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1、例1:空气污染治理最优化问题如图15-1,有区域A,在不同功能区设m个控制点（j=1,，m）,有 n个点源排污（i=1, n）,造成部分控制点超标，即控制点j的污染物监测值 C超过允许的标准值S.,即C S。jjj j设：M.为i源产污量（kg/h）, x.为i源治理去除量（kg/h）, M.x.则为 i源排放量（源强，kg/h）。由于采用不同的治理方案，各源单位治理成本c不同 （元/kg）, C.x.为各源治理费用（元）区域治理总费用为 C x （元）。11i i根据高斯模式，i源对j点的浓度传递系数azj可写出（对确定区域、确 定源和确定控制点为确定值），在各控制点达标的前提下，考虑x.的
2、分配方案， z使区域治理总费用最小。按题意可写出如下线性规划模型：目标函数：minZ= C xi=l,2,3,.,ni i约束条件： a （M - x ） b ，其中b.=工a M - S。ij i jjij i j设C = Cq,叩，为单位成本矩阵（常数）TX = x.x，为决策变量阵（方案组合）B = bp b,.bmT，为约束条件阵（常数），A = %加，为传递系数矩阵（常 数），上述线性规划问题可写为：目标函数：minZ=CX约束条件：AXB非负约束：XN 0例2：河流污染治理最优化问题设3个污染源的污染物去处率分别为X、x2、x3，则相应的处理费用为100 000*0.4 x50 0
3、00*0.4 x2、200 000*0.4 x(元/ d),总费用为 40 000 x+20 000 x2+80 000x3 (元/ d)。据此，可确定目标函数：minZ=40 000 x+20 000 x2+80 000x3 非负约束：X、x2、x3 0根据整个河段(3个断面)不超标可写出3个约束条件：(0.2*5*105+10*105( 1- x) )/(5*105+105)即 x 0.5(0.2*5+10 ( 1- x1) exp(-0.03*10)+20*0.5( 1- x2 )/(6+0.5)三1即 exp(-0.3) x1+x2 0.35+1.1 exp(-0.3)(0.2*5+1
4、0 ( 1- x1 ) exp(-0.03*10)+20*0.5 ( 1- x2 ) exp(-0.03*15)+8*2( 1- x3)/(6.5+2)W1即 exp(-0.75) x1+ exp(-0.45) x2+1.6 x3 0.75+1.1 exp(-0.45)+ exp(-0.75) 由此可得以上河流污染治理最优化模型：目标函数：minZ=40 000 x1+20 000 x2+80 000x3 约束条件：x1 0.5exp(-0.3) x1 +x2 0.3 5+1.1 exp(-0.3)exp(-0.75) x1+ exp(-0.45) x2+1.6 x3 0.75+1.1 exp
5、(-0.45)+ exp(-0.75)非负约束：x1 x2、x3 0也可表示为矩阵形式：目标函数：minZ=C X约束条件：AX B 非负约束：X 0上述2个问题都是线性规划问题。更一般的数学规划问题可写为：目标函数：min(max)Z=f( X )约束条件：G (X ) (W)B 非负约束：X ( = ) 03、如何将线性规划化为标准型?将非标准型化为标准型的方法：minZ= max （-Z）约束条件为鼻（W）号的，可在不等式左边加（减）一个非负的新变量（松弛 变量或剩余变量），同时修改目标函数；b为负值的，两边同乘以（-1）。J例：LP1 ： maxZ=6X+4x22x1+3x21004x
6、1+2x2120X =14X2$22x, x2$0可化为LP2 :2x+3x2+x3= 1004x+2x2+ x4= 120xi=14Xc-X_=2225X, X-, X-, X.,x三012345X2 31 00 -1100X4 2 0 102120XX1 0 0 0 0314X0 10 0 -14221X1L 5maxZ=6x +4x2+0x3+0x4+0x5上述约束方程也可写成矩阵形式能满足 LP2 的 X* = （x1, x2, x3, x4, x5）t,其对应的 X* = （x1, x2）t也能 满足LP1,因此，可以认为，LP2在特定条件下是与LP1等价的线性规划。4怎样把握动态规
7、划的建模与求解方法？( p92)fk,n = CM+fk+1,n(Sk+1Sn+i)(1)常见的指标函数是取各段指标和的形式：f =丫 C (S ,x )k ,nj j j例7 求解图15-6的最短路径问题。解:根据(1)式和(2)式，首先得到f4(S丿有两个允许决策: f (S )二 f (D )二 6 + 0 二 6 1 f (S ) = f (D ) = 2 + 0 二 2Jv 4442丿路径分别为DfE和D厂E。由递推关系继续得到，当k=3时，.J2 + f (D ). J2+ 613/3 + f (D )J3+ 2j42 J最短路线为CfD2E。.J6 + f (D ) 1. 16
