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1、多项式的因式分解 提公因式法一、知识概述因式分解与整式和分式联系极为密切.因式分解是在学习有理数和整式四则运算的 基础上进行的，它为今后学习分式运算、解方程和方程组及代数式和三角函数式的恒等 变形提供必要的基础.1、一般地，对于两个多项式f与g,如果有多项式h使得f=gh，那么我们把g叫做f 的一个因式，此时，h也是f的一个因式，2、一般地，把一个含字母的多项式表示成若干个均含字母的多项式的乘积的形式，称 为把这个多项式因式分解3、几个多项式的公共的因式称为它们的公因式4、如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，这种把多项式 因式分解的方法叫做提公因式法5、提公因式的方法公
2、因式的系数为各项系数的最大公约数，字母部分为相同字母的最低次数如 8x3y2 6x2y3 2xy4 的公因式为 2xy2 ；用提公因式法分解因式的关键是准确地出公因式，解题步骤可概括为“一找、二分、 三提、四查”.二、重难点知识1、对因式分解的理解(1) 因式分解是多项式的一种恒等变形，也是单项式与多项式，多项式与多项式相乘 的逆向变形.(2) 分解因式是对多项式而言的，且分解的结果必须是整式的积的形式.（3）分解因式都是在指定的数集内进行（如无特殊说明，一般指有理数），其结果要使 每一个因式不能再分解为止.2、公因式的构成 系数：各项系数的最大公约数; 字母：各项都含有相同字母; 指数：相同
3、字母的最低次幕.3、提公因式时要一次提尽添加括号时如果括号前面有负号，括号内的各项要变号.三、典型例题讲解例 1、（1）下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（ ）A（x5）（x5）=x225BCx2yxy2=xy（xy）D15=3x52）下列各式的因式分解中正确的是（ ）Aa2abac=a（abc）B9xyz6x2y2=3xyz（32xy）C3a2x6bx3x=3x（a22b）D解析：(1) 显然，A是乘法运算，不正确；B分解因式是将多项式分成几个整式的积， 而右边有分式；D是常数，是单项式，不是多项式，不属于分解因式范围，所以C是正 确的.(2) A.提一a后括号里面各项要变号，但第二、
4、三项未变号.B. 第二项没有公因式z.C. 提3x后，括号里第三项还有因数1,掉了一项.D. 是正确的.答案：(1) C；(2) D例 2、分解因式：(1) &f.12农+ 6占一 1 &分析：(1)由于两项、&中都有公因式心，因此可提取妙.多项式1加+豬-中各项字母没有相同的，因此只需提出系数公约数即可. 解：_心=矽_1).+ 铀_& = 6(加+ b_3c).点评：(1)当公因式是单项式时，一定要注意取各项系数的最大公约数和相同字母的最低次幂；(2) 对于数字系数，提出的系数应是多项式中各项系数的最大公约数.很多同学在分 解因式时容易忽略数字系数的处理，以致于造成分解不彻底的错误.(3)
5、 提公因式后，一定要注意括号内的项数与原多项式的项数在合并同类项之前 是相同的，不能漏项，尤其是将整个一项作为公因式提取后，这一项就变为1.例 3 、把下列各式分解因式：(1) 6x4y212x3y27x2y3；(2)x4yx3y2x2y3；(3)xn3x n1 xn2；(4) 5(xy)310(yx)2；(5) m(5axay1)m(3axay1).分析：分解因式时，首先要看多项式各项有无公因式，若有公因式，应先提取公因式，要 对数字系数和字母分别进行考虑，如果系数为整数，应该提各项系数的最大公约数；字 母考虑两点：一点是取各项相同的字母，一点是各项相同字母的指数取最低的；公因式 提出后，剩
6、下的因式的求法是：用公因式去除多项式的每一项，所得的商即为剩下的因 式.一个多项式中的公因式，既可以是一个单项式，也可以是一个多项式，注意用整体 思想去观察分析多项式，关于幂的底数的符号与指数有如下规律：仞为偶数)(”为奇数)解：(1) 6x4y212x3y27x2y3=3x2y2x2y3x2y4x+3x2y9y =3x2y(2x2y4x+9y2)(2)X4y+X3y2xy =(X4yxy2+X2y3)= (X2yX2X2yxy+x2yy2)一 X2y(X2 一 Xy+y2)(3) Xn + 3Xnl + Xn2 Xn2*X2 + Xn2*3x + Xn2*1Xn2(X2 + 3x+ 1)(4
7、) 5(X y)3+ 10(y X)2 5(X y)3+ 10(X y)2 5(X y)2(X y+ 2)(5) m(5aX+ ay 1) m(3aX ay 1)m(5aX+ay1)(3aXay1)m(5ax+ay 1 3ax+ay+1) m(2aX+ 2ay)=2ma(X+ y)(2x-y=6,例4、不解方程组求7y(x3y)22(3yx)3的值.分析：先把7y(x3y)22(3yx)3进行因式分解，再将2x+y=6和x3y=1整体代入. 解: 7y(x3y)22(3yx)3=7y(X 3y)2+ 2(X 3y)3=(X 3y)27y+ 2(X3y)=(X 3y)2(2X+ y)V 2x+y
