第七章 线性映射§7.1 线性映射(一)教学目的：①理解线性映射的定义，掌握线性映射的性质②掌握线性映射单，满的刻划教学重点与难点：线性映射的定义，性质以及单射，满射的刻划授课内容与过程：一 基本概念定义1：线性映射：设◎是V到W的一个映射，如果下列条件被满足，就称◎是V到W的一个线 性映射.(i) 对于任意7，H&V，qG+耳)二◎(：)+◎ (n)；(ii) 对于任意 a e F, Q(aQ =ac (7 ).注：1 :要验证一个映射是否为线性映射只须验证(i ) (ii)两条即可.O2 :定义中的(i ) (ii) o (iii) Va, b e F ,Vg ,ne V 有oc (a7 + bn)= ac (7)+bc (n)证明(略)向量7二 举例例1令A是数域F上一个mXn矩阵.对于n元列空间Fn的每规定：c(7)= A^ .c(g)是一个m x 1矩阵，即是空间Fm的一个向量.根据矩阵运算的性质，易证c是一个映射并且对于a e F,7 ,n e F，我们有 o (g +耳)二 A G +耳)二 Ag + Aq =o (g)+o 6)； o (ag ) = A (ag ) = a (Ag )= ao (g)所以，O是Fn到F m的一个线性映射.例2对于F［x］的每一多项式f (x),令它的导数广(x)与它对应.根据导数的基本性质.这样定义的 映射是F L］到自身的一个线性映射.例3令C［a,b］是定义在［a,b］上一切连续实函数所成的R上向量空间.对于每一f (x)e C［a,b］， 规定o (f (x))=J xf (t》t.ao(f (x))仍是［a,b］上一个连续实函数.根据积分的基本性质，O是C［a,b］到自身的一个线性映射.三 几个特殊的线性映射1：零映射：令V和W是数域F上向量空间.对于V的每一向量g，令W的零向量0与它对应，这 是V到W的一个线性映射，叫做零映射，即:—2：位似：令V是数域F上一个向量空间，取定F的一个数k，对于任意ge V，定义o(g)= kg容易验证，o是V到自身的一个线性映射.这样一个线性映射叫做V的一个位似. 注：单位映射和零映射都是位似的特殊情形.思考与练习：设V是数域F上一个一维向量空间.证明V到自身的一个映射o是线性映射的充要条 件是：对于任意ge V，都有o (g)= ag这里a是F中一个定数.3： Fn上一个线性型.取定F上的一个n元数列(a ,a , ,a )，对于Fn的每一向量g=(x,x , ,x )，规定1 2 n 1 2 no(g) = a x + a x + + ax F …1 1 2 2 n n容易验证，o是Fn到F的一个线性映射.这个线性映射也叫做F上一个n元线性函数或Fn上一个 线性型.四 线性映射的一些基本性质性质 1：线性映射将零向量映成零向量.证明(略)性质2：任意a ,a , ,a e F和任意g ,g , ,g e V都有1 2 n 1 2 nb (a g + a g + 半 a g + a b (g) .［可用数学归纳法证明］1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n n设b是向量空间V到W的一个线性映射，如果Vy V,那么((g)IgeVT是W的一个子集，叫做V'在b之下的像，记作b(V)设W y W，则｛geV I b(g)eW‘ ｝是V的一个子集，叫做W'在b之下的原像.定理7.1.1：设V和W是数域F上向量空间，而b : V T W是一个线性映射.那么V的任意子空间 在b之下的像是W的一个子空间，而W的任意子空间在b之下的原像是V的一个子空间. 证明：设v'是v的一个子空间.如果g，n是b(V‘)的任意向量，那么总有g,neV’，使g=b(g),n=b(n)因为b是线性映射，所以对于任意a,b e F，ag + bn = ab (g)+ bb(n)= b (ag + bq)但V'是V的子空间，所以ag+ bne V’，因而ag + bq e b (V ’)这就证明了b(V’)是W的一个子空间.现在设W’是W的一个子空间.令V’是W’在b之下的原像.显然0 e V’.如果ge V’，那么b(g), b(n)e W 因为b是线性映射而W ’是子空间，所以对于任意a, b e F，b (ag + bn) =ab (g)+bb(n)eW’即ag+ bq e V’.这就证明了 V’是V的一个子空间.特别，向量空间V在b之下的像是W的一个子空间，叫做b的像，记作Im(b)，即ImG)={j(g)|g eV}=O(V).另一方面，W的零子空间{0}在b之下的原像是V的一个子空间，叫做b的核，记作KerG),即 Ker (b)= { eV I b(g)= 0}下面，我们给出线性映射是单，满射的刻划.定理7.1.2：设V和W是数域F上向量空间，而b : V T W是一个线性映射，那么Ci) b 是满射 o Im (b ) = W.(ii) b 是单射o Ker(b )= {0}证明：论断(i)是显然的•我们只论断(ii).如果b是单射，那么Ker(b)只能含有唯一的零向量.反过来设Ker(b )={o}.如果g“e V而 b(g) = b(q).那么 b(g-n) = b(g)-b(q)= 0，从而 g-ne Ker (b)={0},所以 g =n，即 b 是单射.(注：在证明过程中主要向学生灌输证明映射是单射，满射的方法)作业： P120 1， 3。
