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1、一元二次方程及根的定义1.已知关于的方程的一个根为2，求另一个根及的值.思路点拨：从一元二次方程的解的概念入手，将根代入原方程解的值，再代回原方程，解方程求出另一个根即可.解：将代入原方程，得 即 解方程，得 当时，原方程都可化为 解方程，得. 所以方程的另一个根为4，或-1.总结升华：以方程的根为载点.综合考查解方程的问题是一个常考问题，解这类问题关键是要抓住“根”的概念，并以此为突破口.举一反三：【变式1】已知一元二次方程的一个根是，求代数式的值.思路点拨：抓住为方程的一个根这一关键，运用根的概念解题.解：因为是方程的一个根,所以,故,所以.总结升华：“方程”即是一个“等式”，在“等式”中
2、，根据题目的需要，合理地变形，是一种对代数运算综合要求较高的能力，在这一方面注意丰富自己的经验.类型二、一元二次方程的解法2.用直接开平方法解下列方程：(1)3-27x2=0； (2)4(1-x)2-9=0.解：(1)27x2=3 .(2)4(1-x)2=9 3.用配方法解下列方程：(1)；(2).解：(1)由， 得， ， ， 所以， 故.(2)由， 得， ， ， 所以 故4.用公式法解下列方程：(1)；(2)；(3).解：(1)这里并且所以，所以，. (2)将原方程变形为，则，所以，所以. (3)将原方程展开并整理得，这里，并且，所以.所以.总结升华：公式法解一元二次方程是解一元二次方程的一
3、个重点，要求熟练掌握，它对我们的运算能力有较高要求，也是提高我们运算能力训练的好素材.5.用因式分解法解下列方程：(1)；(2)；(3).解：(1)将原方程变形为，提取公因式，得，因为，所以所以或，故 (2)直接提取公因式，得所以或，(即故. (3)直接用平方差公式因式分解得即所以或故.举一反三：【变式1】用适当方法解下列方程(1)2(x+3)2=x(x+3)； (2)x2-2x+2=0；(3)x2-8x=0； (4)x2+12x+32=0.解：(1)2(x+3)2=x(x+3) 2(x+3)2-x(x+3)=0 (x+3)2(x+3)-x=0 (x+3)(x+6)=0 x1=-3，x2=-6
4、(2)x2-2x+2=0 这里a=1，b=-2，c=2 b2-4ac=(-2)2-412=120 x= x1=+，x2=-(3)x(x-8)=0 x1=0，x2=8(4)配方，得 x2+12x+32+4=0+4 (x+6)2=4 x+6=2或x+6=-2 x1=-4，x2=-8点评:要根据方程的特点灵活选用方法解方程.6.若，求的值.思路点拨：观察，把握关键：换元，即把看成一个“整体”.解：由，得，所以，故或(舍去)，所以.总结升华：把某一“式子”看成一个“整体”，用换元的思想转化为方程求解，这种转化与化归的意识要建立起来.类型三、一元二次方程根的判别式的应用7.(武汉)一元二次方程4x2+3
5、x-2=0的根的情况是( )A.有两个相等的实数根; B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根; D.没有实数根解析:因为=32-44(-2)0，所以该方程有两个不相等的实数根.答案:B.8.(重庆)若关于x的一元二次方程x2+x-3m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是( )A.m B.m C.m- D.m-思路点拨：因为该方程有两个不相等的实数根，所以应满足.解:由题意，得=12-41(-3m)0，解得 m-.答案:C.举一反三：【变式1】当m为什么值时，关于x的方程有实根.思路点拨：题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分和两种情形讨论.解：当即时，方程为一元
6、一次方程，总有实根；当即时，方程有根的条件是：，解得当且时，方程有实根.综上所述：当时，方程有实根.【变式2】若关于x的一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+30的解集(用含a的式子表示)思路点拨：要求ax+30的解集，就是求ax-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0因为一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0没有实数根，即(-2a)2-4(a-2)(a+1)0就可求出a的取值范围解：关于x的一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0没有实数根(-2a)2-4(a-2)(a+1)=4a2-4a2+4a+80满足ax+30即ax-3所求不等式的解集
7、为.类型四、根据与系数的关系，求与方程的根有关的代数式的值9.(河北)若x1，x2是一元二次方程2x2-3x+1=0的两个根，则x12+x22的值是( )A. B. C. D.7思路点拨:本题解法不唯一，可先解方程求出两根，然后代入x12+x22，求得其值.但一般不解方程，只要将所求代数式转化成含有x1+x2和x1x2的代数式，再整体代入.解:由根与系数关系可得x1+x2=，x1x2=，x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=()2-2=.答案:A.总结升华:公式之间的恒等变换要熟练掌握.类型五、一元二次方程的应用考点讲解：1构建一元二次方程数学模型：一元二次方程也是刻画现实问题的有效数
8、学模型，通过审题弄清具体 问题中的数量关系，是构建数学模型，解决实际问题的关键2注重解法的选择与验根：在具体问题中要注意恰当的选择解法，以保证解题过程简洁流畅，特别要 对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性10.(陕西)在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图.如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是( )A.x2+130x-1400=0 B.x2+65x-350=0C.x2-130x-1400=0 D.x2-64x-1350=0解析:在矩形挂图的四周镶一条宽为xcm的金边，那么挂图的长为(8
9、0+2x)cm，宽为(50+2x)cm，由题意，可得(80+2x)(50+2x)=5400，整理得x2+65x-350=0.答案:B.11.(海口)某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？解：设每千克水果应涨价x元，依题意，得(500-20x)(10+x)=6000 整理，得x2-15x50=0解这个方程，x1=5，x2=10 要使顾客得到实惠，应取x=5答：每千克应涨价5元总结升华：应抓住“要使顾客得到实惠”这句话来取舍根的情况12.(深圳南山区)课外植物小组准备利用学校仓库旁的一块空地，开辟一个面积为130平方米的花圃(如图)，打算一面利用长为15米的仓库墙面，三面利用长为33米的旧围栏，求花圃的长和宽解：设与墙垂直的两边长都为米，则另一边长为米，依题意得 又 当时， 当时， 不合题意，舍去. 答：花圃的长为13米，宽为10米
