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1、山东省潍坊市安丘市2023届高三下学期3月份过程检测数学试卷学校：_姓名：_班级：_考号：_一、选择题1设集合,则( )A.B.C.D.2设i为虚数单位,且,则的虚部为( )A.B.2C.2iD.3已知函数,则( )A.B.C.2D.4已知函数,则下列论述正确的是( )A.,且,使B.,当时,有恒成立C.使有意义的必要不充分条件为D.使成立的充要条件为5在直三棱柱中,为等腰直角三角形,若三棱柱的体积为32,则该三棱柱外接球表面积的最小值为( )A.B.C.D.6如图,将一个边长为1的正三角形分成四个全等的正三角形,第一次挖去中间的一个小正三角形,将剩下的三个小正三角形,再分别从中间挖去一个小正
2、三角形,保留它们的边,重复操作以上做法,得到的集合为谢尔宾斯基三角形.设是第n次挖去的小正三角形面积之和(如是第1次挖去的中间小正三角形面积,是第2次挖去的三个小正三角形面积之和),则( )A.B.是等差数列C.D.前n次挖去的所有小正三角形面积之和为7甲袋中装有4个白球,2个红球和2个黑球,乙袋中装有3个白球,3个红球和2个黑球.先从甲袋中随机取出一球放入乙袋,再从乙袋中随机取出一球.用,分别表示甲袋取出的球是白球,红球和黑球,用B表示乙袋取出的球是白球,则( )A.,两两不互斥B.C.与B是相互独立事件D.8函数,若,则( )A.B.C.D.二、多项选择题9下列函数中,在其定义域内既是奇函
3、数又是增函数的是( )A.B.C.D.10已知函数是其中一个对称中心,且的最大值是2,则( )A.的最小正周期为B.将图象向左平移个单位长度,得到的图象关于原点对称C.在区间上单调递减D.在区间上有且仅有5个极大值点11已知,分别为双曲线的左右焦点,过C右支上一点作直线l交y轴于,交x轴于点M,则( )A.C的离心率B.点M的坐标为C.l与C相切D.四边形面积的最小值为412如图,将一副三角板拼成平面四边形,将等腰直角沿BC向上翻折,得三棱锥,设,点E,F分别为棱BC,BD的中点,M为线段AE上的动点,下列说法正确的是( )A.不存在某个位置,使B.存在某个位置,使C.当三棱锥体积取得最大值时
4、,AD与平面ABC成角的正弦值为D.当时,的最小值为三、填空题13如图,在边长为2的正方形ABCD中,其对称中心O平分线段MN,且,点E为DC的中点,则_.14的展开式中项的系数为_.15已知抛物线,其焦点为F,PQ是过点F的一条弦,定点A的坐标是,当取最小值时,则弦PQ的长是_.16已知函数,则_;设数列满足,则此数列的前2023项的和为_.四、解答题17如图,P为半圆(AB为直径)上一动点,记.（1）当时,求PO的长;（2）当周长最大时,求.18欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数n,且与n互质的正整数的个数（互质是公约数只有1的两个整数）,例如:,.（1）求,;（2）若数列满足,且,求数
5、列的通项公式和前n项和.19如图,在三棱柱中,D为AC的中点,.（1）证明:;（2）若,且满足:三棱柱的体积为,二面角的大小为,求二面角的正弦值.202023年3月某学校举办了春季科技体育节,其中安排的女排赛事共有12个班级作为参赛队伍,本次比赛启用了新的排球用球MIKASA_V200W.已知这种球的质量指标(单位:g)服从正态分布,其中,.比赛赛制采取单循环方式,即每支球队进行11场比赛,最后靠积分选出最后冠军.积分规则如下(比赛采取5局3胜制):比赛中以3:0或3:1取胜的球队积3分,负队积0分;而在比赛中以3:2取胜的球队积2分,负队积1分.9轮过后,积分榜上的前2名分别为1班排球队和2
6、班排球队,1班排球队积26分,2班排球队积22分.第10轮1班排球队对抗3班排球队,设每局比赛1班排球队取胜的概率为.（1）令,则,且,求,并证明:;（2）第10轮比赛中,记1班排球队3:1取胜的概率为,求出的最大值点,并以作为p的值,解决下列问题.(i)在第10轮比赛中,1班排球队所得积分为X,求X的分布列;(ii)已知第10轮1班排球队积3分,判断1班排球队能否提前一轮夺得冠军（第10轮过后,无论最后一轮即第11轮结果如何,1班排球队积分最多）?若能,求出相应的概率;若不能,请说明理由.参考数据:,则,.21已知椭圆的焦距为2,离心率为如图,在矩形ABCD中,E,F,G,H分别为矩形四条边
7、的中点,过E做直线交x轴的正半轴于R点,交椭圆于M点,连接GM交CF于点T（1）求椭圆的标准方程;（2）求证:.22已知函数.（1）当时,讨论的单调性.（2）设,当时,有,求a的取值范围.参考答案1答案：D解析：因为,所以且,所以A错,B错,C错,D对,故选:D.2答案：B解析：由可得:,则,所以的虚部为2.故选:B3答案：B解析：因为,所以,故,即,所以.故选:B.4答案：B解析：在中,对于A,若,当且仅当时,A错;对于B,当时,增函数,而,在上为增函数,由复合函数单调性知,当时,函数单调递增,B正确;对于C,有意义,而为的真子集,是的充分不必要条件,C错;对于D,令,则,故,而为,的真子集