§7.1 线性映射（二）教学目的：①掌握线性映射的各种运算；②掌握线性映射的核与象的定义和性质.教学重点与难点：①线性映射的合成，逆映射；②线性映射的核与象.授课内容与过程：五 线性映射的运算1：线性映射的合成：设U,V和W都是数域F上的向量空间.是线性映射，考虑合成映射a o t : U t W我们证明，a o T是U到W的一个线性映射.令9=0 OT ,那么对于任意a, b G F和g G UQ(ag + bq) = c (t (ag + bq))=o (ot (g)+ bT (q)) = a0 (T (g ))+ b0 (T (q ))=a9(g)+b9(q)这就证明了9 =0 oT 是一个线性映射.2：线性映射的合成满足结合律.如果U,V,W,X都是F上向量空间，而t : U T V, o : V T W, p : W T X是线性映射，则有(P o0)oT = po(0oT)证明：（见269）（注：证明过程中要向学生灌输证明两个映射相等的思路，对任一元素，让他们的像相同）.3：线性映射的逆映射(先复习映射的逆映射).如果线性映射b : V T W有逆映射◎-1，那么◎-1是W到V的一个线性映射.证明：分析，只须证b-1的线性性即可.六 例题讲解例1：令F4表示数域F上四元列空间•取'1 -1 5 -1、1 1 -2 3A -3 -1 8 1J 3 -9 7 丿对于g e F4，令b(g)= Ag求线性映射b的核和像的维数.解：矩阵A的秩为2,取F4的一个基，按列排成矩阵B .矩阵AB的列向量恰是这个基的象.因为B丰0 .所以dimlm(b ) = R(AB)= R(A)= 2 .由于dim Ker (b )等于方程组Ag = 0的解空间的维数，故dim Ker (b )= 4 - R(A)= 2.例2：设V和W都是数域F上向量空间，且dim V = n，令b是V到W的一个线性映射.我们如此 选取V的一个基：a ,L , a ,a ,L , a .1 s s+1 n使得a ,L ,a是Ker(b )的一个基，证明： 1s(i) b(a ),L ,b(a )组成 Im(b)的一个基;s +1 n(ii)dimKer(b)+dimIm(b)=n.证明：(i)要证b(a ),L ,b(a )是ImG)的一个基，只须证s +1 n1o： b (a ),L ,b (a )线性无关.s +1 n2o: Vge Im(b),g 可由 b(a ),L,b(a)线性表示.s +1 n先证1。
设有一组数k ,L , k , sts+1 nk c (a )+L + k Q(a)= 0 s +1 s +1 n n.•.c (k a + L + k a )= 0s +1 s +1 n nk a + L + k a e Ker (c )s +1 s+1 n n又Qa ,L ,a 是Ker(c)的基.1sk a + L + k a 二 k a + L + k as +1 s+1 n n 1 1 s s/. k a + L + k a — k a —L — k a = 01 1 s s s+1 s +1 n n又a ,L ,a ,a ,L ,a线性无关1 s s +1 n/. k 二 k 二 L 二 k 二 k 二 L 二 k 二 01 2 s s +1 n.c (a ),L ,c (a )线性无关.s +1 n2o :下证e Im(c)可由c(a ),L,c(a)线性表示.s +1 nQ对上述g,日卩eV,st,g =c (卩)对 0 有 B = l a + L +1 a +1 a + L +1 a1 1 s s s+1 s+1 n n.g =c(0)=1c(a )+L +1c(a )+1 c(a )+L +1 c (a )1 1 s s s +1 s+1 n nc(a ) = 0,L c(a ) = 0,a L a 是Ker(c)的基，1 s 1 s.g = 1 c (a )+L + 1 c (a )s +1 s +1 n n(ii)由(i)证明知：dim Ker (c )+ dimIm (c ) =作业： P271 习题 6§7.2 线性变换的运算教学目的：①理解线性变换与线性映射的区别;② 掌握线性变换的各种运算；③ 理解L（V ）是一个向量空间.教学重点与难点：L（V）是一个向量空间.授课内容与过程：1 定义令V是数域F上一个向量空间.V到自身的一个线性映射叫做V的一个线性变换. 用L（V）表示向量空间V的一切线性变换作成的集合.2 线性变换的运算厂满足交换律⑴和 h•满足结合律（2）零变换，记为。
0 =^+e =o⑶负变换：b+（Y）= 0⑷减法：a-T @a+（-T）（5） F中的数与V的线性变换的乘积.定理7.2.1 L（V）对于加法和数与线性变换的乘法来说作成数域F上一个向量空间.（6） 线性变换的积满足结合律.（7） 单位变换:令i表示V到V的单位映射，称为V的单位变换.（8） 线性变换的幂.（9） 线性变换的逆变换.（10） 线性变换的多项式.f G)=设f二a xm + a xm-1 + L + a是F [x]中一多项式，a是V的一线性变换，我们定义: m m-1 0a a m + a a m-1 +L + a im m-1 o显然f (a )是一线性变换，它称为线性变换a的多项式.如果 f (X),g (x)e FLx],并且 u (x )= f (x)+ g (x)v (x )= f (x ) g (x)有u(a)= f (a)+ g(a), v(a)= f (a)gg(a)补充:例设a e L 是V的一个基.试证，a。