弦是。例2已知S是正三角形ABC所在平面外的一点,如图SA = SB = SC, 且/ ASB= / BSC= / CSA=坦,M、N分别是AB和SC的中点.2求异面直线SM与BN所成的角的余弦值.AAA例3长方体ABCDA1B1C1D1中,若AB = BC
3、= 3 , AA1=4,求异面直线B1D与BC1所成角的大小。例4如图,PA1平面ABC , 3CB = 90。且PA = AC = BC = a,则异面直线PB与AC所成角 的正切值等于.练习:1. 在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,M和N分别为A1B1和 BB1的中点,那么直线AM与CN所成角的余弦值是()(A)2. 如图,A1B1C1ABC是直三棱柱(三侧面为矩形),匕BCA=90,点DF】分别是A、A1C】的中点若BC = CA=CC1,则BD与AF1所成角的余弦值是()(A)邑(B)1(C)邑正10215103. 正方体ABCDA1B1C1D中,直线BC1与AC(A)相交
4、且垂直(B)相交但不垂直(C)异面且垂直(D)异面但不垂直4. 设a、b、c是空间中的三条直线,下面给出四个命题: 如果 abx bc,则 aiic; 如果a和b相交,b和c相交,则a和c也相交; 如果a、b是异面直线,c、b是异面直线,则a、c也是异面直线; 如果a和b共面,b和c共面,则a和。也共面在上述四个命题中,真命题的个数是()(A)4(B)3(C)2(D)1(E)05. 如果直线l和n是异面直线,那么和直线l、n都垂直的直线(A)不一定存在(B)总共只有一条(C)总共可能有一条,也可能有两条(D)有无穷多条6. 如图,四面体SABC的各棱长都相等,如果E、F分别为SC、AB的中点,
5、那么异面直线EF与SA所成的角等于(A)90(B)60(C)45(D)307. 右图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,BM与ED平行;CN与BE是异面直线;CN与BM成60角;DM与BN垂直.以上四个命题中,正确命题的序号是()(A)(B)(C)(D)8. 如图,四面体ABCD中,ACBD,且AC = 4,BD = 3,M、N分别是AB、CD的中点,则求MN和 BD所成角的正切值为.(第8题)C9 .异面直线a、b成60,过空间一点P的直线c与a、b成角都为60,则这样的直线c有 条。10 .异面直线a、b成60,直线ca,则直线b与c所成的角的范围为()(A ) 30, 90( B )
6、60, 90(C ) 30, 60( D ) 60, 12011.如图,正三棱柱的九条棱都相等,三个侧面都是正方形,AB1所成角的余弦值。M、N分别是BC和A1C的中点 求MN与(第11题)12.如图,四面体 ABCD 中,E 为 AD 中点,若 AC = CD = DA = 8, AB = BD = 5 , BC = 7,求 BE 与 AC 所 成角的余弦值。二.共面,共线、共点问题共点问题:证明线共点,就是要证明这些直线都过其中两条直线的交点.解决此类问题的一般方法是:先证其中 两条直线交于一点,再证该点也在其他直线上.共线问题:证明点共线,常常采用以下两种方法:转化为证明这些点是某两个平
7、面的公共点,然后根据公理3 证得这些点都在这两个平面的交线上;证明多点共线问题时,通常是过其中两点作一直线,然后证明其 他的点都在这条直线上.共面问题:证明空间的点、线共面问题,通常采用以下两种方法:根据已知条件先确定一个平面,再证明其他 点或直线也在这个平面内;分别过某些点或直线作两个平面,证明这两个平面重合.1. 如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D中,E为AB中点,F为A1A的中点. 求证:(1)E、C、D、F四点共面;(2)CE、DJ、DA三线共点。2. 如图,ABCD,AB A a = B, CD A a = D, AC A a = E,求证:B、E、D 三点共 线。练习:1.
