s q uth wejr优化与决策多目标线性规划的若干解法及MATLAB实现指导老师:学生姓名:学 号:多目标线性规划的若干解法及MATLAB实现（西南交通大学数学学院 四川成都 610031）摘要：求解多目标线性规划的基本思想大都是将多目标问题转化为单目标规划，本文介绍了理想点法、线性加权和法、最大最小法、目标规划法[1]，然后给出多目标线性规划的模糊数学解法[2]，最后对每种解法给出例子，并用Matlab软件加以实现关键词：多目标线性规划 Matlab 模糊数学Some solutions of Multi-objective linear programming and realized by MatlabSchool of Mathematics, Southwest Jiaotong University ,Chengdu, 610031Abstract: The basic ideas to solve Multi-objective linear programming are transforming the multi-objective problem into single objective planning, This paper introduces the ideal point method, linear weighted and law, max-min method, the goal programming method, then given multi-objective linear programming Fuzzy mathematics method, finally give examples of each method and used Matlab software to achieve.Key words: Multi-objective Linear Programming Matlab fuzzy mathematics一．引言多目标线性规划是多目标最优化理论的重要组成部分，由于多个目标之间的 矛盾性和不可公度性,要求使所有目标均达到最优解是不可能的,因此多目标规划问 题往往只是求其有效解（非劣解）。
目前求解多目标线性规划问题有效解的方法,有 理想点法、线性加权和法、最大最小法、目标规划法，然而这些方法对多目标偏好 信息的确定、处理等方面的研究工作较少，本文也给出多目标线性规划的模糊数学 解法二．多目标线性规划模型多目标线性规划有着两个和两个以上的目标函数,且目标函数和约束条件全是线性函数,其数学模型表示为：zi — AIA可二切吗+%巾+…+9A max <二略声*电乜十…十约束条件为：吗I工+如叫+…十即吗兰勺 如兀|+压％+…+色応 兰瓦W : : :码川西减兀2十…%耳兰勺 一b花，…，％ >0（2）若（1）式中只有一个佔诃+C必十…十爲兀，则该问题为典型的单目标线性规划我们记：A ~ （叭“，g勺）W，，?则上述多目标线性规划可用矩阵形式表示为：maxZ = Cx约束条件：| .v > 0三.MATLAB优化工具箱常用函数在MATLAB软件中，有几个专门求解最优化问题的函数，如求线性规划问题的 linprog、求有约束非线性函数的fmincon、求最大最小化问题的fminimax、求多 目标达到问题的fgoalattain等,它们的调用形式分别为：① .[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)f为目标函数系数,A,b为不等式约束的系数，Aeq,beq为等式约束系数， lb,ub为x的下限和上限，fval求解的x所对应的值。
算法原理：单纯形法的改进方法投影法② .[x,fval ]=fmincon(fun,xO,A,b,Aeq,beq,lb,ub)fun为目标函数的M函数，xO为初值,A,b为不等式约束的系数，Aeq,beq为 等式约束系数，lb,ub为x的下限和上限，fval求解的x所对应的值算法原理：基于K-T(Kuhn-Tucker)方程解的方法③ .[x,fval ]=fminimax(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)fun为目标函数的M函数，x0为初值,A,b为不等式约束的系数，Aeq,beq为 等式约束系数，lb,ub为x的下限和上限，fval求解的x所对应的值算法原理：序列二次规划法④ .[x,fval ]=fgoala tt ain(fun,x0,goal,weigh t,A,b,Aeq,beq,lb,ub)fun为目标函数的M函数，x0为初值,goal变量为目标函数希望达到的向量 值，wight参数指定目标函数间的权重,A,b为不等式约束的系数，Aeq,beq为等式 约束系数，lb,ub为x的下限和上限，fval求解的x所对应的值算法原理：目标达到法四.多目标线性规划的求解方法及MATLAB实现4.1 理想点法在（3）中，先求解 个单目标问题：= 1,2<-r，设其最优值为 ，称八⑵厶…Z；）为值域中的一个理想点距离因为一般很难达到。
