问题的提出在(1)第331 一 332页和第338页上,分别给出了两个极限形式的比较判别法：I、设在(a,+co)上厂(x)》0、并且连续:.⑴如果 limx” f(x)二 1,其中 0 砍 I<+co,P>l,则 I)”，(x)dx 收敛；(2)如果 limx 广(x)二 1,其中 0<1(+的,P 簇 1,十斗侧；贝To ,(X,dX发散・五、设了(x)在(a,b)上连续，且厂(x)》0,乙为厂(x)的奇点：⑴如果lim(右一 x)'、厂(x)=l,其中O簇l<+co,P<王，贝丁、，(X,d/收敛;(2)如果 liUI(乙一、)''f(x)=l,其中 0<1 簇+co.P》1贝丁,(X)dX发散・由于上述判别法在判定许多广义积分的敛散性时比较方便，所以常常被人们首先使 用但在判定一个具体的广义积分的敛散性时，由于事先并不知道该广义枳分是收敛 的还是发散的，数P的选取就带有一定的盲目性，常常出现不是把P选人了就是把P 选小了，因而不能判定的情况•究其原因，就是没有对被枳函数厂(x)在x” +CO或X、 b 一 0时的数量级进行必要的估计、分析，或者不一明确厂(x)的数屋级同广义积分敛散性 的关系.本文将揭示广义积分敛散性同被积函数的数量级之间的关系,研究一些常见初等函 数在X。
十co或x—)b — 0或x 'a时的数量级，从而根据被积函数的数量级直接判定 广又枳分的敛散性,或者根据被积函数的数量级使用极限形式的比较判别法，准确地判 广义积分效散性分析刁、扩曰.二一侧丹一令”.—•、矛、J 了性、一工夕iv)若对任意M>O,lim,则称尹(x)是无穷阶无穷大.为便宁查找和应用，现将一些常见初等函数在x,+co、x,O+等极限过程中的 数量级列表子后.表1常用初等函数的数量级、 _Xee》十Ox,0+其它a>0a阶无穷大a阶无穷小(a笋0)a>0、一 a阶无穷小一 a阶无穷人aox” +气 x 帅一 l+---+abox爪+bix爪一 l+・・・+b:>二｝:一 m阶无穷人〉j(n、m是自然数)(1'，挤分别为分于、分母中系数不为O的最低次项的次数)：=；nl以李为极限! 口犷一 J阶无穷小以奇为极限舔1? 一阶无穷小a>l(a>O.a 今 l)a>l无穷阶无穷大无穷阶无穷小'<钊1一 '阶无穷大ax — 1是1阶无穷小1一了是1阶无穷小loga劣无穷小阶无穷人!无穷小阶无穷A x*l时(a>0,a 铸 1)介于一1和1之间的有界变量}1阶无穷小!，叶晋时5111X1阶无穷小1 一 5111X是2阶无穷小COSX介于一1和1之间的有界变量1 一 eosx 是2阶无穷小'叶晋时1阶无穷小tgXl阶无穷小，叶号时1阶无穷大南充师院学报1985年续表1arCSlllX阶无穷小x时号一 ar "s *nx是告阶无穷小x” ］时arCCOSX 号一 a, "'“'sx 是1阶无穷小雾阶无穷小石arctgx 号一■ a，c' gx 是1阶无穷小1阶无穷小Slix无穷阶无穷人1阶无穷小elix无穷阶无穷大chx 一 1 是 2阶无穷小tlixl — tlix是无穷阶无穷小阶无穷小sh —lx无穷小阶无穷大阶无穷小早}1{}X、1+0 时小穷无阶1一2eh —lx无穷小阶无穷人th-lx阶无穷小劣” 1一 O时无穷小阶无穷•••{1 大这里说明一下，此表上的各函数的数量级是经过实际计算而得出的，限于篇幅，未 能将计算过程列出.4。
厂(x)的数一级与p的选取范围的关系在可判断的范闱内,根据厂(x)的数量级可直接判定广义积分的敛散性，也口 I根据 了(x)的数量级选取适当的P值，再使用极限判别法进行判定.为便于查找和应用,现将非负连续函数厂(x)的广义积分的敛散性同厂(x)的数量级以 及P的选取范围的关系列表于后.南充师院学才民・1985年©设当x，石一时,f(x)是阶数不低子烈;》1)的无穷大量厂，则l：_f(x)_l 1 不,.,、_，八/,,」_几1三几1-一二 '不几“\以一'为、人产一 ',U、、'崛受下〜,z, ' — 0,1、二尤，乡一 0、夏一司一一尹 以一 X又'f(劣)》0(a 簇 x '或“'，2 •当:确时，若函数f(x)与志比较是)阶无穷人量则积分丁：,(x)dx收、发决于y或'“・在论断1中仅考虑了厂(X)是某个确定的正数阶无穷小量的情况,而没有考虑尹(X)是常量或不是无穷小量的情况，也没有考翩X)任击，:>0,二一十00)、二怡一 <(a>O,x,+co)这 样一些阶数不确定的无穷小量的情况.同样，在论断2。