8、+ 6f (C )二 min4 1 = min= 1139 + f (D )J9 + 2j其最短路线为CD。同理，f3(C3)=7,最短路线为C3fD2fE。卩 + f (C )31f (B )二 min5 + f (C )2 1 当k=2时，328 + f (C )33最短路线为BfCfD2fE。同理，f2(B2)=9, f2(B3)=9,最短路径分别为B厂C严DE和 B3C3D2Eo最后，当时k=1时， 2 + f (B ) 12 1f (A) = min = 81 2 24 + f (B )v23丿故，最短路径为ABi- CiD2E，最短距离为8 o5.大气污染治理最优方案问题解：根据比
9、例缩减原理，以最小的费用将大气中的TSP浓度削减80%，就 是以最小的费用将水泥厂和两个发电厂的TSP排放总量削减80%。现有排放量为: 污染源 1： 95*400000=38*106 公斤/年污染源 2： 95*3 0 0 0 00=28 . 5*106公斤/年污染源3： 85*250000=21.25*106公斤/年 总计：87.75*106公斤、年故最大允许排放量：87.75* (1-80%) =17.55*106公斤/年本例是一离散型决策规划问题，可采用动态规划求解。为建立动态规划模 型，首先将问题理解成按序分配的过程。分配的要求是将17.55*106公斤/年的TSP允许排放量分摊到每
10、个污染源。由已知条件，目前三个污染源排放量均超过 17.55，故必须采取措施。将每个污染源采取可能治理措施后的排放量和对应的 费用加以整理，对空x 17.55进行检验，删除不能满足要求的方案，可作成图 15-5，图中各个圆圜都表示不同阶段可取的不同状态。由图15-5可写出优化模 型，这个模型是一个动态规划模型。min Z =工 C (S , x )j j jj=1s.t.工 x 17.55jj=1如图15-6建立动态规划模型当 k=3 时，f3(S3)=minC3(S3,x3)，即f (11.7) = min J375 I = 375 F1700 I卩7)f (0.9) = min = 795
11、f (1-1) = min J660 + f (1-7) = 7953900 + f (0.9)最短路径分别为BzfCifDg和BjCiD3，最后当k=1时，800 + f (2.3)1f (A)二 min42二 1595i1120 + f (1.1) J此时最短路径为：ABCD3，检验约束方程有：2.3+11.7+3.4=17.4W17.55故最优方案为：污染源1采用喷雾洗涤器，污染源2采用隔板沉淀槽，污 染源3采用长锥除尘器；总费用为1595000美元/年。8.712*7BC27515.64004202.31.73.43751.10.91120900700圏内数字：排放 量(106公斤/年
12、) 圈外数字：治理 费用(103美元/ 年)300800660图 155大气污染治理方案的动态规划模型1、大气污染控制规划模型：K值法、P值法与总量控制方法（p96）1） K值法日本1968年控制SO2点源采用的方法。在高斯模式中，令y=z=0,对&求偏导，令其为0得&肯时C达到最大值（最大落地浓度）:.、一. .一 2 h、zC max =旦 I 兀euh 2 &e y进一步引入假设可得:= e 时 C达到最大值（最大落地浓度）：Q = 0.584Cmaxh 2，令K = 0.584Cmaxx 103，有： e QQ = K x 10-3 h 2，或 K =x 103eh 2可根据不同地区的
13、污染情况给定K值（最大落地浓度、风速、扩散系数）。K值（，所允许的污染物浓度（。或者，为了达到给定的K值，新老污染 源必须Q （或he toK值法的局限：只是对单个源的控制要求，在污染源不断增加的地区,必须频繁地修正K值；对污染影响较大的低矮烟囱群，未列入控制对象。2） P值法与K值法相似，是对单个点源提出允许排放量和排放要求的方法。分几种情况：对平原农村和城市远郊hs$40m或Q#40kg/h的污染源：SO2允许排放量 Q = Px 10-3he2 （kg/h），其中P = PPPPP 为排放指数（排放原则）；0 12 3 4P = 15.37C u称为平流稀释系数，C0为环境质量标准中的浓度限值；P横 风向稀释系数，P2风方位系数，在保护对象的上下风侧不同；P3多源密 集系数，考虑源密度，这点比K值法进步；P政治经济系数，政治情况好 t，经济情况好（。对SO以外的其他有害气体（hs$15m）： Q = 12.8 x 10-3C u P P he220 10
