仿射变换理论及其在几何中的应用仿射变换理论在几何中地位非常重要，它比正交变换解决的问题范围更广. 本文中我们将看到仿射坐标系，在仿射坐标系中我们了解仿射变换和仿射变换的 基本性质，例如包括仿射变换将直线变为直线，将平行的两条直线变为平行的两 直线本文中还介绍单比，利用它证明了梅内劳斯(Menelaus)定理后来本文介 绍了仿射不变性质，例如两个三角形面积的比是仿射不变量最后本文介绍了利 用本文的有关性质解决一些问题这样使得读者更好的了解这篇文章欧式几何就是研究正交变换下图形的不变性质与不变量，因此在初等平面 几何中都是讨论图形的那些与距离，角度，面积，等有关的性质，如三角形全等， 平行，垂直等.但是图形的各种变形中，保持任意两点之间的距离不变的变换是十 分特殊.例如，图形的放大，物体在阳光照射下变成它们的影子等，都不具有这种 性质，即都不是正交变换.因此，我们考虑较正交变换广泛一点的点变换，即仿射 变换.本文讨论了仿射变换的概念及其性质，同时给岀了其在几何中的应用.1平面上的仿射坐标系与仿射变换我们引进仿射坐标系：在平面上任取一点0及两个不共线的向量eA — OE^ez — OE.,(不一定是单位向量，且勺，◎不一定垂直的)这样我们就建立了仿射坐标系如图1•图形1对于平面上任一点P,则向量。
戸可唯一地表示为OP = xet + ye2数组gy)称为关于仿射坐标系{0:©,®},的仿射坐标.定理1.0在仿射坐标系下，直线方程一定是关于仿射坐标系的一次方程Ax+By+C = 0. (1.00)反之也真.证明 在直线上任取两点片(心儿),巴(兀,儿)，对于直线上任一点P(x,y\有即D—兀儿一X'或(/一兀)(儿一〉1)一()一)[)区一兀)=0,这是关于X』的一次方程.反之，在(1.00)上取£(“)及乙(S)的坐标适合方程，即Ar1 + By\ + C = 0, (1. 02)Ar2 + B>'2 + C = 0. (1.03)只要证明任一坐标适合方程的点P(x',y') —定与人鬥共线即可，由于Ax' + By' + C = 0, (1. 04)因A,B,C不全为零，( 1.02), ( 1.03), ( 1.04)可理解为关于4,B,C，的齐次线性方程组，由于A.B.C不全为零，所以# y 1兀儿i=o,Xr y, 1即P比共线.定义1.1在平面上点之间的一个线性变换(1.05)xf = alix+al2y + cil^ yf = a2lx+a22y + a2Z.Cl2Lh0△=叫做仿射变换，其中（5D分别是p,p‘的仿射坐标.从仿射变换的代数表示可知平面内不共线的三对对应点（原像不共线，像也不共 线）唯一决定一个仿射变换，称为仿射几何的基本定理.例1有公式所确定的变换表示分别沿轴与轴两个压缩变换的乘积，显然是一个 仿射变换.注1）正交变换是仿射变换的特例.2）仿射变换的几何意义就是平面到自身的平行影链.2仿射变换的基本性质定义1.2图形经过任何仿射变换后都不变的性质（量），称为图形的仿射性质（仿 射不变量）.性质1仿射变换将直线变为直线.证明有仿射变换的代数表示式（1.05）,其逆变换为(1.06)其中b22x = bnx +bi2y y = b2lx + b22yf +设有直线l:Ax+By+C = O仿射变换（1.06）下，有（Abn + Bb2l）xf + （Abl2 + Bbjy' +（AZ?13 + + C）=0. （1. 07）由于A3不全为零且他侶工0,p21 b22故Abn + Bb2l和Abi2 + Bbj不全为零.因此（1.07）是心V关于的一次方程，从而它表示一直线，及即仿射变换将直 线变为直线.性质2两条平行直线经过仿射变换后仍变为两条平行直线证巳知两条平行直线：严?y+y 其中4=邑』.l2 :A2x+B2y + C2 =0. A2 B2 C2经过仿射变换（1.06）后，厶仏分别变为（A% + （A% + B^b"） y + 巧 + G = 0.（1.08）(A：% +〃厶1)*+(AA?+〃厶 Jy'+AA3+〃2“23+G =o.(i・O9)令殳遗吨啟于是 谿欽十站鑼十且烹:叢::::心否则一步这说明）（1. 08） , （1. 09）表示的直线平行.注两直线平行是仿射变换的不变性质.如1） 任何一个仿射变换将平面仿射作标系变为另一个仿射坐标；2） 任何一个变换将平行四边形变为平行四边形；3） 任何一个仿射变换将梯形变为梯形；4） 任何一个仿射变换将等腰三角形变为三角形；通常我们把经过仿射变换可以相互转换的图形为仿射等价的图形. 例如圆与椭圆是仿射等价的.下面引入仿射变换基本不变量：单比（仿射比） 定义1.3设匚是有向直线的两个顶点，P是这有向直线的另一点，P分有向线 段人戸为两个有向线段片戸和PR ,则其代数长的比型叫做共线三点P、,PjP的p》p单比，记为（肚,P）, 即（肚,p）=券（1. 10）特别当p为的中点时,（肚,p）=_i.设弓（兀』）（心123）是一条直线上的三点•其中（兀」）为门的仿射坐标（图2）,PR C厶 OP“_OPX, x.-x2(1. H)同理儿-）i儿一儿(1. 12)ftPi0 ExK % P’3X图形2性质3任何一个仿射变换保持共线三点的单比不变.