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1、本 科 生 毕 业 论 文 使用量词解决一类不等式问题的初探院 系： 数学与应用数学系 专 业： 数学与应用数学 班 级： 数本071 学 号： 指导教师： 职称（或学位）： 教授 2011年 5 月原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文（设计），是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果.除文中已经注明引用的内容外，本论文（设计）不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果.对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明.本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担.学生签名： 年 月 日 指导声明本人指导的 同学的毕业论文（设计）题目大小、难度适当，且符合
2、该同学所学专业的培养目标的要求.本人在指导过程中，通过网上文献搜索及文献比对等方式，对其毕业论文（设计）内容进行了检查，未发现抄袭现象，特此声明.指导教师签名： 年 月 日目 录1 引言21.1 量词的定义21.2 现状调查21.3 文章的目的32 预备知识32.1 等值式32.2 确界32.3 简单命题的否定32.4 常见命题的转化方案33 量词的混合使用34 还原量词55带着量词解决不等式问题55.1 量词的初探55.2 均值不等式与量词66结论12致谢13参考文献：13使用量词解决一类不等式问题的初探（数学与应用数学 指导老师：杨忠鹏）摘要：本文的目的主要在于了解、熟悉目前量词在中学数学
3、中理论的讨论情况，为量词可以更好的和其他知识内容及技巧方法融为一体。 通过对一道不等式的习题进行深入分析，得到均值不等式的不能使用其实是因为量词不可达、以及对量词的否定的一些缺陷。 关键字：不等式；量词；量词否定；均值不等式；Abstract：The purpose of this article mainly lies in understanding, familiar with at present in middle school mathematics classifier, theory discussion for quantifiers can better and other
4、 intellectual content and method of skill blended. Based on a thorough analysis of the inequality problem sets, get the cannot use actually mean inequality classifier unreachable, and because of some of the defects of the classifiers negation. Keywords: inequality; Quantifiers; Quantifiers negative;
5、 Average inequality; 1 引言1.1 量词的定义：1）离散数学中对量词的定义：全称量词的定义：在日常生活和数学中经常用到的如“一切的”、“所有的”、“每一个”、“任意的”、“凡”、“都”等词汇统称为全称量词，用符号“”表示，表示个体域里的所有个体，其中个体域是事先约定的。 存在量词的定义：在日常生活和数学中经常用到的“存在”、“有一个”、“有的”、“至少有一个”等词汇统称为存在量词，用符号“”表示。 表示个体域里有一个个体.2) 高中课程里量词的定义:“任意”、“所有”、“每一个”等叫作全称量词（universal quantifier）,数学上用符号“”表示。 “存在”、
6、“某一个”、“至少有一个”等叫作存在量词（existential quantifier），数学上用符号“”表示，涉及量词的命题必须指出量词的作用范围。 3）离散数学中的定义与高中课本定义的区别与联系这两种对于量词的定义本质上是相同的，都是“一切的”，“所有的”，“每一个”，“任意的”，“凡”，“都”等词来概括全称量词，用“存在”、“某一个”、“至少有一个”等词来概括存在量词，用符号“”，“”分别表示任意量词和存在量词。 但也有一定的区别，离散数学中对量词的定义的着重点在利用量词来表示自然语言，而高中的量词定义着重点在于量词的作用范围。 1.2 现状调查1）中学数学量词使用的广泛性在中学数学中，
7、量词被广泛的运用到各个类型的题目中，函数、不等式、数列、几何等，几乎各方面都有涉及到量词，在文献4-20中都有体现。 2）中学数学量词结论的滞后虽然量词在中学数学中被广泛的应用，并且关于量词的文献也是随处可见，但对于量词理论上的讨论及论证却是少之又少。 教材上的匮乏在必修内容中，不含有量词的理论知识，高中课本选修2-1中有将量词单独列出。 但选修2-1作为选修课程并没有仔细的讲解，甚至文科生都没有讲授量词的理论知识（文科的考试大纲不要求量词这部分的知识）。 知识点的紧缺中学数学中只涉及到对含有一个量词的命题的讲解及分析，然而中学数学的题目中却时常出现含两个量词以上的命题，这就造成了中学中量词的
