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1、向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇一、四心的概念介绍二、四心与向量的结合(1)是的重心.证法1:设 是的重心.证法2:如图三点共线,且分为2:1是的重心(2)为的垂心.证明:如图所示O是三角形ABC的垂心,BE垂直AC,AD垂直BC, D、E是垂足.同理,为的垂心(3)设,是三角形的三条边长,O是ABC的内心为的内心.证明:分别为方向上的单位向量,平分,),令()化简得(4)为的外心。典型例题:例1:是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足, ,则点的轨迹一定通过的( )A外心 B内心 C重心 D垂心分析:如图所示,分别为边的中点./点的轨迹一定通过的重心,即选.例2:(03
2、全国理4)是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足, ,则点的轨迹一定通过的( B )A外心 B内心 C重心 D垂心分析:分别为方向上的单位向量,平分,点的轨迹一定通过的内心,即选.例3:是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足, ,则点的轨迹一定通过的( )A外心 B内心 C重心 D垂心 分析:如图所示AD垂直BC,BE垂直AC, D、E是垂足.=+=0点的轨迹一定通过的垂心,即选.练习:1已知三个顶点及平面内一点,满足,若实数满足:,则的值为( )A2 B C3 D62若的外接圆的圆心为O,半径为1,则( )A B0 C1 D3点在内部且满足,则面积与凹四边形面积之比是( )A0 B C D4的外接圆的圆心为O,若,则是的( )A外心 B内心 C重心 D垂心 5是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,若,则是的( )A外心 B内心 C重心 D垂心6的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,则实数m = 7(06陕西)已知非零向量与满足(+)=0且= , 则ABC为( )A三边均不相等的三角形 B直角三角形C等腰非等边三角形 D等边三角形8已知三个顶点,若,则为( )A等腰三角形 B等腰直角三角形C直角三角形 D既非等腰又非直角三角形练习答案:C、D、C、D、D、1、D、C