第一章 集合与函数概念知识网络 集合集合表示法集合的运算集合的关系列举法描述法图示法包含相等子集与真子集交集并集补集函数函数及其表达函数基本性质单调性与最值函数的概念函数的奇偶性函数的表达法映射映射的概念集合与函数概念第一讲 集合★知识梳理一：集合的含义及其关系1.集合中的元素具有的三个性质:拟定性、无序性和互异性;2.集合的3种表达措施：列举法、描述法、韦恩图；3.集合中元素与集合的关系：文字语言符号语言属于不属于4.常用集合的符号表达数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集复数集符号或二： 集合间的基本关系 表达关系 文字语言符号语言相等集合A与集合B中的所有元素都相似且子集A中任意一元素均为B中的元素或真子集A中任意一元素均为B中的元素，且B中至少有一元素不是A的元素空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，（）三：集合的基本运算①两个集合的交集:= ;②两个集合的并集: =;③设全集是U,集合,则交并补措施:常用数轴或韦恩图进行集合的交、并、补三种运算.★重、难点突破重点：集合元素的特性、集合的三种表达措施、集合的交、并、补三种运算。
难点：对的把握集合元素的特性、进行集合的不同表达措施之间的互相转化，精确进行集合的交、并、补三种运算重难点：1.集合的概念掌握集合的概念的核心是把握集合元素的三大特性，要特别注意集合中元素的互异性，在解题过程中最易被忽视，因此要对成果进行检查；2．集合的表达法（1）列举法要注意元素的三个特性；（2）描述法要紧紧抓住代表元素以及它所具有的性质，如、、等的差别，如果对集合中代表元素结识不清，将导致求解错误： 问题：已知集合（ ） A. ；B. ；C. ；D. [错解]误觉得集合表达椭圆，集合表达直线，由于这直线过椭圆的两个顶点，于是错选B[正解] C； 显然，，故(3)Venn图是直观展示集合的较好措施，在解决集合间元素的有关问题和集合的运算时常用Venn图3．集合间的关系的几种重要结论（1）空集是任何集合的子集，即（2）任何集合都是它自身的子集，即（3）子集、真子集均有传递性，即若，，则4．集合的运算性质（1）交集：①；②；③；④，⑤；（2）并集：①；②；③；④，⑤；（3）交、并、补集的关系①；②；★热点考点题型探析考点一：集合的定义及其关系题型1：集合元素的基本特性[例1]（江西理）定义集合运算：．设，则集合的所有元素之和为（ ）A．0；B．2；C．3；D．6[解题思路]根据的定义，让在中逐个取值，让在中逐个取值，在值就是的元素[解析]：对的解答本题,必需清晰集合中的元素，显然，根据题中定义的集合运算知=，故应选择D 【名师指引】此类将新定义的运算引入集合的问题由于背景公平，因此成为高考的一种热点，这时要充足理解所定义的运算即可，但要特别注意集合元素的互异性。
题型2：集合间的基本关系[例2]．数集与之的关系是（ ）A．；B．； C．；D．[解题思路]可有两种思路：一是将和的元素列举出来，然后进行判断；也可依选择支之间的关系进行判断[解析] 从题意看，数集与之间必然有关系，如果A成立，则D就成立，这不也许；同样，B也不能成立；而如果D成立，则A、B中必有一种成立，这也不也许，因此只能是C【名师指引】新定义问题是高考的一种热点，解决此类问题的措施就是严格根据题中的定义，逐个进行检查，不以便进行检查的，就设法举反例[新题导练] 1．第二十九届夏季奥林匹克运动会将于8月8日在北京举办，若集合A={参与北京奥运会比赛的运动员}，集合B={参与北京奥运会比赛的男运动员}，集合C={参与北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系对的的是（ ） A． B. C. D. [解析] D；由于全集为，而=全集=2．(•山东改编）定义集合运算:,设集合,,则集合的所有元素之和为 [解析]18，根据的定义，得到，故的所有元素之和为183．(·湖北改编）设和是两个集合，定义集合，如果，,那么等于 [解析] ；由于，，因此4．研究集合，，之间的关系[解析] 与，与都无涉及关系，而；由于表达的定义域，故；表达函数的值域，；表达曲线上的点集，可见，，而与，与都无涉及关系考点二：集合的基本运算 [例3] 设集合，（1） 若，求实数的值；（2）若，求实数的取值范畴若，[解题思路]对于含参数的集合的运算，一方面解出不含参数的集合，然后根据已知条件求参数。
[解析]由于，（1）由知，，从而得，即，解得或当时，，满足条件；当时，，满足条件因此或（2）对于集合，由由于，因此①当，即时，，满足条件；②当，即时，，满足条件；③当，即时，才干满足条件，由根与系数的关系得，矛盾故实数的取值范畴是【名师指引】对于比较抽象的集合，在探究它们的关系时，要先对它们进行化简同步，要注意集合的子集要考虑空与不空,不要忘了集合自身和空集这两种特殊状况.[新题导练] 6．若集合，，则是（ ）A. ；B. ；C.；D. 有限集[解析] A；由题意知，集合表达函数的值域，故集合；表达函数的值域，，故7．已知集合，，那么集合为（ ）A.；B.；C.；D.[解析]D；表达直线与直线的交点构成的集合，A、B、C均不合题意8．集合,,且,求实数的值.[解析] ；先化简B得, .由于,故或.因此或,解得或.容易漏掉的一种状况是: 的情形,此时.故所求实数的值为.备选例题1：已知，，则中的元素个数是（ ）A. ；B. ；C.；D.无穷多种[解析]选A;集合表达函数的值域,是数集,并且,而集合表达满足的有序实数对的集合,即表达圆上的点,是点集因此，集合与集合中的元素均不相似，因而，故其中元素的个数为0[误辨别析]在解答过程中易浮现直线与圆有两个交点误选C；或者误觉得中，而中，从而有无穷多种解而选D。