8、理论无法满足实践的需要。 3）研究情况由于量词这部分知识是新增的内容，很多教师对这部分知识还不是很了解，使得在讲授量词这部分知识点的时候，教师讲解含糊，学生听的也不清不楚。 很多学生对量词这部分知识的掌握只能是知其然不知其所以然，形成对量词部分知识没有很清晰的了解。 并且学习了之后没有并且不会运用到问题的解决中，与具体解答题目脱节。 这就使得学生在做有关量词题目的时候容易出现错误。 4）中学数学中量词的重要性和理论的匮乏形成教学中的矛盾量词虽不是必修的内容，但在练习中却经常出现（常与不等式结合考查参数的取值范围）甚至在高考题中都经常出现，而高考题是一个地方教学目标及教学内容的指挥棒在高中的整个
9、教学阶段起着极其重要的作用，由此可见量词在高中阶段所占的分量不可忽视。 但若要将量词讲清楚，又涉及到对一阶逻辑的内容的讲解，如此而来，关于量词的知识点又会超出中学生所能接受的范围，而且在课时方面也不允许。 这便体现了中学数学中量词的重要性和理论的匮乏形成教学中的矛盾。 1.3 文章的目的中学数学中含有量词的题目不乏其数，但大部分都是抛开量词来讨论题目。 这样便与教学目标脱节，因为量词的重要性故而引入了量词的定义及其否定，学而不用就会造成一种浪费。 所以就需要教师和学生一起将量词拿到实际应用中来。 本文的目的主要在于了解、熟悉目前量词在中学数学中理论的讨论情况，使量词可以更好的为其他知识内容及技
10、巧方法服务，使学生在学习量词的同时提升自我的逻辑思维能力，并且为今后的教学实践与研究打下基础。 2 预备知识2.1 等值式德摩根律 蕴含等值式 （见文1）2.2 确界一个无限数集E即使它有上确界（或下确界），然而这个（或）可属于E也可不属于E。 如果（或）属于E，则我们说上确界（或下确界）可达到；否则就说上（或下）确界不达到(见文3)2.3 简单命题的否定一般的，命题“”的否定是“”命题“”的否定是“”(见文2) .2.4 常见命题的转化方案1） ,求的取值范围在上的最小值2） ,求的取值范围在上的最大值3） ,求的取值范围在上的最大值4） ,求的取值范围在上的最小值5） ,求的取值范围在上有
11、解。 （见文10）3 量词的混合使用文献20讲述了特称命题与全称命题的混合命题其对混合命题的定义如下：“当一个命题中既出现“至少”“存在”等存在量词，又出现“任意”、“都有”等全称量词时，本文称之为存在命题与全称命题的混合命题。”文献20中给出的试题赏析都是一些字面上就出现“任意”、“存在”之类的字眼如（ 2009 年 福 建 省 质 检 文 22 ）已 知 函 数在 = 1 处取得极值 2（）求的解析式；（）设是曲线上除原点外的任意一点，过的中点且垂直于轴的直线交曲线于点，试问：是否存在这样的点，使得曲线在点处的切线与平行？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；（）设函数，若对于任意的，
12、总存在，使得，求实数的取值范围但在高中的题目中有许多只出现“任意”或者“存在”或者都没出现量词的，那这些题目是不是就不是混合命题？在高中的题目中有许多是隐藏了量词的，若将量词还原了，那么这些题目有的也同时含有存在量词和全称量词，所以本文认为并不只是出现在字面上的“全称”、“存在”的命题是混合命题，若将隐含的量词挖掘出来并且同时含有全称、存在的命题也可称为混合命题。 下面我们举几个例子来说例1 （2010山西调研）若不等式对一切成立，则的最小值。 分析 先将命题符号化：，求的最小值即在上，寻找使最小。 这个题目其实就是在全称量词的情况下寻找存在量词，即，使。 这便是存在量词与全称量词的混合使用，
13、这里隐含了存在量词。 例2（由文改编） 设函数在存在,使得不等式成立,求的取值范围。 分析的取值范围设为那么其实可以将题目还原：由此可以清晰地看出，这道题目其实是隐藏了全称量词。 所以它也是一道存在命题与全称命题的混合命题。 例3 （2010江西二次联考）若关于的不等式恒有解，则实数t的取值范围是_分析 在这道题目中没有明显的出现量词那这道题是不是混合命题呢？先将题目还原：（在此设为的取值范围）对于成立将题目还原后会发现，其实这道题目也是同时含有存在量词和全称量词的混合命题，只是出题者将其都隐藏了。 纵观中学数学一些不等式的题目，会发现其实大部分都是混合命题的题目。 综上，在解这类题目时，要还
14、原题目的本来面目，在对其进行分析。 所以教师在讲解题目的时候要融入量词的知识，使学生在学习中潜移默化的接受并应用量词，做到学以致用。 4 还原量词还原量词是为了更准确的解决一些不等式的问题，以及命题的否定等。 对于隐藏了量词的命题要如何将其中的量词还原？要将量词还原就需要教师在平时的教学中要融入量词的知识（这个将在第五点详细讲）以下举几个还原量词常用的方法1） 对于一些不含有量词的名词一般都隐含了全称量词例如：平行四边形对边平行。 像这个命题就隐藏了全称量词，将其还原就可得所有的平行四边形对边都平行2） 含有“恒成立”的命题，若没有出现量词，就是隐藏了全称量词，还原为所有的自变量都属于R例如：恒成立，即成立含有“恒有解”的命题，若没有出现量词，就是隐藏了存在量词，还原为所有的自变量都属于R例如：例3，可还原为3） 求最大值，最小值得问题。 这类问题一般是在全称量词的情况下寻找存在量词例如：例1，使。 4） 不含量词的自变量的取值范围这种情况一般是隐藏了全称量词，可以将全称量词还原例如：已知.就可以将还原成.5带着量词解决不等式问题中学引入了量词，主要
