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1、条件变化之后的概率对由于条件变化而引起的概率悖论的讨论【摘要】: 悖论在数学中无处不在,但她们最常常是在一种比较高档的水平上浮现.然而在概率方面.悖论却在一种比较简朴的水平上浮现.本文重要运用全概率公式和贝叶斯公式,解决某些由于条件变化而引起的概率悖论.并且通过度析两种常用的概率悖论,探讨概率悖论形成的因素,以及解决的措施,以期引起读者的注重和思考.【核心词】: 数学;悖论;条件概率;特指1. 前言悖论,从字面上讲就是荒唐的理论.有关悖论的来源,可以追溯到古希腊和国内先秦哲学时代.但是在那时及其往后的一段相称长的时期中,悖论往往泛指那些推理过程看上去是合理,但是推理的成果却又违背客观实际.如出
2、名的芝诺悖论中的阿基里斯追龟说:阿基里斯(一种善跑的猛将)要追上在前面跑的乌龟,必须先达到乌龟的出发点,而那时乌龟又已经跑过前面一段路了,如此这样往复,因此阿基里斯永远也追不上乌龟.1 徐利治.数学措施论选讲(第三版)M.武汉:华中科技大学出版社,. 在历史上,尚有另一种与之相反的情形而称之为悖论,那就是由于新概念的引人而违背了具有历史局限性的老式观念,这就不是推理看上去仿佛是合理的问题,而是老式观念貌似事实的事了.例如伽利略悖论:自古人们就觉得“整体不小于部分”,目前有两个数列和,“整体不小于部分”的观点,第二个数列中元素的个数会少于第一种数列.但是从相应的角度看,第一种数列中的任意项总可以
3、和第二个数列中的相应,因此两个数列中的元素是同样多的.2 凌晓牧.小议数学悖论.江苏教育学院学报（自然科学）,第26卷第12期.2 2. 知识准备2.1 样本空间对于随机实验,尽管在每次实验之前不能预知实验的成果,但实验的所有也许成果构成的集合是已知的.我们将随机实验E的所有也许成果构成的集合称为E的样本空间.2.2 概率在一次实验中,一种事件(除必然事件与不也许事件外)也许发生也也许不发生,其发生的也许性的大小是客观存在的.事件发生的频率以及它的稳定性,表白能用一种数来表征事件在一次实验中的也许性大小.我们从频率的稳定性及频率的性质得到启发和抽象,给出了概率的定义.我们定义了一种集合(事件)
4、的函数,它满足三条基本性质:1) 非负性: 对于每一种事件A,有;2) 规范性: 对于必然事件S,有;3) 可列可加性: 设是两两互不相容的事件,即对于,有这一函数的函数值就定义为事件A的概率.3 王潘玲.应用高等数学M.杭州,浙江科学技术出版社,.36-38.32.3 古典概型中的概率概率的定义只给出概率必须满足的三条基本性质,并未对事件A的概率给定一种具体的数.只在古典概型的状况下,对于每个事件A给出了概率.一般,我们可以进行大量的反复实验,得到事件A的频率,而以频率作为的近似值.或者根据概率的性质分析,得到的取值.2.4 条件概率在古典概型中,我们证明了条件概率的公式在一般的状况,上述公
5、式作为条件概率的定义.固定A,条件概率具有概率定义中的三条基本性质,因而条件概率是一种概率.4 盛骤等.概率论与数理记录.北京.高等教育出版社.，6（4）：1-24.43. 某些典型的概率悖论3.1 三门问题这是条件概率中的一种典型问题了.说在一次综艺节目上,设立了三个门,其中一种门背面是汽车,而此外两个门背面则是山羊.有一种嘉宾上去抽奖,固然想抽到汽车了.第一步,她先选中一种门,例如说1号门.选中了但不打开门.这时剩余的两个门里,至少有一种门背后是羊,对吧.第二步,主持人过来了,固然,她事先是懂得汽车在哪个门后的.她在嘉宾剩余的那两个门中,把一种有羊的门打开了,例如说,打开了3号门,门后有羊