证在仿射坐标系下，£（齐』）0 = 1,2,3）是一条直线上的三点，它们在仿射变换 （1.05）下的像为F（x；,£）,由于仿射变换将共线点变为共线点，因此£0 = 1,2,3） 是另一条直线上的三点，" 禺一兀儿一儿因此2.（p^ p^\=兀'-时=（4 內 +% 儿 +气）一（勺內 +4』+铅）=4 ©3 - "J+ 4,（儿-）'J \ n 丿 x' -x' （67nx3 + ai2y. + «13）-（anx2 + al2y2 + al3） 召（心一兀）+ 亞（儿一）'） 所以（喘,尺）=（仇/）•定义1.4平面内一点变换，如果满足下列条件：（1） 任何共线点的像仍是共线点.（2） 任何共线三点的单比不变.性质4两平行线段的比是仿射不变量.证设线段AB\\CD,经仿射变换后，其对应线段AN'和C'D也平行，现在要证AB _ A'B'而一而•连接皮），作CE\\BD交于E （图3）,由于仿射变换保持平行性和结合性（将共线点变为共线点），所以E的对应点E'在48上，且CE || BD ,由于仿射变换保持共线三点的单比不变， 有（BA、E） = （B，A：E）.即岂=空BE BE，又 BE = CD, BE = CD'.空亠CD CD至此，一些主要涉及平行线，线段中点及平行线段的比等几何性质，都是仿射不变 性质，例如（1） 三角形两边中点的连线平行于第三边且它的长等于第三边的一半.（2） 任意平行四边形对角线互相平分.（3） 任意三角线的重心（三条中线的交点）性质5⑴两个三角形面积的比是仿射不变量.证设在直角坐标系下，已知不共线三点弓（兀,牙）（心1,2,3）,则bPRP、的面积S*酸为X 1儿1的绝对值.儿1经仿射变换(1.05)后 £ 为 P：a；,y- )(i = 1,2,3),则彳=4內 + ©/ + 4{ , i = V厶3・X =6內+归)：+冬3，△片RF的面积S'沁'\ y\ 1一凡 ” 12・ ・•< 儿’1的绝对值1勺內+勺』+即= -ailx2 + al2y2 + a^4內+4汀,+如冬內+LX+幻 a2lx2+a22y2+a2Z $內+如％ +知11的绝对值1-2附鼻-牡冬J '你爲•同理,另一个三角形Q与其三角形Q；Q\Q；的面积的关系.S'gQH = \aLia22 - a!2a211 Sg •£ p故 7"、二 r;p;p;人£ V」厶Q 讥Q；Q；Q；推论1两个平行四边形面积之比是仿射不变量. 推论2两个封闭图形面积之比是仿射不变量. 例1求椭圆的面积（图4）.方法一：解在直线坐标系下， 椭圆4+4=1.cr b~xf = x经仿射变换｛ , a (1.13))'=t )'b变为圆如图 4,椭圆内△048经(1. 13)对应为△Q4N',其中0(0,0),人(久0), B(0,b), A'三A,F(0,a)从而椭圆的面积_圆的面积S S ，匚厶OAB 』心方’即椭圆的面积—8’2 2于是，椭圆的面积为龙db 方法二沽解化椭圆为参数方程x = cicost, y = bsint,t g [0,2/r].求得椭圆所围面积为sm2 tdt = 7rab.0 bsin/(dcosf)例2试证明梅内劳斯(Menelaus)定理⑶：在"IBC的三边或BC.CA^AB其延长线 上分别取三点L、M,N,则L、M,N共线的充要条件是BL CM AN . /…、——• •——= -1. (1. 14)LC MA NB证以4为原点AB.AC为坐标向量建立仿射坐标系如图五若令BL = 2LC,CM = pMA,AN = uNB,则根据定比分点公式，有关点的坐标为L,M、N共线的充要条件是LM\\MN ,而所以血\\MN的充要条件是1 2=0.1171V1+U化简得= -1, (1. 14)式成立.古希腊亚历山大里亚的数学家、天文学家梅内劳斯(公元98年左右)，在其幸运的保留下来的三卷W球面几何（Sphaehca）：4］中提出了着个定理.例3⑸设点P是线段上的一点出虫的坐标分别是（不,开）,匕，儿）・（1）当点P是线段££的中点时，求点P的坐标；⑵当点P是线段人人的一个三等分点时，求点戸的坐标EB腕解：（1）如图6,由向量的线性运算可知 0戸冷（0耳+码=（驴,呀）. 所以，点P的坐标是（匕,4］I 2 2丿（2）当点P是线段人马的一个等三分点时有两种情况即如果片P = #PR （图7）,那么o"oR +呼 OR +扣 R = o 片+ £（oE—oR）= |oR + £oE =（i^^,^p^）, 即点F的坐标是（丄殳,如电］.I 3 3丿同理如果Pf = 2P匕(图8)那么点F的坐标是(心=21±生\I 3 3丿例4⑹求椭圆两点—+ —= 1,两点^(-V2,-V2) ,P,(2V2--V2)和中心的连9 25 2 2 - 2 2线以及椭圆弧所围成的片4所围成的S。
旷I-6仿射变换｛P2P1-6-1012164把椭圆”变成宀〉76相应的点3 5 3 5^(-V2,-V2), ^(-V2,--V2)分别变成 p；(2V2,2V2),尺(2血,-2©)在0,中般| = 4血又因为：SH16Z- 2 -2血_、2 a」圆O'中。