圆锥曲线——定点定值问题直线过定点问题1．已知椭圆的焦点坐标为F1（﹣2，0），F2（2，0），过F2垂直于长轴的直线交椭圆于P、Q两点，且，（1）求椭圆的方程；（2）M为椭圆的上顶点，过点M作直线MA、MB交椭圆于A、B两点，直线MA、MB的斜率分别为k1、k2，且k1+k2=8，求证：AB过定点，并求出定点坐标．解：（1）由已知得c=2，丨PQ丨==2，即a=b2，①由a2=b2+c2=b2+1，②由①②解得：b=2，a=2故椭圆方程为；（2）证明：若直线AB的斜率存在，设AB方程为y=kx+m，且m≠±2，设A（x1，y1），B（x2，y2），，整理得：（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣8=0，x1+x2=﹣，x1x2=，由已知可知：+=8，则+=8，即2k+（m﹣2）=8，…（8分）∴k﹣=4，整理得m=k﹣2．故直线AV的方程为y=kx+k﹣2，即y=k（x+）﹣2．所以直线AB过定点（﹣，﹣2）． …（10分）若直线AB的斜率不存在，设AB方程为x=x0，设A（x0，y0），B（x0，﹣y0），由已知，得．此时AB方程为，显然过点（﹣，﹣2）．综上，直线AB过定点（﹣，﹣2）．…（12分）2.已知椭圆C的方程为=1（a＞b＞0）．左，右焦点分别为F1，F2，焦距为2．点M是椭圆C上一点，满足∠F1MF2=60°，且=，（Ⅰ）求椭圆的方程．（Ⅱ）过点P（0，1）分别作直线PA，PB交椭圆C于A，B两点，设直线PA，PB的斜律分别为k1，k2，且k1+k2=2，求证：直线AB过定点．解：（Ⅰ）设|MF1|=m，|MF2|=n，则∵∠F1MF2=60°，且=，∴4=m2+n2﹣mn，mn•=，∴m+n=2，∴2a=2，∴a=，∵c=1，b=1，∴椭圆C的方程为（5分）（Ⅱ）当直线AB存在斜率时，设其方程为y=kx+m（m≠0），又设A（x1，y1），B（x2，y2）．把y=kx+m代入并整理，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2=0，△=16k2m2﹣4（2k2+1）（2m2﹣2）＞0，且，∵k1+k2=2，∴，∵y1=kx1+m，y2=kx2+m，∴，即，可得m=k﹣1，所以直线AB方程为：y=k（x+1）﹣1，显然直线AB恒过定点（﹣1，﹣1）当直线AB过定点（﹣1，﹣1）且垂直x轴时，也满足k1+k2=2．综上，直线AB过定点（﹣1，﹣1）．1．（2017•新课标Ⅰ）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．解：（1）根据椭圆的对称性，P3（﹣1，），P4（1，）两点必在椭圆C上，又P4的横坐标为1，∴椭圆必不过P1（1，1），∴P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）三点在椭圆C上．把P2（0，1），P3（﹣1，）代入椭圆C，得：，解得a2=4，b2=1，∴椭圆C的方程为=1．证明：（2）①当斜率不存在时，设l：x=m，A（m，yA），B（m，﹣yA），∵直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，∴===﹣1，解得m=2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设l：y=kx+b，（b≠1），A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理，得（1+4k2）x2+8kbx+4b2﹣4=0，，x1x2=，则=====﹣1，又b≠1，∴b=﹣2k﹣1，此时△=﹣64k，存在k，使得△＞0成立，∴直线l的方程为y=kx﹣2k﹣1，当x=2时，y=﹣1，∴l过定点（2，﹣1）．3．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，且C上任意一点到两个焦点的距离之和都为4．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ） 如图，设A是椭圆长轴一个顶点，直线l与椭圆交于P、Q（不同于A），若∠PAQ=90°，求证直线l恒过x轴上的一个定点，并求出这个定点的坐标．解：（Ⅰ）2a=4，a=2，，，∴椭圆的方程是．（Ⅱ）设直线AP的方程为l1：y=k（x﹣2），P（x1，y1）由得，（1+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣4=0．则，∴，，∵∠PAQ=90°，设Q（x2，y2）以代换x1，y1表达式中的k，得，，设直线PQ交x轴于点M（m，0），，，，∴，5m（1+k2）=6（1+k2）则，∴直线EF过定点．4.已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，两个焦点分别为F1和F2，椭圆C上一点到F1和F2的距离之和为12．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ） 设点B是椭圆C 的上顶点，点P，Q是椭圆上；异于点B的两点，且PB⊥QB，求证直线PQ经过y轴上一定点．解：（Ⅰ）设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的半焦距为c，则∵椭圆C上一点到F1和F2的距离之和为12，离心率为，∴，解得，∴b2=a2﹣c2=9．∴所求椭圆C的方程为：．…（4分）（Ⅱ） 显然直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为y=kx+b联立方程组，消去y整理得（1+4k2）x2+8kbx+4b2﹣36=0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=．∴y1+y2=k（x1+x2）+2b=，y1y2=…（8分）∵PB⊥QB，且=（x1，y1﹣3），=（x2，y2﹣3），∴•=x1x2+（y1﹣3）（y2﹣3）=0，∴+﹣3•+9=0∴5b2﹣6b﹣27=0．解得b=﹣或 b=3（舍去）∴直线PQ经过y轴上一定点（0，﹣）．…（12分）3．（2013•陕西）已知动圆过定点A（4，0），且在y轴上截得的弦MN的长为8．