6、.目前的问题就是嘉宾是坚持选她刚刚选的1号门对她有利,还是改选剩余的2号门对她有利.5 马丁加德纳.从惊讶到思考数学悖论奇景M.四川:四川人民出版社,1985:1-108.5第一种想法:每一种门后是汽车的概率都是,不管主持人怎么开门,每个门后的奖品都没被换过,那概率怎么会变化呢?1号门和2号门中奖的概率仍旧都是.第二种想法:当主持人打开了一种门后,剩余了两个门,其中一种有羊,另一种有汽车,1号门和2号门背后有汽车的概率都是.这两种想法固然都是错误的.下面我们用概率论的知识来计算一下.我们以表达事件在号门背面有汽车,以表达事件主持人打开的是第号门.那么在第一步中,有样本空间,且有在这一步中,我想
7、人们都是没有异议的. 表格 1 三门问题中的所有事件及其概率事件门后的奖品主持人打开的门以及打开这个门的概率1号门2号门3号门汽车羊羊2号门汽车羊羊3号门羊汽车羊3号门1羊羊汽车2号门1而在第二步中,当主持人在剩余的两个门中把一种有羊的门打开之后,样本空间就发生了变化6 郑玉仙.缩短样本空间在条件概率计算中的应用.浙江水利水电专科学校学报,01期.6,我们把变化后的样本空间记为,即有.从而本来的问题可以等价为在发生的条件下, 和发生的概率大小,即,.下面先求.由全概率公式可求得打开三号门的概率,于是由条件概率的定义,有代入数据,有同理,有也就是说,在主持人开门之前,2号门后有车的概率是,当主持
8、人打开了一种有羊的门后来,2号门后的奖品没被换过,有车的概率却变成了.而刚开始嘉宾选中的1号门后有车的概率却没有变过,仍是.计算成果没有错,但我们怎么从感官上去接受这件事呢?这件事的核心就是,主持人事先懂得答案了,在这种状况下,她故意识地打开了有羊的门,就会变化这一概率事件的条件,也就会变化2号门中奖的概率,如果主持人是随便选的一门,想选哪个选哪个,那她的选择就不会影响概率.如果你是嘉宾,你可以这样想,你第一次选的门是你自己选的,中奖的概率是没错.但是在剩余的两个门里,有一种懂得答案的人替你裁减了一种不中奖的选择,换句话说,相称于是帮你作弊了.因此你第一次选的门中奖的概率没变,但是剩余的门通过
9、了主持人的一轮筛选,概率就变高了.7 赵院娥,乔淑莉.悖论及其对数学发展的影响J.延安大学学报（自然科学版）,2（1）:21-25.7我们可以做另一种相似的实验.有10个彩票,其中一种是有奖的,剩余的9个是没奖的.目前让嘉宾从这10个彩票中随机地抽取了一种,不妨设其为1号彩票.那么她中奖的概率是,这一点是没有疑问的.这时,在剩余的9个彩票中,或者有9张是没奖的,或者是8张没奖的加1张有奖的.也就是说,至少有8个没有奖.假设发售彩票的人是懂得哪个有奖的.目前她在剩余的9个彩票中,去掉了8个没奖的,不妨就分别设其为2,3,4,5,6,7,8,9号彩票.那么,我们要问的是嘉宾刚开始选的1号彩票中奖的
10、概率高,还是剩余的10号彩票中奖的概率高.8 Zemelo E. Investigations in the foundations of set theory M / Heijenoort J V. From Frege to GLdel: a source book in mathematical logic. Boston: Harvard University Press, 1967: 200.8显然,我们应当承认下面的观点:只要1号彩票不中奖,10号彩票就必然中奖.而1号彩票不中奖的概率显然是.即有下面的概率:目前我们变化条件:当嘉宾选择了1号彩票后来,有此外的8个人（固然不懂得哪个