于是，在期望的某种度量之下，寻求最近的Z作为近似值一种最直接的方法是最短距离理想点法，构造评价函数然后极小化洌心］，即求解并将它的最优解 作为（3）在这种意义下的“最优解”例 1：利用理想点法求解max /(jc) = 7西-f 2x2 rnax/z(x) -4x, + 弘！ sJ 2xi +3x2 < 182xi -t-x2 <10 工宀二0解：先分别对单目标求解：①求解,AW最优解的MATLAB程序为>> f=[3;-2]; A=[2,3;2,1]; b=[18;10]; lb=[0;0];>> [x,fval]=linprog(f,A,b,[],[],lb)结果输出为：x = 0.0000 6.0000fval = -12.0000即最优解为12.②求解最优解的MATLAB程序为>> f=[-4;-3]; A=[2,3;2,1]; b=[18;10]; lb=[0;0];>> [x,fval]=linprog(f,A,b,[],[],lb)结果输出为：x =3.0000 4.0000即最优解为24.于是得到理想点：(12，24).然后求如下模型的最优解s.t 2xx < IS2x)+ x? < 10 站血AOMATLAB程序如下：>> A=[2,3;2,1]; b=[18;10]; x0=[1;1]; lb=[0;0];>> x二fmincon('((-3 *x(l)+2 *x(2)T2厂2+(4 *x(l)+3 *x(2)-24厂2厂(l/2)',xO,A,b,[],[],lb,[])结果输出为：x = 0.5268 5.6488则对应的目标值分别为^(x) = 9.7172^(x) = 19.05364. 2线性加权和法在具有多个指标的问题中，人们总希望对那些相对重要的指标给予较大的权系数，因而将多目标向量问题转化为所有目标的加权求和的标量问题，基于这个现实，构造如下评价函数，即min Z(x)=工 ^.Z.(jc)将它的最优解£作为（3）性加权和意义下的“最优解”。
为加权因子，其选取的方法很多，有专家打分法、容限法和加权因子分解法等）.例2：对例1进行线性加权和法求解权系数分别取（＞）■ - 0.5，⑴”、—0.5）解：构造如下评价函数，即求如下模型的最优解min{0.5x(3X| -2r2) + 0.5x(-4x( -3^)} s.t 2耐 + < 18+ 心 <10 码,勺芒0MATLAB程序如下：>> f=[-0.5;-2.5; A=[2,3;2,1]; b=[18;10]; lb=[0;0];>> x=linprog(f,A,b,[],[],lb)结果输出为：x =0.0000 6.0000则对应的目标值分别为朋二12伽二IX在决策的时候，采取保守策略是稳妥的，即在最坏的情况下，寻求最好的结 果，按照此想法，可以构造如下评价函数，即慎G = maxZ.然后求解：min Z(x) I = min max Z. (x)XL?? xl/J ]^i> x0=[1;1];A=[2,3;2,1];b=[18;10];lb=zeros(2,1);>> [x,fval]=fminimax('myfun12',x0,A,b,[],[],lb,[])结果输出为：x =0.0000 6.0000fval = -12 -18则对应的目标值分别为他二124.4目标规划法ApprZ(x) f Z(>4)并把原多目标线性规划（3）tn i 门 7. （..r） 称为和目标规划（4）相对应的多目标线性规划。
为了用数量来描述（4）,我们在目标空间 中引进点7（1：）J jZc 之间的某种“距离”这样（4）便可以用单目标min D[Z（x）, ZD]来描述了例4：对例1对进行目标规划法求解：解：MATLAB程序如下，首先编写目标函数的M文件:function f=myfun3(x)f(1)=3*x(1)-2*x(2);f(2)=-4*x(1)-3*x(2);>> goal=[18,10]; weight=[18,10]; x0=[1,1]; A=[2,3;2,1]; b=[18,10]; lb=zeros(2,1);>> [x,fval]=fgoalattain('myfun3',x0,goal,weight,A,b,[],[],lb,[])结果输出为：X = 0.0000 6.0000fval = -12-18则对应的目标值分别为拆何=12^« = 184. 5模糊数学求解方法[■1]由于多目标线性规划的目标函数不止一个，要想求得某一个点作,使得所有的目标函数都达到各自的最大值，这样的绝对最优解通常是不存在的因 此，在具体求解时，需要采取折衷的方案，使各目标函数都尽可能的大模糊数学规 划方法可对其各目标函数进行模糊化处理,将多目标问题转化为单目标,从而求该问 题的模糊最优解。
具体的方法为：先求在约束条件：下各个单目标爲,E2的最大值 和最小值 ，伸缩因子为g =z：W = i2 …尸得到5)式(5)是一个简单的单目标线性规划问题最后求得模糊最优解为：利用(5)式来求解的关键是对伸缩指标的确定，是我们选择的一些常数，由于在多目标线性规划中，各子目标难以同时达到最大值Z；，但是可以确定的是各子目标的取值范围，它满足：，所以，伸缩因子为可以按如下取值：例5：对例 1 进行模糊数学方法求解：解：①分别求得•仙在约束条件下的最大值为：②分别求得在约束条件下的最小值为：Z* =(12,24)•E)。