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1、第一章控制系统的状态空间表达式1. 状态空间表达式x = Ax + Buu : r x 1 y : m x 1 A: n x n B : n x r C : m x n D : m x r y = Cx + DuA称为系统矩阵，描述系统内部状态之间的联系；B为输入（或控制）矩阵，表示输入对每个状态变量的作用情况；C输出矩阵，表示 输出与每个状态变量间的组成关系，D直接传递矩阵，表示输入对输出的直接传递关系。2. 状态空间描述的特点 考虑了“输入一状态一输出”这一过程，它揭示了问题的本质，即输入引起了状态的变化，而状态决定了输出。 状态方程和输出方程都是运动方程。 状态变量个数等于系统包含的独立
2、贮能元件的个数，n阶系统有n个状态变量可以选择。 状态变量的选择不唯一。 从便于控制系统的构成来说，把状态变量选为可测量或可观察的量更为合适。 建立状态空间描述的步骤：a选择状态变量；b列写微分方程并化为状态变量的一阶微分方程组；c将一阶微分方程组化为向量矩阵 形式，即为状态空间描述。 状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机计算。3. 模拟结构图（积分器加法器比例器）已知状态空间描述，绘制模拟结构图的步骤：积分器的数目应等于状态变量数，将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示 相应的某个状态变量，然后根据状态空间表达式画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起
3、来。4. 状态空间表达式的建立 由系统框图建立状态空间表达式：a将各个环节（放大、积分、惯性等）变成相应的模拟结构图；b每个积分器的输出选作x，输入则为X ; c由模拟图写出状态方程和输出方程。ii 由系统的机理出发建立状态空间表达式：如电路系统。通常选电容上的电压和电感上的电流作为状态变量。利用KVL和KCL列微分方程，整理。 由描述系统的输入输出动态方程式（微分方程）或传递函数，建立系统的状态空间表达式，即实现问题。实现是非唯一的。方法：微分方程T系统函数T模拟结构图T状态空间表达式注意：a如果系统函数分子幂次等于分母幂次，首先化成真分式形式，然后再继续其他工作。b模拟结构图的等效。如前馈
4、点等效移到综合反馈点之前。P28c对多输入多输出微分方程的实现，也可以先画出模拟结构图。5. 状态矢量的线性变换。也说明了状态空间表达的非唯一性。不改变系统的特征值。特征多项式的系数也是系统的不变量。特征矢量P .的求解：也就是求（九1 - A）x二0的非零解。ii状态空间表达式变换为约旦标准型（A为任意矩阵）：主要是要先求出变换矩阵。a互异根时，各特征矢量按列排。b有重根时， 设3阶系统，=九2，3为单根，对特征矢量P，P 3求法与前面相同，P2称作九的广义特征矢量,应满足（九/ - A） P 2 =一P。系统的并联实现：特征根互异；有重根。方法：系统函数T部分分式展开T模拟结构图T状态空间
5、表达式。6. 由状态空间表达式求传递函数阵W（ s）W（s）二C I A）-1 + B + D m xr的矩阵函数】WW表示第j个输入对第i个输出的传递关系。jj状态空间表达式不唯一，但系统的传递函数阵W （s）是不变的。子系统的并联串联反馈连接时，对应的状态空间表达及传递函数阵“（s）。方法：画出系统结构图，理清关系，用分块矩阵表示。 第二章控制系统状态空间表达式的解一. 线性定常系统齐次状态方程（x = Ax）的解：x（t）二eAtx0二. 矩阵指数函数一一状态转移矩阵1. e（t）二eAt表示x（o）到x（t）的转移。5个基本性质。2. eAt的计算：a定义；b变换为约旦标准型A（或J）
6、二T-1 AT , eAt = Te-1或TeJtT-1c用拉氏反变换eAt二L-1（si - A）-1记忆常用的拉氏变换对夂111n!1s0 （t） o 1;1（t） o;t o;e-ato;tno;te-ato；smto;cost os s 2s + asn+1（s + a ）2s 2 + 2s 2 + 2d应用凯莱-哈密顿定理三. 线性定常系统非齐次方程（x二Ax+Bu）的解：x（t）=e（t）x（0）+；e（t -T）Bu（T）dT 。可由拉氏变换法证明（当 然给出拉氏变换法的求解思路）。求解步骤：先求（t）二eAt，然后将B和u（t）代入公式即可。特殊激励下的解。第三章线性控制系统的
7、能控性和能观性一. 能控性及能观性定义（线性连续定常、时变系统，离散时间系统）二. 线性定常系统的能控性判别（具有一般系统矩阵的多输入系统）判别方法（一）：通过线性变换 x二Ax + Bu T z = T-1 ATz + T-1 Bu1 .若A的特征值互异，线性变换（x = Tz ）为对角线标准型，A = T-1AT，能控性充要条件：T-1B没有全为0的行。 变换 矩阵T的求法。2 .若A的特征值有相同的，线性变换（x = Tz ）为约当标准型，J = T-1AT，能控性充要条件：对应于相同特征值的部分， 每个约当块对应的T-1B中最后一行元素没有全为0的。 T-1B中对应于互异特征根部分，各