11、有奖）选择了个彩票,不妨分别设其为2,3,4,5,6,7,8,9号彩票,并且在打开后来发现都没有中奖.问目前号、10号彩票哪个中奖的概率高一点?一方面我们仔细观测分析一下就会发现,这是一种典型的不放回抽样实验.而在不放回抽样中,抽样不分先后,概率大小都同样,这是我们都清晰的.于是先计算后来的8位嘉宾都不中奖（记为事件C）的概率为那么在事件C发生的前提下,1号彩票中奖的概率为同理, 也就是说,此事1号彩票和10号彩票中奖的概率是同样的.3.2 星期二男孩问题在讨论星期二男孩问题之前,我们先讨论此外一种问题以作铺垫.问题:老张有两个孩子,已知其中一种是女儿,问另一种也是女儿的概率是多少?问题:老张
12、有两个孩子,给她家打电话,接电话的是她女儿,问她有两个女儿的概率是多少?9 王秀芳,郝素娥.论数学悖论的思维特色J.山西大学师范学院（综合版）,1993,（2）.9好多没接触过条件概率的人,一看到这种问题就直接糊涂了:这两个问题有什么不同样吗?两个问题不都是懂得其中有一种是女儿,然后问另一种也是女儿的概率吗?概率不应当都是吗?其实这只是波及到条件概率的一种简朴问题.我们先列出一种表格,把老张家两个孩子性别的所有也许都列出来.表格 2 老张家两个孩子性别的所有也许编号第一种孩子第二个孩子1女女2女男3男女4男男令A,B,C分别表达事件老张有两个儿子,老张有一儿一女,老张有两个女儿.则由上表显然有
13、令E,F分别表达事件其中一种是女儿,接电话的是女儿.显然E发生的概率就是和发生的概率大小之和而F发生的概率可以用全概率公式求得为了更好地比较与,我们也用全概率公式计算一遍而问题a与问题b可以分别等价于求在E发生的条件下C发生的概率和在F发生的条件下C发生的概率,即规定和.这两个概率可以用贝叶斯公式计算得到那么是什么导致了这两个概率的不同呢?我们可以这样想,在问题a中其中一种是女儿可以指两个孩子中随便一种.也就是说,当这个女儿没有特指哪个孩子的时候,因此也许的状况比较多某些.而在这些状况中,两个都是女儿的状况只占其中的一种,从而使两个都是女儿的概率小一点,是.而在题b中,接电话的是女儿中的女儿有
14、特指,指的就是接电话的这个孩子.此时,两个都是女儿等价于没接电话的孩子也是女儿,因此的也许状况固然要少一点.而在这些状况中,两个都是女儿的状况同样只占一种,从而使两个都是女儿的概率小一点,是.10 陶理.有关数学悖论的结识问题J.东北师大学报（哲学社会科学版）,1993.10在明白上面这个问题后,我们再来讨论”星期二男孩问题”.这个问题是这样说的:一种人有两个小孩,其中有一种是生于星期二的男孩,问另一种也是男孩的概率是多少?许多人一接触到这题目后来,第一种反映便是:答案肯定是嘛.两个孩子的性别是独立的,不管一种孩子的性别是什么都不会影响到另一种(不考虑极端或特殊状况),至于题目中的星期二,大概
15、是一种困惑人用的无用信息吧.固然,在通过上一种问题的分析讨论之后,我们也许好这样想:在这个”男孩”没有特指的状况下,答案肯定不是,而是,至于出生日期什么的,应当不会影响到孩子的性别吧.但是通过计算之后,我们就会发现,状况仿佛跟我们所想的有些不同样.我们先来做几种相似的实验,也许就会看得比较明白一点.实验1:有两个硬币,正面标有数字1,背面标有数字2.抛掷这两枚硬币,假定是在抱负状态下,也就是说每一枚硬币正面朝上和背面朝上的概率是1/2.抛掷后,发现其中一枚硬币朝上一面的数字是2,问另一枚硬币朝上一面的数字是偶数的概率是多少?实验2:有两个质地均匀的骰子,每个骰子有六个面,上面分别标有16的数字,掷一种骰子时,哪个数字朝上是完全随机的,即每个数字朝上的概率都是.目前,投掷两个骰子,发
