《高中数学 第一章 导数及其应用 1.1.2 瞬时变化率——导数（二）习题 苏教版选修2-2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第一章 导数及其应用 1.1.2 瞬时变化率——导数（二）习题 苏教版选修2-2（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.1.2瞬时变化率导数(二)明目标、知重点1.理解导数的定义，并掌握导数的几何意义.2.理解导函数的概念，了解导数的物理意义和实际意义1导数设函数yf(x)在区间(a，b)上有定义，x0(a，b)，若x无限趋近于0时，比值无限趋近于一个常数A，则称f(x)在xx0处可导，并称该常数A为函数f(x)在xx0处的导数，记作f(x0)2导函数若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f(x)f(x)在xx0处的导数f(x0)就是导函数f(x)在xx0处的函数值情境导学如果一个函数是路程关于时
2、间的函数，那么函数在某点处的导数就是瞬时速度，这是函数的实际意义，那么从函数的图象上来考察函数在某点处的导数，它具有怎样的几何意义呢？这就是本节我们要研究的主要内容探究点一函数的导数思考1函数的导数和函数的平均变化率有什么关系？答函数f(x)在点x0附近的平均变化率，当x0时，A，A就是f(x)在点xx0处的导数，记作f(x0)思考2导数f(x0)有什么几何意义？答f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率. 例1利用定义求函数f(x)x23x在x2处的导数解yf(2x)f(2)(2x)23(2x)2(x)2x.x1，当x0时，1，f(2)1.反思与感悟求函数yf
3、(x)在xx0处的导数步骤如下：求函数值的改变量yf(x0x)f(x0)；求平均变化率；求导数，当x0时，A，则f(x0)A.跟踪训练1求函数f(x)3x22x在x1处的导数解y3(1x)22(1x)(31221)3(x)24x，3x4，当x0时，4，f(1)4.探究点二导数概念的应用思考1导函数f(x)和f(x)在一点处的导数f(x0)有何关系？答函数f(x)在一点处的导数f(x0)是f(x)的导函数f(x)在xx0处的函数值思考2f(x0)与f(x)的区别是什么？答f(x)是函数f(x)的导函数，简称导数，是对一个区间而言的，它是一个确定的函数，依赖于函数本身，而与x0，x无关；f(x0)
4、表示的是函数f(x)在xx0处的导数，是对一个点而言的，它是一个确定的值，与给定的函数及x0的位置有关，而与x无关思考3导数有哪些主要应用？答在物理上，导数可以解决一些瞬时速度、瞬时加速度问题；在函数图象上，利用导数可求曲线在某点处切线的斜率；在实际问题中，导数可以表示事物变化的快慢，解决膨胀率，降雨强度，边际函数等问题例2已知曲线y在点(1,4)处的切线与直线l平行，且与l的距离等于，求直线l的方程解y，.当x无限趋近于0时，无限趋近于4.曲线在点(1,4)处的切线的斜率为4.故切线方程为y44(x1)，即4xy80.设直线l的方程为4xyc0，由题意有.c19，c225，所以直线l的方程为
5、4xy90或4xy250.反思与感悟利用导数的几何意义来求曲线切线的斜率，注意给出的点必须是切点才能直接根据导数求切线斜率，否则要先求切点跟踪训练2已知函数yf(x)在点(，3)处的切线方程为ykx1，则f()_.答案2解析由点(，3)在直线ykx1上得3k1，k2.根据导数的几何意义f()2.思考4曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？答不一定曲线的切线和曲线不一定只有一个交点，和曲线只有一个交点的直线和曲线也不一定相切如图，曲线的切线是通过逼近将割线趋于确定位置的直线思考5曲线f(x)在点(x0，f(x0)处的切线与曲线过某点(x0，y0)的切线有何不同？答曲线f(x)在点(x0，f(x
6、0)处的切线，点(x0，f(x0)一定是切点，只要求出kf(x0)，利用点斜式写出切线方程即可；而曲线f(x)过某点(x0，y0)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点例3试求过点P(3,5)且与曲线yx2相切的直线方程解2xx，当x无限趋近于0时，无限趋近于2x，所以f(x)2x.设所求切线的切点为A(x0，y0)，因为A在曲线yx2上，所以y0x，又因为A是切点，所以过点A的切线的斜率k2x0.因为所求切线过P(3,5)和A(x0，y0)两点，所以斜率可以表示为.故2x0，解得x01或5.从而切点的坐标为A(1,1)或A(5,25)当切点的坐标为A(1,1