（Ⅰ） 求动圆圆心的轨迹C的方程；（Ⅱ） 已知点B（﹣1，0），设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线过定点．解：（Ⅰ）设圆心C（x，y）（x≠0），过点C作CE⊥y 轴，垂足为E，则|ME|=|MN|，∴|CA|2=|CM|2=|ME|2+|EC|2，∴（x﹣4）2+y2=42+x2，化为y2=8x．当x=0时，也满足上式．∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2=8x．（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由题意可知y1+y2≠0，y1y2＜0.，．∵x轴是∠PBQ的角平分线，∴kPB=﹣kQB，∴，∴，化为8+y1y2=0．直线PQ的方程为，∴，化为，化为，y（y1+y2）+8=8x，令y=0，则x=1，∴直线PQ过 定点（1，0）定值问题1.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（0，）．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作斜率为的直线l交椭圆C于A，B两点，求证：|PA|2+|PB|2为定值．（1）解：∵C的焦点在x轴上且半短轴为，可设椭圆C的方程为 +=1∵e=，∴可得，解得a=2，∴椭圆C的方程为：．（2）证明：P是椭圆C长轴上的一个动点，设P（m，0）（﹣2≤m≤2），过P作斜率为的直线l，∴直线l的方程是y=，联立⇒2x2﹣2mx+m2﹣4=0（*）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1、x2是方程（*）的两个根，∴x1+x2=m，x1x2=∴|PA|2+|PB|2=（x1﹣m）2+y12+（x2﹣m）2+y22=（x1﹣m）2+（x1﹣m）2+（x2﹣m）2+（x2﹣m）2=[（x1﹣m）2+（x2﹣m）2=[（x1+x2）2﹣2m（x1+x2）﹣2x1x2+2m2]=[m2﹣2m2﹣（m2﹣4）+2m2]=71．已知椭圆C的中心是坐标原点O，长轴在x轴上，且经过点．C上任意一点到两个焦点的距离之和为4．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知M，N是椭圆上的两点，且OM⊥ON，求证：为定值．（I）解：由题意可设椭圆的坐标方程为（a＞b＞0）．∵椭圆C上一点到两个焦点的距离之和为4．可得a=2，经过点．∴，2a=4，解得b2=3．∴椭圆C的标准方程为．（II）证明：当OP与OQ的斜率都存在时，设直线OP的方程为y=kx（k≠0），则直线OQ的方程为y=﹣x（k≠0），P（x，y）．联立，化为x2=，∴|OM|2=x2+y2=，同理以代替k可得|ON|2=，∴==为定值．当直线OM或ON的斜率一个为0而另一个不存在时，上式也成立．因此为定值．2．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且C上任意一点到两个焦点的距离之和都为4．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆交于P、Q，O为坐标原点，若∠POQ=90°，求证+为定值．（Ⅰ）解：由题意可得：2a=4，a=2，又，c=，则，∴椭圆的方程是；（Ⅱ）证明：设P（x1，y1），若k存在，设直线OP的方程为l1：y=kx，代入，得，即，∵∠PAQ=90°，以代换上式的k得，，∴=．若k不存在，即P、Q分别是椭圆长、短轴的顶点，|OP|2=4，|OQ|2=1．则．综上：．3．已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，离心率为，且过点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）M，N，P，Q是椭圆C上的四个不同的点，两条都不和x轴垂直的直线MN和PQ分别过点F1，F2，且这两条直线互相垂直，求证：为定值．（Ⅰ）解：由已知，得．所以a2=2b2．所以C：，即x2+2y2=2b2．因为椭圆C过点，所以，得b2=4，a2=8．所以椭圆C的方程为．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知椭圆C的焦点坐标为F1（﹣2，0），F2（2，0）．根据题意，可设直线MN的方程为y=k（x+2），由于直线MN与直线PQ互相垂直，则直线PQ的方程为．设M（x1，y1），N（x2，y2）．由方程组消y得（2k2+1）x2+8k2x+8k2﹣8=0．则 ，．所以|MN|===．同理可得|PQ|=．所以==．3．已知椭圆上的点到两个焦点的距离之和为，短轴长为，直线l与椭圆C交于M、N两点．（ I）求椭圆C的方程；（ II）若直线l与圆O：相切，证明：∠MON为定值．解：（1）根据题意，椭圆C上的点到两个焦点的距离之和为，短轴长为，则有；（2）当直线l垂直X轴时，直线方程为直线方程为时，M、N分别为，有同理直线方程为时，有，当直线l与X轴不垂直时，设当直线l为y=kx+t，M（x1，y1），N（x2，y2）；则…①，∴；∴；由①②得为定值．4．（2015•陕西）如图，椭圆E：+=1（a＞b＞0）经过点A（0，﹣1），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ斜率之和为2．解：（Ⅰ）由题设知，=，b=1，结合a2=b2+c2，解得a=，所以+y2=1；（Ⅱ）证明：由题意设直线PQ的方程为y=k（x﹣1）+1（k≠0），代入椭圆方程+y2=1，可得（1+2k2）x2﹣4k（k﹣1）x+2k（k﹣2）=0，由已知得（1，1）在椭圆外，设P（x1，y1），Q（x2，y2），x1x2≠0，则x1+x2=，x1x2=，且△=16k2（k﹣1）2﹣8k（k﹣2）（1+2k2）＞0，解得k＞0或k＜﹣2．则有直线AP，AQ的斜率之和为kAP+kAQ=+=+=2k+（2﹣k）（+）=2k+（2﹣k）•=2k+（2﹣k）•=2k﹣2（k﹣1）=2．即有直线AP与AQ斜率之和为2．4．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C的短轴为直径的圆O经过这两个焦点，点A，B分别是椭圆C的左、右顶点．（Ⅰ）求圆O和椭圆C的方程；。