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1、第五节 直接证明与间接证明考纲传真 1.了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法；了解综合法和分析法的思考过程和特点.2.了解反证法的思考过程和特点抓基础自主学习I理教材双基自主测评迪识梳理1直接证明内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学 定义、公理、定理等，经过 一系列的推理论证,最后推 导出所要证明的结论成立从要证明的结论出发，逐步寻求 使它成立的充分条件，直至最 后，把要证明的结论归结为判定 一个明显成立的条件思维过程由因导果执果索因框图表示Q戶Q2 得到一个明显 成立的条件书写格式因为，所以或由，得要证，只需证，即证2间接证明反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后
2、得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法学情自测1. (思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“V”，错误的打“X”)(1) 综合法的思维过程是由因导果，逐步寻找已知的必要条件()(2) 分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件. ()(3) 用反证法证明时，推出的矛盾不能与假设矛盾. ()(4) 在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现 解决问题的过程()答案(1)J X X (4) V2. 要证明/3+72詁5，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是()A. 综合法B.分析法C.反证法D.归纳法B 要证明申b,则-与
3、丄的大小关系是aa+ xb+x b a+ x ab+ x 丁a+ xx(a - b) (a + x)a0 ,b+ x b一 a+ x a5.(教材改编)在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c,且A，B, C成等差数列，a, b, c成等比数列，则AABC的形状为三角形.等边由题意2B=A + C ,n又 A+B + C 二 n ,.B 二 3，又 b2 二 ac ,由余弦定理得 b2 = a2 + c2 - 2accos B = a2 + c2 - ac ,.a2 + c2 2ac 二 0，即(a c)2 二 0 ,.a 二 c ,nA = C ,A = B = C3 ,ABC为
4、等边三角形明考向题型突破I析典例探求规律方法|*N11综合法例已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E, F分别为C的中点,ACHBD=P, A1C1HEF=Q.求证：(1) D, B, F, E四点共面；(2) 若A1C交平面DBFE于R点，则P, Q, R三点共线.证明(1)如图所示，因为EF是D1B1C1的中位线，所以EFHBp.2分在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，BpllBD，所以 EFBD , 4 分所以 EF， BD 确定一个平面，即D , B , F , E四点共面.5分(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设平面AACC1确定的平面为a ,又设平面BDEF为因
5、为QgA1C1 ,所以Qwa.又QgEF，所以Q引,则Q是a与B的公共点.8分同理，P点也是a与B的公共点.9分所以 aB 二 PQ.又 A1CH = R ,所以 ReAiC，则 Rwa 且,则RwPQ，故P , Q , R三点共线.12分规律方法 综合法是“由因导果”的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，常与分析法结合使用，用分析法探路，综合法书写，但要注意有 关定理、性质、结论题设条件的正确运用变式训练 1已知函数fx)=ln(1+x), g(x)=a+bx2兀2+3兀3,函数y=f(x) 与函数y=g(x)的图象在交点(0,0)处有公共切线.(1) 求 a, b 的值；(2)
6、证明：fx)Wg(x).解(1)f (x)二1 , g (x) = b - x + x2 , 2 分1 x由题意得f (0) = g (0)，解得a = 0 , b = 1.5分(2)证明：令 h(x) =f(x) - g(x)二 ln(x + 1) - 3x3 + |x2x(x- 1)1- x3h (x) =- x2 + x - 1 =.8 分x+ 1x+ 1所以力(兀)在(-1,0)上为增函数，在(0 ,+ 上为减函数.h(x)max = h(0)二 0 , h(x)0,求证:a2+“池三a+02.导学号：31222227】证明 要证a+a-2,只需要证A ； a2 + 02 + 2三a