8、行元素没有全为0的。变换矩阵T 的求法。这种方法能确定具体哪个状态不能控。但线性变换比较复杂，关键是求T、T-1、T-1B。判别方法（二）：直接从A，B判别x = Ax + Bu能控的充要条件是 能控性判别矩阵M二（B，AB，A2B，An-1B）的秩为n。在单输入系统中，M是一个n X n的方阵；而多输入系统，M是一个n X nr的矩阵，可通过rankM二rank （MMt ）三. 线性定常系统的能观性判别X 二 Ax z 二 T-1 ATz判别方法（一）：通过线性变换、，厂” T ”y = Cx y 二 TCz1. 若A的特征值互异，线性变换（x = Tz ）为对角线标准型，A = T-1A
9、T，能观性充要条件：TC中没有全为o的列。 变换 矩阵T的求法。2 .若A的特征值有相同的，线性变换（x = Tz ）为约当标准型，J = T一1 AT，能控性充要条件：对应于相同特征值的部分， 每个约当块对应的TC中第一列元素没有全为0的。 对应于互异特征根部分，对应的TC中各列元素没有全为0的。变换矩阵T 的求法。这种方法能确定具体哪个状态不能观。但线性变换比较复杂，关键是求T、T一1、TC。判别方法（二）：直接从A，C判别C 1 CA 能观性的充要条件是 能观性判别矩阵N =:的秩为n。CAn-1 /在单输入系统中，N是一个n x n的方阵；而多输入系统，N是一个nm x n的矩阵，可通
10、过rankM = rank （MM T）六.能控性与能观性的对偶原理1 若 A2 二 AT，B 2 =C1T，C 2 二 B1T，则 Z1( A1，B1，C1)与 2 2( A2, B2, C 2)对偶。对偶系统的传递函数阵是互为转置的。且他们的特征方程式是相同的。2. 与Y 2对偶，则E1能控性等价于Y 2能观性，E1能观性等价于Y 2能控性。时变系统的对偶原理？ ？七.能控标准型和能观标准型对于状态反馈，化为能控标准型比较方便；对于观测器的设计及系统辨识，能观标准型比较方便。1. 能控标准丨型（如果已知系统的状态空间表达式）判别系统的能控性。计算特征多项式1 XI 一 A n + an-1
11、Xn-1 +a0，即可写出A。求变换矩阵T0c1 =P1p A1P An-11p = 0,0,1b, Ab,An-1B-1。求 T -1，计算b = T -1b =1c1c1cTc1，也可以验证是否有A =仃1 ATc12. 能控标准II型 判别系统的能控性。计算特征多项式1 XI A .九+ a九n-1n-1a 0，即可写出Ac二cT2，也可以验证是否有A = t2-1AT2c2c2c2求变换矩阵T广b, Ab,，An-1b。求T2-1，计算b = T2-1b =c 2c 2c 23. 能观标准丨型判别系统的能观性。计算特征多项式1A=儿+ an-1儿-1 +a1X + a 0，即可写出A。
12、求变换矩阵T求 T ，计算 b = T 1 -1b, c = cT 1 =101o1o10,也可以验证是否有A = T1-1AT 11o14.能观标准II型判别系统的能观性。计算特征多项式I 九I A 1=+ a -1 + a 九 +n-11cAo1-1 =cAn-1即可写出A。求变换矩阵T , AT，,An-1T T =ccA-1o01 1 1 1cAn-11。求 T02,计算 b = T02-1b=cT02=b 0，也可以验证是否有A = T -1AT2o25.如果已知传递函数阵，可直接写出能控标准丨型和能观标准II型的状态空间表达。BSn-1 + BSn-2 + + R S + BW (
13、 s) =ii10+ + a s + aSn-1 + aSn-1 + aSn-2n-1010 0 -O001 00b =000 10aaa a1012n-111n - 210能控标准丨型：A =0卩 n-1能观标准I型：A =a1a2b =r b 0B1Bn-2B匚n-1c = 0 0 1八.线性系统的结构分解1按能控性分解(状态不完全能控,艮卩 rankM = n n),通过非奇异变换X = RX完成。CR =(RRc12Rn1叮,前n1个列矢量是M中n1个线性无关的列，其他列矢量保证R非奇异的条件下是任意的。2.按能观性分解(状态不完全能观,即rankN =匕 n ),通过非奇异变换X =
14、 RoX完成。( /、Ri,R2R -i =oRn1，前 ni个行矢量是N中ni个线性无关的行，其他行矢量保证Ro-1非奇异的条件下是任意的。3. 按能控性和能观性分解（系统是不完全能控和不完全能观的），采用逐步分解法，虽然烦琐，但直观。co步骤：首先按能控性分解（x能控状态，xc不能控状态）。对不能控子系统按能观性分解（x-不能控能观状态，x不能控不cCco能观状态）。将能控子系统按能观性分解（x能控能观状态，x-能控不能观状态）。综合各步变换结果，写出最后的表达式。coco另一种方法：化为约当标准型，判断各状态的能控性能观测性，最后按4种类型分类排列。九.传递函数阵的实现问题1实现的定义：由