7、)时，切线的斜率为k2x02；当切点的坐标为A(5,25)时，切线的斜率为k2x010.所以所求的切线有两条，方程分别为y12(x1)和y2510(x5)，即2xy10和10xy250.反思与感悟(1)求曲线上某点处的切线方程，可以直接利用导数求出曲线上此点处的斜率，然后利用点斜式写出切线方程；(2)求曲线过某点的切线方程，要先求出切点坐标，再按(1)完成解答跟踪训练3已知曲线y2x27，求：(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4xy20?(2)曲线过点P(3,9)的切线方程解4x2x.x0时，4x.(1)设切点为(x0，y0)，则4x04，x01，y05，切点坐标为(1，5)(2)由于点P(3
8、,9)不在曲线上设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k4x0，故所求的切线方程为yy04x0(xx0)将P(3,9)及y02x7代入上式，得9(2x7)4x0(3x0)解得x02或x04，所以切点为(2,1)或(4,25)从而所求切线方程为8xy150和16xy390.1已知f(x)x210，则f(x)在x处的瞬时变化率为_答案3解析x3，当x无限趋近于0时，无限趋近于3.2函数yx在x1处的导数为_答案0解析，当x无限趋近于0时，无限趋近于0.3质点按S(t)3tt2作直线运动，当其瞬时速度为0时，t_.答案解析根据导数的定义可求得S(t)32t.令S(t)32t0，得t.4求函
9、数f(x)x的导函数解y(xx)(x)x，1，当x0时，11，函数f(x)的导函数为1.呈重点、现规律1导数就是瞬时变化率，是平均变化率当x0时的无限趋近值2函数f(x)在xx0处的导数f(x0)就是导函数f(x)在xx0处的函数值3利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤(1)求出函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)；(2)根据直线的点斜式方程，得切线为yy0f(x0)(xx0).一、基础过关1下列说法正确的是_(填序号)若f(x0)不存在，则曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处就没有切线；若曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处有切线，则f(x0)必存在；若f(x0)不存在，则曲线y
10、f(x)在点(x0，f(x0)处的切线斜率不存在；若曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处没有切线，则f(x0)有可能存在答案解析kf(x0)，所以f(x0)不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程为xx0.2.已知yf(x)的图象如图所示，则f(xA)与f(xB)的大小关系是_答案f(xA)f(xB)解析由导数的几何意义，f(xA)，f(xB)分别是切线在点A、B处切线的斜率，由图象可知f(xA)f(xB)3已知f(x)，则当x0时，无限趋近于_答案解析f(2x)f(2)，.当x0时，.4曲线yx3x2在点P处的切线平行于直线y4x1，则此切线
11、方程为_答案4xy40或4xy0解析设P(x0，y0)，由导数定义可得yx3x2在点xx0处的导数为3x1，令3x14，x01，切点P的坐标为(1,0)或(1，4)，故切线方程为4xy40或4xy0.5设函数f(x)ax32，若f(1)3，则a_.(已知(ab)3a33a2b3ab2b3)答案1解析a(x)23ax3a当x无限趋近于0时，无限趋近于3a，即3a3，a1.6设一汽车在公路上做加速直线运动，且t s时速度为v(t)8t21，若在tt0时的加速度为6 m/s2，则t0_ s.答案7用导数的定义，求函数yf(x)在x1处的导数解yf(1x)f(x)，当x无限趋近于0时，无限趋近于，f(
12、1).二、能力提升8已知函数yf(x)的图象在点M(1，f(1)处的切线方程是yx2，则f(1)f(1)_.答案3解析由在M点的切线方程yx2得f(1)12，f(1).f(1)f(1)3.9若函数yf(x)的导函数在区间a，b上是增函数，则函数yf(x)在区间a，b上的图象可能是_(填序号)答案解析依题意，yf(x)在a，b上是增函数，则在函数f(x)的图象上，各点的切线的斜率随着x的增大而增大，观察四个图象，只有满足10若曲线y2x24xP与直线y1相切，则P_.答案3解析设切点坐标为(x0,1)，则f(x0)4x040，x01，即切点坐标为(1,1)24P1，即P3.11已知抛物线yx24与直线yx10.求：(1)它们的交点；(2)抛物线在交点处的切线方程解(1)由解得或.抛物线与直线的交点坐标为(2,8)或(3,13)(2)yx24，x2x，x0时，2x.y|x24，y|x36，即在点(2,8)处的切线斜率为4，在点(3,13)处的切线斜率为6.在点(2,8)处的切线方程为4xy0；在点(3,13)处的切线方程为6xy50.12航天飞机升空后一段时间内，第t s时的高度h(t)5t330t245t4，其中h的单位为m，t的单位为s.(1)h(0)，h(1)，h(2)分别表示什么？(2)求第2 s内的平均速度；(3)求第2 s末的瞬