中也没有考虑,(x)是X—')、X %卜(a>)这样一些阶数不确定的无穷大量的情况.本文所列出的定理1和定理2既把厂(x)是常量零和不是无穷小量的情况考虑了进 去,又把厂(x)是阶数不确定的无穷小量或无穷人屋的情况考虑了进去，这就扩犬了用数 量级判定广义积分敛散性的范围.3常用初等函数的教t级为了使叙述简便和统一,下面引入几个术语.设在某一极限过程X,o （a为有限或无限）中,a是1阶无穷小量.I） 若lilnf（劣）二，且对任意＞o,lmi共二0,则称f（二）是无穷小阶无穷一“曰二福'一， 一''''一''一互::a-—f（x） —尸'"一'凡 z “刀J、；II） 若 linif（x）=co,且对任意＞0,::_F （x）_八粉:_、二二*，:、二 11111 〜eses 下一一一"一■ u, 纵幼明、J、弄，夕之2 '刀/J、口 121J穷大III） 若厂（x）不恒为零，且对任意M＞O」、m卿=O,则称矛（x）是无穷阶无穷广义积分效散性分析〜〜几J户一，少~~一 ，表2广义枳分敛散性同被枳函数数量级和P的选取范I韦I的关系f（x,的数” 一丁卜 x）As 一｝一丁:f（x）d 劣-p的选取范围｛敛散性（1,+co）!收敛P的选取范闱｛敛散性常量零（一 00,1）1收敛敛严巫阵1 一阵一呼一阵阶数不低于入（入＞1）的无穷小量（1,入）敛｝（一入,1）收敛1阶无穷小量 散1（—食士…收，阶数不高于从。
＜、＜1）｝占沪｝名声喃伪、｝，U,孟，口二'｛，人J）、竺型噌生 ｛ '｛｛一一非无穷小量的正有界量｛（氏1） ｛发散｛（1）1收敛阶数不高于;（° ，八、八庵卜护豪器劣吴童尸、“一尸一 “…博散 ｛（气''准歇1阶无穷大量阶数不低于产（拼＞1）的无穷大量无穷阶无穷大量｝ （一 1,1,｝发散｛1…发散（一产,1） ｛发散（—co,l） ｛发散｛ （1,十 co｛发散》｝发散P的选取范圉P的选取范圉f（x）dx十d.!，注“切m火注1当厂（x）是阶数介于（夕，幻（OV口＜拼＜1）的无穷大量时，还可扩大为〔一夕,1）,注2当沂（x）是阶数介于（a,均（O＜a＜入＜1）的无穷小量时，还可扩大为（一 ",1）.实际上，当X 一十co时，若f（x）是非无穷小量的正有界量或无穷人量，显然发散，可不必再用什么判别法；丁 “,（/,dX为常义积分,“然收敛，当二一西一 O时，若子（x）不是无穷犬量，则也可以不必再用什么判别法.5. 用数皿级分析法判定正项级数的赦散性（3）第235页上有一个联系正项级数和广义积分敛散性的判别法：哥西积分判别法若f（二）（劣〉是非负的不増函数，则级数艺f（：）与枳分I:习“:,dx同时收敛或同时发散・南一充师院学报1985年例3判断枳分｝1:一丝笋乡dx的敛散性・解、一 1+弋arCt又尤J, 气厂一"人二｛'毕拌J二+｛ 'J0XJ1竺斗些4x显然厂（x）二旦里些孟些）0（0簇x<+二）丫当'一 O+时,f⑴护笠笋或者是一'阶无穷大量'n>l）,或者不是无穷大量（”蕊1）.:.当一 1< '即 *2 时,1当一'》'即・）2时，丁'旦理擎dx收敛；OX燮笋礴:发散.0X又当'二+C0时,f（b二兴黔或者是，阶无穷Jw '例”或者是一：阶无穷大量（刀l时,f '琴孕婆丝dx收敛JIX“”（，时,1:.当 l
设艺•是正项级数，当一+co时，把告当作1阶无穷小量，则[)当"•是阶数不低于久'“〉'，的无穷小量或恒为零时。