第六章 数值积分 --------学习小结姓名 班级 学号 一、 本章学习体会通过本章的学习，掌握了数值积分的基本思想和原理，深刻认识了数值积分法的意义，了解了代数精度的概念，以及数值积分精度和步长的关系，学习了Newton-Cotes求积公式，复化求积法，Romberg积分法，和Gauss型求积公式了解了他们各自的优点和缺点及适用范围二、 本章知识梳理插值型求积公式其中其中定理6.1 n+1个节点的插值型求积公式至少具有n次代数精度推论 对于n+1个节点的插值型求积公式的求积系数，必满足定理6.2 n+1个节点的求积公式如果具有n次或者大于n次的代数精度，则它是插值型求积公式6.3 Newton-Cotes求积公式如果节点等距，且，则相应的插值型求积公式称为Newton-Cotes求积公式，相应的求积系数称为Newton-Cotes求积系数令定理6.3 当n为偶数时，n+1个节点的Newton-Cotes求积公式的代数精度至少是n+11、 梯形公式(n=1)2、 Simpson公式(n=2)3、 Simpson3/8公式(n=3)4、 Cotes公式(n=4)6.4 Newton-Cotes求积公式的收敛性与数值稳定性 如果对于任何n，，则Newton-Cotes求积公式具有数值稳定性。
6.5 复化求积法6.5.1 复化梯形公式与复化Simpson公式1、复化梯形公式只要函数在区间[a,b]上可积，则当时，复化梯形公式右端（称为复化梯形值）收敛于积分具有数值稳定性2、复化Simpson公式 只要函数在区间[a,b]上可积，则当时，复化Simpson公式右端（称为复化Simpson值）收敛于积分具有数值稳定性6.5.2 区间逐次分半法用表示积分区间[a,b]被分为等分后所形成的复化梯形值，，有如下递推公式给定的绝对误差限，当满足时停止计算，并认为已满足精度要求6.6 Romberg积分法利用Richardson外推算法，得到如下的求积方法(只产生四个序列)迭代结束的准则是，并认为就是所求积分的近似值6.7 Gauss型求积公式（带权函数求积公式）6.7.1 一般理论定义 如果n个节点的求积公式的代数精度为2n-1次，则称它为Gauss型求积公式定理6.5 设是区间[a,b]上带权的正交多项式系，则上述求积公式是Gauss型求积公式的充分必要条件是它的求积节点是n次正交多项式的n个零点定理6.6 设在区间[a,b]上有2n阶连续导数，则Gauss型求积公式的截断误差为定理6.7 设上述求积公式是Gauss型求积公式，则它的求积系数满足（1）（2）6.7.2 几种Gauss型求积公式1、 Gauss-Legendre求积公式10220.577 350 269 2130.774 596 669 200.555 555 555 60.888 888 888 940.861 136 311 60.339 981 043 60.347 854 845 10.652 145 154 92、 Gauss-Laguerre求积公式11120.585 786 437 63.414 213 562 40.853 553 390 60.146 446 609 430.415 774 556 82.294 280 360 36.289 945 082 90.711 093 009 90.278 517 733 60.010 389 256 540.322 547 689 61.745 761 101 24.563 620 296 99.395 070 912 30.603 154 104 30.357 418 692 40.038 887 908 50.000 539 294 73、 Gauss-Hermite求积公式101.772 453 850 020.707 106 781 20.886 226 925 531.224 744 871 400.295 408 975 21.181 635 900 641.650 680 123 90.524 647 623 30.081 312 835 50.804 914 090 0 4、 Gauss-Chebyshev求积公式三、 本章思考题已知的函数值如下：x2.02.22.42.62.87.3899.02511.02313.46416.445用复合梯形公式和复合Simpson公式求的近似值解：复合梯形公式：h=（2.8-2.0）/4=0.2=9.0858 复合Simpson公式h=(2.8-2.0)/2=0.49.0557 四、 本章测验题；已知三点Gauss公式 ，用该公式估算的值。
解：令，于是有：，于是，于是令，就得：。