第 5 讲 正交小波构造5.1 正交小波概述5.2 由 h(n)递推求解(t) 的方法05.3 消失矩、规则性及支撑范围5.4 Daubechies 正交小波构造5.5 接近于对称的正交小波及 Coiflet 小波我们在上一讲中集中讨论了离散小波变换中的多分辨率分析，证明了在空间 V0 中存在正交归一基 { (t k ), k Z} ，由 (t) 作尺度伸缩及位移所产生的 {j ,k (t ), j , k Z} 是Vj 中的正交归一基 (t) 是尺度函数，在有的文献中又称其为“父小波”同时，我们假定Vj 的正交补空间 Wj 中也存在正交归一基 { j ,k (t ), j , k Z} ，它即是小波基，(t ) 为小波函数，又称“母小波”本章，我们集中讨论如何构造出一个正交小波 ( t) 所谓“正交小波”，指的是由 ( t) 生成的 { (t k ), k Z} ，或 Wj 空间中的正交归一基 { j ,k (t ), j, k Z} Daubechies在正交小波的构造中作出了突出的贡献本章所讨论的正交小波的构造方法即是以她的理论为基础的15.1 正交小波概述现在举两个大家熟知的例子来说明什么是正交小波及对正交小波的要求 , 一是 Haar小波，二是 Shannon小波。
1.Haar 小波我们在 4..1 节中已给出 Haar小波的定义及其波形， Haar 小波的尺度函数 (t ) 重写其定义，即10 t 1/ 2(t) 101/ 2 t 1 其它(t)100t 1(5.1.2)其它显然 ,(t) 的整数位移互相之间没有重叠， 所以(tk ), (t k ' )(k k ' ) ，即它们是正交的同理，j ,k(t ), j,k '(t)(kk ' ) 很容易推出(t ) 和 (t ) 的傅里叶变换是()jej/ 2 sin2/ 4/ 4()ej/ 2 sin/ 2/ 2注意式中实际上应为由于 Haar 小波在时域是有限支撑的，因此它在时域有着极好2的定位功能但是，由于时域的不连续引起频域的无限扩展，因此，它在频域的定位功能极差，或者说频域的分辨率极差上一章指出， Haar 小波对应的二尺度差分方程中的滤波器是：h0 ( n)1, 1， h1 (n)1 ,1(5.1.5)2222它们是最简单的两系数滤波器2.Shannon 小波(t )sint令t(5.1.6)(1则)其它0(5.1.7)由于( t k ), (tk ' )10, k ( ) * 0 ,k'( ) d21e j ( k k' )d( k k' )(5.1.8)2所以 (t k), kZ 构成 V0 中的正交归一基。
t ) 称为 Shannon小波的尺度函数由于 0,k (t )V0 ，V0 W0V 1 ，由二尺度性质，(2tk) V1 ，因此1, k ()12(5.1.9)0其它这样，对 (t )W0 ，有( )12(5.1.4.)0其它3于是可求出sin t / 2( t) ( ) cos(3 t / 2)t / 2读者可很容易验证(t k), (t k ' ) (k k ' )也即 { (t k ), k Z} 构成 W0 中的正交归一基其实，从频域可以看到， j ,k ( ) 和 j ,k ( ) 各自及相互之间的整数移位都没有重叠，因此它们是正交的，如图 所示2,k( ) V2,k ( )2W24 4 2 4 4 21, k ( ) V1, k ()W 1122220, k ( )0,k( )V0W0241,k ( )V 12 2图 小波及其尺度函数度频域波形显然， Shannon 小波在频域是紧支撑的，因此，它在频域有着极好的定位功能但频域的不连续引起时域的无限扩展，也即时域为 Sinc 函数这样， Shannon小波在时域不是紧支撑的，有着极差的定位功能。
Haar 小波和 Shannon小波是正交小波中两个极端的例子 自然，我们欲构造的正交小波应介于两者之间以前 给出了能作为小波的函数 (t) 的基本要求，即： (t ) 应是带通的；由于 (t)dt 0，因此它应是振荡的； ( ) 应满足容许条件； ( ) 还应满足稳定性条件；此外， (t) 、 ( )最好都是紧支撑的由二尺度差分方程， ( ) 、 ( ) 均和 H 0 ( ) 、 H1( ) 有着内在的联系重写 (4..4.14)式和 (4..4.15) 式，有( )H 0 (/ 2 j )H'(2j)120(5.1.13)jj 1H1( /2)H 0 ( / 2 j )H'(/ 2)'(2j)( )j 221H 0(5.1.14)2j25这两个式子明确指出， 正交小波及其尺度函数可由共扼正交滤波器组作无限次的递推来产生这一方面给我们指出了构造正交小波的途径，另一方面也指出，在 和式的递推过程中还存在着一个收敛的问题，这就要求对小波函数还要提出更多的要求，如 5.3 节要讨论的消失矩和规则性等问题 为说明这些问题，我们在下一节首先讨论如何由和式递推求解 ( ) 和 ( ) 的问题，并说明其中可能存在的问题。
5.2 由 h0 (n)递推求解 (t) 的方法4..4.4) 式给出了由 h0 ( n), h1 (n) 递推求解 (t) 和 (t) 的方法即(t)2nh0 (n)( 2tn)(5.2.1a)(t)2h1 (n)(2t n)(5.2.1b)n此即二尺度差分方程，对应的频域关系由(5.1.13)和 (5.1.14) 式给出假定 (t) 和(t ) 事先是未知的，当然(5.2.1)式无法利用，这时可用(5.1.13) 式或(5.1.14) 式递推求解(t) 和 (t) 若令H 0(J ) ( z)J1H 0 (z2 j)(5.2.2a)j0并用它来近似()，那么 (5.2.2a) 式对应的时域关系是h0( J ) (n)h0( 0) (n) * h0(1) (n) ** h0( J 1) (n)(5.2.2b)6式中 h0(0 ) (n)h0 (n) , h0(1) ( n) 是由 h0(0 ) (n) 每两点插入一个点所得到的新序列 同理， h0(2 ) (n) 是将 h0( 0) ( n) 每两点插入2213 个零所得的新序列 假定 h0(0 ) (n) h0 (n) 的长度为 N ，则 h0( 1) (n)的长度为 2N1， h0( 0) (n) * h0( 1) (n) 的长度为 3N2 ， h0(2 ) (n) 的长度为 3N 1 ， , 其余可类推。
由此可以看出， (5.2.2)式卷积的结果将使h0( J ) (n) 的长度急剧增加例如，若令 h0 (n)2 1,3,3,1 ，则8h0(1)2 )2 1,3,3,1 * 1,0,3,0,3,0,1(n) (82( ) 2 1,3,6,10,12,12,10,6,3,1h0( 2 ) ( n) ( 2 )2 1,3,6,10,12,12,10,6,3,1 * 1,0,0,0,3,0,0,0,3,0,0,0,18如此，当 J 趋近于无穷时， H 0(J)() 逼近 ( ) ， h0( J ) (n) “逼近。