§1. 三角形、四边形中的动点问题【解题思路与措施】 1.关注变化因素和不变因素以及图形的特殊性，寻找常量和变量； 2.化动为静 (由一般到特殊)，以静制动；3.数学建模：拟定图形运动中的变量关系时常常建立函数模型，拟定图形运动中的特殊位置关系时常常建立方程模型；4.关注运动问题的三个要素：运动方向、速度、范畴（直线、射线、线段、折线）；5.注重分类讨论，通过度别画图与分离图形使问题简朴化；6.根据运动元素的不同分为动点问题、动线问题、动图问题三大类型（涉及点、线、图同步运动）.◆典例解析一、三角形中的动点问题例1. 已知，如图△ABC是边长3cm的等边三角形.动点P以1cm/s的速度从点A出发，沿线段AB向点B运动.设运动时间为t（s），（1）如图1，当t为什么值时，△PBC是直角三角形？（2）如图2，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动. 连接PQ交AC于D. 如果动点P、Q都以1cm/s的速度同步出发.那么 当t为什么值时，△DCQ是等腰三角形?（3）如图3，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动. 连接PQ交AC于D，连接PC. 如果动点P、Q都以1cm/s的速度同步出发. 请探究：在点P、Q的运动过程中△PCD和△QCD的面积与否相等？变式题：已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同步从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P达到点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答下列问题：（1）当t为什么值时，△PBQ是直角三角形?（2）设四边形APQC的面积为y（cm2），求y与t的关系式；与否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出相应的t值；若不存在，请阐明理由。
例2. 如图，已知△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D为AB的中点．（1）若点P段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同步点Q段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，1秒钟时，△BPD与△CQP与否全等，请阐明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，可以使△BPD≌△CPQ？(2)若点Q以(1)②中的运动速度从点C出发，点P以本来的运动速度从点B同步出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求通过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？变式题：如图（1）△ABC为等边三角形，动点D在边CA上，动点P边BC上，若这两点分别从C、B点同步出发，以相似的速度由C向A和由B向C运动，连接AP，BD交于点Q，两点运动过程中AP=BD可通过证明 得到这个结论；（2）如果把原题中“动点D在边CA上，动点P边BC上，”改为“动点D，P在射线CA和射线BC上运动”，其她条件不变，如图（2）所示，两点运动过程中∠BQP的大小保持不变．运用图（2）的情形，求证：∠BQP=60°；（3）如果把原题中“动点P在边BC上”改为“动点P在AB的延长线上运动，连接PD交BC于E”，其她条件不变，如图（3），则动点D，P在运动过程中，DE始终等于PE吗？写出证明过程．二、特殊四边形中的动点问题例3. 如图，在等腰梯形中，∥，,AB=12 cm,CD=6cm , 点从开始沿边向以每秒3cm的速度移动，点从开始沿CD边向D以每秒1cm的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同步出发，当其中一点达到终点时运动停止。
设运动时间为t秒ABCDQP（1）求证：当t=时，四边形是平行四边形；（2）PQ与否也许平分对角线BD？若能，求出当t为什么值时PQ平分BD；若不能，请阐明理由；变式题：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B﹦90°，AB﹦6cm，AD﹦18cm，BC﹦24cm点p从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同步出发，以3cm/s的速度向点B运动，规定其中一种动点达到端点时，另一种动点也随之停止运动．设运动时间为t s．（1）t为什么值时，四边形ABQP为矩形？（2）t为什么值时，四边形PQCD为平行四边形？（3）在其他条件不变的状况下，能否通过变化点Q的运动速度，使得四边形PQCD为菱形？例4. 如图，△ABC中，点O为AC边上的一种动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E．（1）试阐明EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论．变式题：1.如图所示，有四个动点P、Q、E、F分别从正方形ABCD的四个顶点出发，沿着AB、BC、CD、DA以同样的速度向B、C、D、A各点移动。
1）试判断四边形PQEF是正方形并证明2）PE与否总过某一定点，并阐明理由3）四边形PQEF的顶点位于何处时，其面积最小，最大？各是多少？2.如图所示，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD、等边△ACE、等边△BCF.CBADFE（1）求证：四边形DAEF是平行四边形； （2）探究下列问题：（只填满足的条件，不需证明）①当△ABC满足_________________________条件时，四边形DAEF是矩形；②当△ABC满足_________________________条件时，四边形DAEF是菱形；③当△ABC满足_________________________条件时，以D、A、E、F为顶点的四边形不存在. ◆延伸课堂1.如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x（1）用含x的代数式表达AC+CE的长；（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式+的最小值．2.直线y=- 3/4x+6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同步从O点出发，同步达到A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O⇒B⇒A运动．（1）直接写出A、B两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t（秒），△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；（3）当S= 48/5时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．3.梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从点A开始，沿AD边以1厘米/秒的速度向点D运动；动点Q从点C开始，沿CB边以3厘米/秒的速度向B点运动。
已知P、Q两点分别从A、C同步出发，，当其中一点达到端点时，另一点也随之停止运动假设运动时间为t秒，问：（1）t为什么值时，四边形PQCD是平行四边形？（2）t为什么值时，线段AB与线段PQ相等？（3）在某个时刻，四边形PQCD也许是菱形吗？为什么？（4）与否存在t值，使PQ把直角梯形提成周长相等的两部分？若存在，求出t的值；若不存在，请你阐明理由．4. 如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，已知AD=AB=3，BC=4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N．P、Q两点同步出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点，P、Q两点同步停止运动．设点Q运动的时间为t秒．（1）求NC，MC的长（用t的代数式表达）；（2）当t为什么值时，四边形PCDQ构成平行四边形；（3）探究：t为什么值时，△PMC为等腰三角形．。