8、=6, x一3y=1,原式=12x6=6.点评：先化简再求值以及整体代入的思想在求值问题中经常运用例 5、求证：32000 4x31999+ 10x31998 能被 7 整除.分析：先把32000 4x31999 + 10x31998因式分解证明：T 32000 4x31999 + 10x31998=31998x(32 4x3+ 10)=7x3 1998320004x3 1999 + 10x3 1998 能被 7 整除.在线测试一、选择题1、A. 5x2y3= 5xy(xy2)在下列四个式子中，从等号左边到右边的变形是因式分解的是( )B.C.ab2 2ab=ab(b 2)D.2、49a3bc
9、3+14a2b2C221ab2C2在分解因式时，应提取的公因式是()A. 7abc2B. 7ab2C2C. 7a2b2c2D. 7a3bc33、已知二次三项式Xg+bx+c可分解为(x + a )(x+B )，下面说法中错误的是()x2 4 3x=(x+ 2)(x 2) 3xA.若 b0.c0.P同取正号B.若 bVO,c0.P同取负号C.若 b0.cV0,P 异号,且正数的绝对值小于负数的绝对值D.若 bV0,cV0,P 异号,且负的一个数的绝对值较大4、因式分解(x y)2(y x)应为()A. (x y)(x y1)B.(y x)(x y 1)D.(yx)(yx1)5、6、A. (x y
10、)(3m2x 2y)C. (x y)(3m+2x 2y)在下列各式中：B.D.(xy)(3m2x2y)(y x)(2x 2y3m)把多项式3m(x y) 2(y x)2分解因式的结果是(ab=b a:(ab)2=(b a)2； (ab)2=(b a)2； (ab)3=(b a)3 :(ab)3=(b a)3； (a+b)(ab) = ( a+b)( ab).正确的等式有( )B. 2个A. 1个C. 3个D. 4个7、在分解一5x3(3a2b)?+ (2b 3a)2时，提出公因式一(3a2b) 2后，另一个因式是()5x35x3 1C. 5x315x38、下列各组代数式中没有公因式的是（ ）5
11、m(ab)与 b aB. (a+b)2 与一abmxy 与 xy a2+ ab 与 a2b ab29、下列各题因式分解正确的是（ ）A.3x25xy+x=x(3x5y)B.4x3y2 6xy3z= 2xy2(2x2 yz+ 3)C.3ab(a b) 6a(a b)=3(a b)(ab 2a)D. 56x3yz+ 14x2y2z 21xy2z2= 7xyz(8x2 2xy+ 3yz)10、把30+15%i 45気分解因式是（）A.3(an+2+5an115an)B.3an(a2+ 5a115)C.3an1(a3+ 5 15a1)D.3an1(a3+ 5 15a)二、解答题。11、把下列各多项式分
12、解因式(1) a5ba2b3a2b(2) 7x2y14xy249x2y2(3) (xy)(a2a1)(xy)(a2a1)(4) 18x2(x2y)224xy(2yx)212x(2yx)3(5) x(xyz)y(xyz)z(zxy)(6) y(2xy)22x(y2x)2答案12、化简并求值J(l)(2x +1)2 (3x 2) (2x + l)(3x 2) 2x(2x+1)(2 3x).其中.(2)已知：ab c= 5, 求 a(ab c)+b(c a+b)+c(b + c a).答案13、(1)若关于x的三项式3x2+mx + n分解因式的结果为(3x + 2)(x 1).求m、n的值.(2)
13、已知m、n均为正整数.且有m(mn) n(nm)=12.求m、n的值.答案14、解方程(1 )x(x 2) 4(2 x)=0(2)4(x 3)2 x(x 3)=0答案15、已知关于x的多项式2x3 + x212x+k因式分解后有一个因式是2x + l,求k的值; 将此多项式分解因式.答案16、求证下列各题(1)证明 720007199971998 能被 41 整除； (2)求证：连续两个整数的积,再加上较大的整数其和等于较大整数的平方第1题答案错误！正确答案为 C与第2题答案错误！正确答案为 A第3题答案错误！正确答案为 C第4题答案错误！正确答案为 C趙第5题答案错误！正确答案为 B騎第6题答案错误！正确答案为 C騎第7题答案错误！正确答案为 C騎第8题答案错误！正确答案为 C第9题答案错误！正确答案为 D第10题答案错误!正确答案为 D提示：1、A是单项式，B不是几个因式的积的形式, D 是多项式乘法2、公因式系数是各项系数的最大公约数,字母部分是各项都含有相同字母,且相 同字母的