8、,故是成立的充分不必要条件,D错误.故选:B.5答案：C解析：设为等腰直角三角形的直角边为a,三棱柱的高为h,则,所以,则,外接圆的半径为,所以棱柱外接球的半径为,令,则,则,在上单调递减,在上单调递增,所以当时,则该三棱柱外接球表面积最小值为.故选:C.6答案：D解析：原正三角形的面积为,由题意可知:第n次挖去个小正三角形,且每次挖去的小三角形面积之和构成一个以为首项,以为公比的等比数列,所以,故C不正确;,故A不正确;是等比数列,故B不正确;由等比数列的求和公式可得前n次挖去的所有小正三角形面积之和为:,故D正确.故选:D.7答案：B解析：对于A,由题意可知,不可能同时发生,所以,两两互斥
9、,所以A不正确;对于B,由题意可得,所以,所以B正确;对于C,因为,所以,所以与B不是相互独立事件,所以C错误;对于D,由C选项可知D是错误的.故选:B.8答案：A解析：,因为,所以,因为,所以,因此有,所以函数是实数集上增函数,因为,所以,故选:A9答案：AD解析：对于A,故为奇函数,故为定义域内的单调递增函数,故A正确,对于B,故为非奇非偶函数,故B错误,对于C,在定义域内不是单调增函数,故C错误,对于D,所以定义域内既是奇函数又是增函数,故D正确,故选:AD10答案：AD解析：,而的最大值是2,所以,所以,是其中一个对称中心,则,所以,因为,所以,所以,对于A,的最小正周期为,故A正确;
10、对于B,图象向左平移个单位长度得到,得到的图象不关于原点对称,故B不正确;对于C,所以在区间上单调有增有减,所以C不正确;对于D,在区间上有5个周期,所以在区间上有且仅有5个极大值点,故D正确.故选:AD.11答案：ACD解析：对于A,由已知可得,所以C的离心率为,故A项正确;对于B,设,则,整理可得,又,所以,所以有,所以点,故B项错误;对于C,设直线l的方程为,与双曲线联立,则,又因为,所以代入化简可得:,所以l与C相切,所以C项正确;对于D,当且仅当,即时,等号成立.所以,四边形面积的最小值为4,故D项正确.故选:ACD.12答案：BD解析：当平面ABC与平面BCD垂直时,平面ABC与平
11、面BCD的交线为BC,平面BCD,平面ABC,又AB,平面ABC,故A错误,B正确;对于C,当三棱锥体积取得最大值时,顶点A到底面距离最大,即平面ABC与平面BCD垂直时,由上面可知,平面ABC,故AD与平面ABC成角为,因为,所以,则,即AD与平面ABC成角的正弦值为,故C错误;对于D,当时,因为F为BD的中点,所以,则,又因E为BC的中点,所以,又,所以,所以,如图将沿AE旋转,使其与在同一平面内,则当C,M,F三点共线时,最小,即的最小值为CF,在中,则,所以,所以的最小值为,故D正确.故选:BD.13答案：解析：由题可知,所以.故答案为:14答案：解析：的通项公式为,显然,展开式中要出
12、现,必有,令的通项公式为,由,由,所以,或,所以的系数为.故答案为:.15答案：25解析：抛物线的焦点,准线为,如图,过点P作准线的垂线,垂足为,则,所以,当且仅当三点共线时取等号,所以当取最小值时,P点的横坐标为4,当时,即,所以,所以直线PQ方程为,联立,消y得,解得或,当时,即,所以.故答案为:25.16答案：,解析：已知,则,所以,则,已知数列,数列的前2023项的和,且,两式相加,得,故答案为:;17答案：（1）（2）解析：（1）在中,且O在以AB为直径的圆上,在中,由正弦定理,解得.（2）在中,由余弦定理,即,当且仅当时取等号,即当时,周长最大,此时.18答案：（1）,（2）解析：
13、（1）,.（2）,数列是以1为首项,以为公差的等差数列.,.19答案：（1）证明见解析（2）解析：（1）在三棱柱中,由题意可得,又,同时在中,平面,平面,又平面,（2）,且,平面ABC,平面ABC,又,为二面角的平面角,即,取BC的中点O,则,又三棱柱的体积为,如图所示,建立空间直角坐标系,设平面的一个法向量为,且,则,令,则,故,设平面的一个法向量为,且,则,令,则,故,故二面角的正弦值为.20答案：（1）,证明见解析（2）(i)分布列见解析;(ii)能,解析：（1）,又,所以.因为,根据正态曲线对称性,又因为,所以.（2）,.令,得.当时,在上为增函数;当时,在上为减函数.所以的最大值点.从而(i)X的可能取值为3,2,1,0.,X的分布列为X3210P(ii)若,则1班10轮后的总积分为29分,2班即便第10轮和第11轮都积3分,则11轮过后的总积分是28分,所以,1班如果第10轮积3分,则可提前一轮夺得冠军,其概率为.21答案：（1）（2）证明见解析解析：（1）由题意,在椭圆中,椭圆的焦距为2,离心率为,
