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1、青海省西宁市大通县2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷学校：_姓名：_班级：_考号：_一、选择题1数列1,的一个通项公式是( )A.B.C.D.2经过点,且与直线平行的直线方程是( )A.B.C.D.3抛物线的准线方程为( )A.B.C.D.4在等差数列中,若,则( )A.13B.26C.39D.525一条渐近线方程为,且经过点的双曲线的标准方程是( )A.B.C.D.6在等比数列中,则( )A.B.C.32D.647如图,在四棱锥中,底面ABCD是正方形,E是PD的中点,点F满足,若,则( )A.B.C.D.8设等差数列的前n项和为,若,则( )A.B.C.D.二、多项选择题9已
2、知椭圆C的长轴长等于20,离心率等于,则椭圆C的标准方程可以是( )A.B.C.D.10已知向量,则( )A.B.C.D.11已知数列的前n项和为,若,则( )A.4是数列中的项B.当最大时,n的值只能取5C.数列是等差数列D.当时,n的最大值为1112某市为了改善城市中心环境,计划将市区某工厂向城市外围迁移,需要拆除工厂内一个高塔,施工单位在某平台O的北偏东方向处设立观测点A,在平台O的正西方向240m处设立观测点B,已知经过O,A,B三点的圆为圆C,规定圆C及其内部区域为安全预警区.以O为坐标原点,O的正东方向为x轴正方向,建立如图所示的平面直角坐标系.经观测发现,在平台O的正南方向200
3、m的P处,有一辆小汽车沿北偏西方向行驶,则( )A.观测点A,B之间的距离是280mB.圆C的方程为C.小汽车行驶路线所在直线的方程为D.小汽车会进入安全预警区三、填空题13已知方程表示双曲线,则实数m的取值范围是_.14已知椭圆的左,右顶点分别为A,B,上顶点为C,则直线CA,CB的斜率之积为_.15中国三大名楼之一的黄鹤楼因其独特的建筑结构而闻名,其外观有五层而实际上内部有九层,隐喻“九五至尊”之意,为迎接国庆节的到来,有网友建议在黄鹤楼内部挂灯笼进行装饰,若在黄鹤楼内部塔楼的顶层挂4盏灯笼,且相邻的两层中,下一层的灯笼数是上一层灯笼数的两倍,则九层塔楼一共需要挂_盏灯笼.16已知圆,过圆
4、C外一点P作C的两条切线,切点分别为A,B,若,则_.四、解答题17已知,在椭圆上,分别为C的左,右焦点.（1）求椭圆C的离心率;（2）若动点P,Q均在C上,且P,Q在x轴的两侧,求四边形的周长.18已知的圆心为,且过点.（1）求的标准方程;（2）若直线l与相切于点A,求l的方程.19已知数列是单调递增的等比数列,数列是等差数列,且,.（1）求数列与数列的通项公式;（2）求数列的前n项和.20如图,已知正方体的棱长为1,E是的中点.（1）求证:平面;（2）求点B到平面的距离;（3）求平面和底面夹角的正弦值.21已知数列的前n项和为,.（1）求数列的通项公式;（2）设,数列的前n项和为,若,求k
5、的最小值.22已知点F是抛物线的焦点,点在C上,且.（1）求C的方程;（2）过点F作两条互相垂直的直线,交C于A,B两点,交C于M,N两点.求证:为定值.参考答案1答案：B解析：数列1,的分子都是1,分母依次为1,3,5,7,9,则第n项的分母为,所以数列1,的一个通项公式是.故选:B2答案：C解析：与直线平行的直线的方程可设为,又经过点,所以,解得,故所求直线方程为.故选:C.3答案：C解析：由题意知抛物线C的标准方程为,所以其准线方程为.故选:C.4答案：D解析：因为是等差数列,所以,解得,所以.故选:D.5答案：A解析：由题意设双曲线的方程为,将点代入双曲线方程得,所以双曲线的方程为,即
6、.故选:A.6答案：C解析：设等比数列的公比为q,则,即,解得,所以.故选:C.7答案：C解析：由题意知.故选:C.8答案：A解析：在等差数列中,成等差数列,即,设,则,于是,解得,所以.故选:A9答案：AC解析：由椭圆C的长轴长等于20,离心率等于,得,所以,所以椭圆C的标准方程是或.故选:AC.10答案：BC解析：选项A,由题意,得,故A错误;选项B,所以,所以,故B正确;选项C,故C正确;选项D,由,因为,所以,D错误.故选:BC.11答案：ACD解析：由,得,所以数列是首项为20,公差为的等差数列,则,令,得,即,故A正确;易知利用二次函数性质可知当最大时,n的值为5或6,故B错误;由
7、,所以,所以数列是等差数列,故C正确;令,则,解得,所以当时,n的最大值为11,故D正确.故选:ACD.12答案：BCD解析：由题意,得,所以,即观测点A,B之间的距离是,故A错误;设圆C的方程为,因为圆C经过O,A,B三点,所以,解得,所以圆C的方程为,故B正确;小汽车行驶路线所在直线的斜率为,又点P的坐标是,所以小汽车行驶路线所在直线的方程为,故C正确;圆C化成标准方程为,圆心为,半径,圆心C到直线的距离,所以直线与圆C相交,即小汽车会进入安全预警区,故D正确.故选:BCD.13答案：解析：因为方程表示双曲线,所以,解得或,即实数m的取值范围是.故答案为:.14答案：或解析：由题意知,所以
8、,即直线CA,CB的斜率之积为.故答案为:15答案：2044解析：解:由题意,各层灯笼数从上到下排成一列构成等比数列,由题意知,公比,因为等比数列前n项和,.所以前9项和为,所以九层塔楼一共需要挂2044盏灯笼.故答案为:2044.16答案：1解析：由圆可得圆心坐标为,半径,由PA,PB为圆C切线,故,又故,又,故为等边三角形,故.故答案为:1.17答案：（1）;（2）8.解析：（1）由点,在椭圆上,得,解得,则半焦距,所以C的离心率为.（2）因为动点P,Q均在C上,且P,Q在x轴的两侧,所以由椭圆的定义得,四边形的周长为.18答案：（1）（2）解析：（1）由题可知,的半径为,所以的标准方程为
9、.（2）因为直线l与相切于点A,且,所以,所以,由点斜式得,整理得,.19答案：（1）,（2）解析：（1）设等比数列的公比为q,等差数列的公差为d,由,得,即,即,解得或.当时,不满足单调递增,当时,满足单调递增,故,所以.又,所以,所以,即数列与数列的通项公式为,（2）利用等比数列前n项和公式可得,数列的前项和为,数列的前n项和为,所以数列的前项和,即20答案：（1）证明见解析（2）（3）解析：（1）以点为坐标原点,所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则,故,所以,所以,又,平面,因此平面.（2）平面的法向量为,则,取,可得,又,则点B到平面的距离为.（3）设平面和底面夹角为,因为平面的一个法向量为,所以,故,所以平面和底面夹角的正弦值为.21答案：（1）（2）8解析：（1）当时,由,得;当时,符合上式.综上所述,.（2）,所以.由,得,解得,又,所以k的最小值为8.22答案：（1）;（2）证明见解析.解析：（1）抛物线C的准线方程为,依题意,解得或,而,则,所以抛物线C的方程为.（2）由（1）知,直线,的斜率均存在,不妨设直线的方程为,由消去y得,显然,则,因此,由,得直线的斜率为,同理得,所以.