8、共点的四条直线最多能确定个平面。2. 空间四点中,若任意三点不共线,那么经过三点的平面有-3.已知平面以A平面P =l,点人、B ea,点C e。且C史l,AB A l = R,设过A、B、C三点的平面为丫,则。A7是( )A.直线AC B.直线BC C.直线CR D.以上全错4. 已知MBC三边AB、BC、CA分别交平面a于P、Q、R,求证:P、Q、R共线。5. 如果MBC和小卢匚不在同一平面内,且AA1、BB1、CC1两两相交,求证:三直线AA1、BB1、CC1 交于一点。三平行问题1、“线线”的证明:(1)平行四边形法:由 AB =DDiCi如图,在正方体ABCD 一 ABC D中i i
9、 i 1 1得四边形ABCi Di为平行四边形,于是BRI/MD11中位线法:如图,四棱锥的底面ABCD为平行四边形,点Q是PC的中点,则由OQ是 PAC的中位线,得到OQIIPA ;(3)“线11面”平行法:如图,若BiCi平面ABCD,过BiCi的平面交平面ABCD于MN,则BiCi 11 MN ;(4)“面面”法:如图,若平面AiBiCiDi 11平面ABCD,平面以与平面AiBiCiDi、平面ABCD分别交于EF、MN, 则有 EF11 MN;(5) “平行线分线段成比例定理的推论”:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线), 所得的对应线段成比例。Ai如图,在正方体ABCD
10、 - AiBiCi?中,E,F分别为面对角DE AF线D,B, , AB上的动点,且DE= A F,则= T -I i, i i , eb fb又 DBE=EE,故 EE=FF 所以 efgb。12、“线面”的证明:(1广线线”法:如图,Q为PC的中点,则OQ AP,所以OQ 平面PAD ;(2)“面面”法:如图若ABCD. 平面ABCD,直线MN在平面A1B1C1D1,则Mn/平面ABCD ;3、“面面”的证明: “线面”法:如图,在平面a1bCidi上找到两条相交直线MN、心仁均平行于平面ABCD,则有平面BCDx 平面ABCD ;例题分析:1. a a,b a,则a与b的位置关系()a.
11、平行 b.异面 c.相交 d.以上情况均有可能2. a ,b是两条不相交的直线,则过直线b且平行于a的平面()A.有且只有一个B.至少有一个C.至多有一个D.以上答案都不对3、已知正方体ABCD-ABCD、中,E , F分别是AB , BC的中点。求证:EFH ADC。4、如图,已知矩形ABCD所在平面外一点P , E、F分别是AB, PC的中点, 求证:EFII平面PAD ;5.如图,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,点E、F分别为棱AB、PD的中点。求证:AFII平面PCE ;6、如图,在正方体ABCD - A1BC D1中,E是AA1的中点,求证:A1C 平面BDE。7.如图,在底面为平
12、行四边形的四棱锥P ABCD中,点E是PD的中点.求证:PB II平面AEC .8 .已知正四棱锥PABCD , M、N分别是PAS BD上的点,且PM : MA=BN : ND=5 : 8,求证:直线MN| 平面PBC ;9、正方体 ABCD-A1B1C1D1 , P、Q分别是正方形AA1D1D和A1B1C1D1的中心。求证PQ 平面DD1C1C ;10 .已知正三棱柱ABC - A1B1C1 , D为AC中点。求证:直线AB1II平面C1DB ;11 .如图:已知A1B1C1 - ABC是正三棱柱D是AC中点.证明:AB111平面DBC1;12 .如图,在斜三棱柱ABC - AB C中,E
13、、F分割是棱B C、A A的中点,证明AE 平面B FC , , 113 .如图,在四棱锥P ABCD中,四边形ABCD是平行四边形,E是PC的三等分点,F是PB的中点,求证:AF 面BDE ;14、如图PA平面ABCD,四边形ABCD是矩形,E、F分别是AB , PD的中点。求证:AF/平面PCE ;15.如图,平面EFGH分别平行于CD,AB,E,F,G,H分别在B,BC,AC,AD上,且 CD = a,AB = b,CD AB .(1)求证:EFGH是矩形;(2)求当点E在什么位置时,EFGH 的面积最大.16.如图,在四棱锥S - ABCD 中,SA = AB = 2,SB = SD = 242,底面ABCD是菱形,且ZABC = 60。,E为CD的中点.侧棱SB上是否存在点F, 使得CF/平面SAE ?并证明你的结论.17.如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为梯形,AD/BC, PA=AB =BC=1 AD-在棱PD 2上是否存在一点&使隽平面PAB?若存在,请确定E点的位置;若不存在,请说明理 由.P18.如图,在长方体ABCD ABCD中,E为CC的中点.11111(1)求证:AC/平面BDE ;(2)判断并证明,点F在棱DD1上什么位置时,平面AC1 F /平面BDE.