注意，明确集合中元素的属性（是点集还是数集）是精确进行有关集合运算的前提和核心备选例题2：已知集合和集合各有12个元素，具有4个元素，试求同步满足下面两个条件的集合的个数：(Ⅰ)，且中具有3个元素；(Ⅱ)（表达空集）[解法一]由于、各有12个元素，具有4个元素，因此，的元素个数是故满足条件(Ⅰ)的集合的个数是上面集合中，还满足的集合的个数是因此，所求集合的个数是[解法二]由题目条件可知，属于而不属于的元素个数是因此，在中只具有中1个元素的所规定的集合的个数为具有中2个元素的所规定的集合的个数为具有中3个元素的所规定的集合的个数为因此，所求集合的个数是★抢分频道UBA基本巩固训练：1． （吴川市川西中学09届第四次月考）设全集, 则右图中阴影部分表达的集合为 ( )A．；B．；C．；D．[解析]C；图中阴影部分表达的集合是，而，故2. （韶关09届高三摸底考）已知 则=A．；B．；C．；D．[解析] A；由于，，因此3. （苏州09届高三调研考）集合的所有子集个数为 [解析]8；集合的所有子集个数为4.（无锡市高三第一次月考）集合中的代表元素设为，集合中的代表元素设为，若且，则与的关系是 [解析] 或；由子集和交集的定义即可得到结论5．(天津)设集合，则的取值范畴是（ ）A．；B． C．或；D．或[解析]A；，，因此，从而得综合提高训练：6．,则下列关系中立的是( ) A．; B．;C．;D．[解析]A；当时，有，即；当时，也恒成立，故，因此7.设，，，记，，则＝( )A. ; B.; C. ; D. [解析] A；依题意得，，因此，，故应选A8．（09届惠州第一次调研考）设A、B是非空集合，定义，已知A=，B=，则A×B等于（ ）A．；B．；C．；D．[解析]D；，∴A=[0，2]，，∴B=（1，＋∞），∴A∪B=[0, ＋∞），A∩B=（1，2]，则A×B＝第2讲 函数与映射的概念★知识梳理1．函数的概念(1)函数的定义：设是两个非空的数集，如果按照某种相应法则，对于集合中的每一种数，在集合中均有唯一拟定的数和它相应，那么这样的相应叫做从到的一种函数，一般记为(2)函数的定义域、值域在函数中，叫做自变量，的取值范畴叫做的定义域；与的值相相应的值叫做函数值，函数值的集合称为函数的值域。
2)函数的三要素：定义域、值域和相应法则2．映射的概念设是两个集合，如果按照某种相应法则，对于集合中的任意元素，在集合中均有唯一拟定的元素与之相应，那么这样的单值相应叫做从到的映射，一般记为★重、难点突破重点：掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域难点：求函数的值域和求抽象函数的定义域重难点：1．有关抽象函数的定义域求抽象函数的定义域，如果没有弄清所给函数之间的关系，求解容易出错误问题1：已知函数的定义域为，求的定义域[误解]由于函数的定义域为，因此，从而故的定义域是[正解]由于的定义域为，因此在函数中，，从而，故的定义域是即本题的实质是求中的范畴问题2：已知的定义域是，求函数的定义域[误解]由于函数的定义域是，因此得到，从而，因此函数的定义域是[正解]由于函数的定义域是，则，从而因此函数的定义域是即本题的实质是由求的范畴即与中含义不同2． 求值域的几种常用措施（1）配措施：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配措施，如求函数，可变为解决（2）基本函数法：某些由基本函数复合而成的函数可以运用基本函数的值域来求，如函数就是运用函数和的值域来求3）鉴别式法：通过对二次方程的实根的鉴别求值域。
如求函数的值域由得，若，则得，因此是函数值域中的一种值；若，则由得，故所求值域是（4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域如求函数的值域，由于，而，因此，故（5）运用基本不等式求值域：如求函数的值域当时，；当时，，若，则若，则，从而得所求值域是（6）运用函数的单调性求求值域：如求函数的值域因，故函数在上递减、在上递增、在上递减、在上递增，从而可得所求值域为（7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域（求某些分段函数的值域常用此法）★热点考点题型探析考点一：判断两函数与否为同一种函数[例1] 试判断如下各组函数与否表达同一函数？（1），；（2），（3），（n∈N*）；（4），；（5），[解题思路]要判断两个函数与否表达同一种函数，就要考察函数的三要素[解析] （1）由。