《菱形的性质与判定》典型例题例1 如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且，求：（1）的度数；（2）对角线AC的长；（3）菱形ABCD的面积．例2 已知：如图，在菱形ABCD中，于于 F．求证：例3 已知：如图，菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的一点，，，求的度数. 例4 如图，已知四边形和四边形都是长方形，且．求证：垂直平分．例5 如图，中，，、在直线上，且．求证：．例6 如图，在△中，，为的中点，四边形是平行四边形．求证：与互相垂直平分参考答案例1 分析 （1）由E为AB的中点，，可知DE是AB的垂直平分线，从而，且，则是等边三角形，从而菱形中各角都可以求出．（2）而，利用勾股定理可以求出AC．（3）由菱形的对角线互相垂直，可知解 （1）连结BD，∵四边形ABCD是菱形，∴是AB的中点，且，∴∴是等边三角形，∴也是等边三角形．∴（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AC与BD互相垂直平分，∴∴，∴（3）菱形ABCD的面积说明：本题中的菱形有一个内角是60°的特殊的菱形，这个菱形有许多特点，通过解题应该逐步认识这些特点．例2 分析 要证明，可以先证明，而根据菱形的有关性质不难证明，从而可以证得本题的结论．证明 ∵四边形ABCD是菱形，∴，且，∴，∴，，∴，∴例3 解答：连结AC. ∵四边形ABCD为菱形，∴，. ∴与为等边三角形. ∴∵，∴ ∴ ∴∵，∴为等边三角形. ∴∵，∴ ∴说明 本题综合考查菱形和等边三角形的 性质，解题关键是连AC，证例4 分析 由已知条件可证明四边形是菱形，再根据菱形的对角线平分对角以及等腰三角形的“三线合一”可证明垂直平分．证明：∵四边形、都是长方形∴，，，∴四边形是平行四边形∵，∴在△和△中∴△≌△ ∴，∵四边形是平行四边形∴四边形是菱形∴平分 ∴平分 ∵∴垂直平分．例5 分析 要证，关键是要证明四边形是菱形，然后利用菱形的性质证明结论．证明 ∵四边形是平行四边形∴，，，∴∵，∴在△和△中 ∴△≌△ ∴∵ ∴同理： ∴∵∴四边形是平行四边形∵ ∴四边形是菱形∴．例6 分析 要证明与互相垂直平分，只要证明四边形是菱形．所以要连结证明 ∵在△中，为的中点∴∵四边形是平行四边形∴，∴，∴四边形是平行四边形∵ ∴是菱形 ∴与互相垂直平分．。