7、+十+逸.2分因为a0 ,故只需要证 卜 + + 2)2斗a21+ 一 +a即 a2 +02+ 4 i1 a2 +a2+ 4 a2 + 2 +02+T+2,8 分+ 1a从而只需要证a2 + 只需要证4(02 + 0卜2(02 + 2 +勻,即a2 + 2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立.12分规律方法 1.当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法2分析法的特点和思路是“执果索因”，逐步寻找结论成立的充分条件， 即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质
8、或已 经证明成立的结论等，通常采用“欲证只需证已知”的格式，在表达中要注 意叙述形式的规范性变式训练2已知ABC的三个内角A, B, C成等差数列，A, B, C的对边分别为 a， b， c.求证：a+b+ b+c a+b+c证明要证+丄a+ b b+ c a+ b+ cabc= 1,3 分abc abcc即证，+二3,也就是亠+abbcab只需证 c(b + c) + a(a + b) = (a + b)(b + c),需证 c2a2= acb2, 5 分又ABC三内角A , B , C成等差数列，故B = 60 ,由余弦定理,得b2= c2a22accos 60, 10 分艮卩 b2 =
9、c2 + a2 - ac，故 c2 + a2 = ac + b2 成立.于是原等式成立.12分1反证法设an是公比为q的等比数列.(1)推导an的前n项和公式；设qH1,证明数列an+1不是等比数列.导学号：31222228】解(1)设a的前n项和为S，nJn当 q = 1 时，S = a + a + + a = na ；n 1111当qH1时，S” =a1 + a1q + a1q2 + + a1qn -1 ,qS” = a1q + a1q2 + + a1qn，-得, (1- q)Sn= a1- a1qn,=a n 1- qna1 , q= 1 ,5分(2)证明：假设an+1是等比数列，则对任
10、意的kwN *(ak+1+ 1)2= (ak+ 1)(ak+2+ 1),a2+1 + 2ak+1 + 1=akak + 2 + ak + ak + 2+1，afq2k + 2a、qk = a、qk -a1qk+1 + a1qk -1 + a、qk+ 1.8 分 .。工0 ,.2qk qk-1 + qk + LTqHO ,.q2 - 2q +1=0, :.q- 1，这与已知矛盾.假设不成立，故an+1不是等比数列.12分规律方法 用反证法证明问题的步骤：(1) 反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面成立；(否定结论)(2) 归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾，矛盾可
11、以是与已知条件、定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾)(3) 立论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误既然原命 题结论的反面不成立，从而肯定了原命题成立(命题成立)变式训练3已知a 1,求证三个方程：x2+4ax4a+3 = 0, x2+(a 1)x+a2 = 0, x2+2ax2a=0中至少有一个方程有实根.证明 假设三个方程都没有实数根，则(4a)2 - 4( - 4a + 3)v0 ,(a - 1)2 - 4a20 ,(2a)2 -4X(- 2a)031-2a2，a* 或a - 1 ,6 分- 2a0，3八.- 2a - 1.10 分这与已知a三-1矛盾
12、，所以假设不成立，故原结论成立.12分思想与方法1综合法与分析法的关系：分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件的关系，找到解题思路，再运用综合法 证明；或两种方法交叉使用2反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立反证法证明的关键：准确反设；从否定的结论正确推理；得出矛盾.易错与防范 1用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证（欲 证）”“即要证”“就要证”等分析到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立2利用反证法证明数学问题时，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的课时分层训练（三十六）直接证明与间接证明A 组
13、基础达标（建议用时：30 分钟）一、选择题1. 下列表述：综合法是由因导果法；综合法是顺推法；分析法是执果索因法；分析法是逆推法；反证法是间接证法.其中正确的个数有（）A2 个B3 个C4 个D5 个D 由分析法、综合法、反证法的定义知都正确.2. 用反证法证明命题：若整数系数的一元二次方程ax2+bx+c=0（aH0）有 有理实数根，则a, b, c中至少有一个是偶数.下列假设中正确的是（）A. 假设a, b, c至多有一个是偶数B. 假设a, b, c至多有两个偶数C. 假设a, b, c都是偶数D. 假设a, b, c都不是偶数D “至少有一个”的否定为“一个都没有”，即假设a ,b ,c都不是偶数.3. 若a, b, c为实数，且avbvO,则下列命题正确的是（）A. ac2bc2B.
