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1、偏微分方程数值解法上机报告（一）一、实验题目：用Ritz-Galerkin方法求解边值问题的第n次近似，基函数.二、实验目的：通过本次上机实验，理解求解初值问题的变分问题的最重要的近似解法Ritz-Galerkin方法，以便为学习有限元法打好基础。此外，要熟悉用Matlab解决数学问题的基本编程方法，提高运用计算机解决问题的能力。三、实验代码：n=5;syms x;for i=1:n p(i)=sin(i*pi*x); q(i)=-i2*pi2*sin(i*pi*x);endfor i=1:n b(i)=2*int(p(i),0,1); for j=1:n A(i,j)=int(-q(j)+p
2、(j)*p(i),0,1); endendt=inv(A)*b四、运行结果：t= 2251799813685248/3059521645650671/pi 0 281474976710656/9481460623939047/pi 0 281474976710656/43582901062631895/pi五、总结：通过本次上机，我了解了Ritz-Galerkin方程 ，明白了用Ritz-Galerkin方法解决边值问题的变分问题的基本原理，并接近一步提高自己的编程动手能力，受益匪浅。偏微分方程数值解法上机报告（二）一、 实验题目：用线性元求下列边值问题的数值解二、 实验目的：通过本次上机，熟
3、悉和掌握用Galerkin法观点出发导出的求解处置问题数值解的线性有限元法。增强用Matlab解决数学问题的能力。三、 实验代码：N=10; a=0;b=1;h=(b-a)/N; p=1;q=pi2/4; syms s;f=2*sin(pi/2*s); X=0:(b-a)/N:1; B=; for i=1:N B(i)=h*int(f*(X(i)+h*s)*s,a,b)+h*int(f*(X(i+1)+h*s)*(1-s),a,b);end A=; for i=1:N-1 for j=1:N if i-j=-1 A(i,j)=neiji(1,j,N); elseif i-j=0 A(i,j)=
4、neiji(2,j,N); elseif i-j=1 A(i,j)=neiji(3,j,N); end endendA(N,N-1)=neiji(3,N-1,N);A(N,N)=neiji(4,N,N); u=inv(A)*B; ufunction t=neiji(index,j,N)p=1;q=pi2/4;a=0;b=1;h=(b-a)/N;syms s;X=0:h:1;if index=1 t=int(-p*(X(j)+h*s)/h+h*q*(X(j)+h*s)*(1-s)*s,a,b);elseif index=2t=int(-p*(X(j)+h*s)/h+h*q*(X(j)+h*s)*
5、s*s,a,b)+int(-p*(X(j+1)+h*s)/h+h*q*(X(j+1)+h*s)*(1-s)*(1-s),a,b);elseif index=3 t=int(-p*(X(j+1)+h*s)/h+h*q*(X(j+1)+h*s)*(1-s)*s,a,b);elseif index=4 t=int(p*(X(10)+h*s)/h+h*q*(X(10)+h*s)*s*s,a,b);end四、 运行结果：ans = -0.0086 0.0029 -0.0097 0.0036 -0.0101 0.0038 -0.0101 0.0037 -0.0100 0.0034五、 总结：通过本次上机，
6、使我理解了线性有限元法的基本原理和方法。另外，我也懂得了按Galerkin方法推导有限元方程的优点，它比Ritz法更加方便直接。我也对虚功原理有了初步的认识。因为Galerkin方法基于虚功原理，所以不但可用于保守场问题，也可使用于非保守场即非驻定问题。偏微分方程数值解法上机报告（三）实验题目：用线性元求下列问题的数值解（精确到小数点后第四位）实验目的：通过本次上机，掌握二阶椭圆方程的有限元法，进一步熟悉有限元计算的有关问题。实验步骤： 1.在matlab中输入pdetool 2.在弹出的pdetool工具箱中输入求解区域，在Object Dialog对话框中输入Left为-1，Bottom为
7、-1，Width为2，Height2，单击OK按钮。 3. 设置边界条件：左、右边界用Neumann条件，左边界输入g为1，q为0，右边界输入g为0，q为0；上、下边界用Dirichlet条件，输入h为1，r为0，作网格剖分。设置方程类型为椭圆形，键入c=-1，a=0，f=-2，d=0。 4. 网格剖分 单击工具，或者单击Mesh菜单中Initialize Mesh选项，可进行初始网格剖分。 5. 解方程 单击工具，显示方程色彩解。如图：6单击Mesh菜单中Export Mesh，选择默认值。7. 输出解的数值 单击Solve菜单中Export Solution选项，在打开的Export对话框
8、中输入u，单击OK按钮确定。部分节点如下： Columns 23 through 33 0.8000 0.6000 0.4000 0.2000 0 -0.2000 -0.4000 -0.6000 -0.8000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -0.8000 -0.6000 Columns 45 through 55 -0.8710 -0.4358 -0.4426 0.2619 0.4640 -0.6894 0.8228 0.6909 0.0468 0
9、.3862 -0.0469 0.8741 0.4026 -0.3048 -0.4881 0.2602 -0.8257 -0.6889 0.8274 0.5240 -0.0691 -0.3720部分数值解如下23：330 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.0024 0.097645：550.0667 0.5645 0.6069 0.6724 0.8447 0.1668 0.4912 0.2952 0.6128 0.8902 0.7050总结：有限元计算的有关问题有：把初值问题化为变分形式，对求解域作网络分割，构造基函数（或单元形状函数），形成有限元方程。通过本次实验，我懂得了用有限元方法求解
10、初值问题的基本数学思想和方法，也增强了编程能力，提高了用计算机解决数学问题的兴趣。偏微分方程数值解法上机报告（四）一、 实验题目：设G是一个十字形区域，有五个相等的单位正方形组成，用五点差分格式求下列边值问题的数值解：二、 实验目的：通过本次上机，掌握椭圆型方程的有限差分法，熟悉其计算过程与基本的思想。三、 实验代码：h=0.125;A=zeros(6,14);for i=1:14A(1,i)=0;A(6,i)=0;endfor j=1:6A(j,1)=0;A(j,14)=0;endA(2,11)=0;A(2,12)=0;A(2,13)=0;A(3,12)=0;A(3,13)=0;A(4,13
11、)=0;n=0;for i=2:5for j=2:9+i-1 A(I,j)=h2/4+(A(i-1,j)+A(I,j-1)+A(i+1,j)+A(I,j+1)/4; n=n+1;endendAN四、运行结果：A = Columns 1 through 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0039 0.0049 0.0051 0.0052 0.0052 0.0052 0.0052 0 0.0049 0.0063 0.0068 0.0069 0.0069 0.0069 0.0069 0 0.0051 0.0068 0.0073 0.0075 0.0075 0.0075 0.0075 0 0.0052 0.0069 0.0075 0.0076 0.0077 0.0077 0.0077 0 0 0 0 0 0 0 0 Columns 9 through 14 0 0 0 0 0 00.0052 0.0052 0 0 0 00.0069 0.0069 0.0056 0 0 00.0075 0.0075 0.0072 0.0057 0 00.0077 0.0077 0.0076 0.0072 0.0057 0 0 0 0 0 0 0N =42五、总结：合理地作网格剖分是处理好边值问题非常重要的一个步骤和前提，通过本次上机，我懂得了椭圆型方程的有限差分法
