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1、平面向量李振麟【知识特点】平面向量作为工具性知识，和三角函数、解析几何、立体几何等知识有着广泛的联系。其中平面向量的共线与垂直，平面向量的运算，平面向量的数量积及其应用，是重点内容，也是高考考察的重点。对于数系的扩大和复数的引入这部分内容，其独立性较强，一般是单独命题，其中复数的概念和复数的运算是重点知识，也是高考考察的重点。【重点关注】1、平面向量共线与垂直的充要条件、平面向量的线性运算、平面向量的数量积及其应用、复数的运算是高考的热点内容，需重点关注。2、平面向量的基本运算与三角函数结合是高考中的重要题型，此类题可以是选择、填空，也可觉得中档的解答题。向量与数列、不等式、圆锥曲线，函数等知
2、识的综合问题。对学生能力的考察有较高的规定。3、本章内容要注意数形结合思想的应用，向量具有“形与数”的两个特点，这就使得向量成了数形结合的桥梁。【地位和作用】向量带有基本知识的特点，是一种工具性和措施性知识。向量有一套优秀的运算系统，由于它提供的向量法、坐标法，使其成为研究高中数学的重要措施。同步，向量又有一套优良的运算系统，几何中有关长度、角度的计算，平行、垂直的鉴定与证明，诸多场合下都可以化归为向量的运算来完毕，教材中正弦定理、余弦定理的证明、定比分点坐标公式的导出，就是这方面典型的例子。这些体现了数学中化归和数形结合的思想。向量“形”、“数”兼备，是数形结合的桥梁。在运用向量知识时，充足
3、运用几何图形直观的特点，而在解决几何问题时，又注意充足运用向量法与坐标法，到处渗入了数形结合的思想。通过度析进两年高考中本章有关知识点的考察汇总，可以看出本章在高考命题中呈现出如下特点：1、考察题型重要是以选择、填空为主，分值为10分左右，基本属容易题；2、重点考察向量的共线与垂直，向量的夹角、模与数量积及复数的运算，注重在知识交汇处命题；3、估计在本旨在此后的高考中，将以向量的运算、向量的夹角、模、数量积、复数的运算为命题热点，将更加注重向量与其她知识的交汇，以考察基本知识、基本技能为主。4.1平面向量【高考目的定位】一、平面向量的概念及其线性运算1、考纲点击（1）理解向量的实际背景；（2）
4、理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；（3）理解向量的几何表达；（4）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；（5）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；（6）理解向量线性运算的性质及其几何意义。2、热点提示（1）重点考察平面向量的有关概念、线性运算及其几何表达；（2）多以选择、填空的形式呈现，有时和其她知识相结合，在知识的交汇点处命题。二、平面向量的基本定理及坐标表达1、考纲点击（1）理解平面向量的基本定理及其意义；（2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表达；（3）会用坐标表达平面向量的加法、减法与数乘运算；（4）理解用坐标表达的平面向量共线的条件。2、热点提示（1
5、）向量的坐标运算及用坐标表达平面向量共线的条件是高考考察的热点，常以选择、填空题的形式浮现，为中、低档题；（2）向量的坐标运算常与三角，解析几何等知识结合，在知识交汇点处命题，以解答题的形式呈现，属中档题。三、平面向量的数量积及平面向量应用举例1、考纲点击（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义；（2）理解平面向量的数量积与向量投影的关系；（3）掌握数量积的坐标体现式，会进行平面向量数量积的运算；（4）能运用数量积表达两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；（5）会用向量措施解决某些简朴的平面几何问题；（6）会用向量措施解决简朴的力学问题与其她某些实际问题。2、热点提示（1）平
6、面向量数量积的运算，模与夹角、平行与垂直问题的高考命题的热点，多以选择、填空题的形式浮现，属中低档题，但灵活多变；（2）可与三角函数、解析几何等知识综合命题，是高考的另一种热点。【考纲知识梳理】一、平面向量的概念及其线性运算1、向量的有关概念及表达措施（1）向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度（或模）零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作单位向量长度等于1个单位的向量平行向量方向相似或相反的非零向量与任历来量平行或共线共线向量平行向量双叫做共线向量相等向量长度相等且方向相似的向量相反向量长度相等且方向相反的向量的相反向量为（2）向量的表达措施字母表达法
7、，如：等；几何表达法：用一条有向线段表达向量。2、向量的线性运算向量运算定义法则（或几何意义）运算律加法求两个向量和的运算（1）互换律：。（2）结合律：减法求与的相反向量的和的运算叫做与的差数乘求实数与向量的积的运算（1）（2）当0时，与的方向相似；当0时, 与的方向相反；当=0时, =注：式子的几何意义为：平行四边形两条对角线的平方和等于它们四条边的平方和。3、向量与向量共线的充要条件为存在唯一一种实数，使注：用向量法证明三点A、B、C共线时，一方面求出，然后证明，即共线即可。二、平面向量的基本定理及坐标表达1、两个向量的夹角（1）定义已知两个非零向量和，作，则AOB=叫做向量与的夹角。（2
8、）范畴向量夹角的范畴是001800，与同向时，夹角=00；与反向时，夹角=1800。（3）向量垂直如果向量与的夹角是900，则与垂直，记作。注：在ABC中，设，则向量与的夹角为ABC与否对的？（答：不对的。求两向量的夹角时，两向量起点应相似，向量与的夹角为-ABC）。2、平面向量基本定理及坐标表达（1）平面向量基本定理定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使。其中，不共线的向量叫做表达这一平面内所有向量的一组基底。（2）平面向量的正交分解把一种向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。（3）平面向量的坐标表达在平面直角坐标系中，分别取与
9、x轴、y轴方向相似的两个单位向量作为基底，对于平面内的一种向量，有且只有一实数x,y,使，把有序数对（x,y）叫做向量的坐标，记作=（x,y）,其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标。设，则向量的坐标（x,y）就是终点A的坐标，即若=（x,y），则A点坐标为（x,y），反之亦成立。（O为坐标原点）3、平面向量的坐标运算（1）加法、减法、数乘运算向量+-坐标（x1,y1）(x2,y2)(x1+x2, y1+ y2)(x1-x2, y1-y2)（x1,y1）（2）向量坐标的求法已知A（x1,y1），B(x2,y2)，则=（x2-x1，y2-y1），即一种向量的坐标等于该向量终点的坐标减去始
10、点的坐标。（3）平面向量共线的坐标表达设=（x1,y1），=(x2,y2)，其中0，则与共线= x1y2- x2y1=0。注：=（x1,y1），=(x2,y2)，则/的充要条件不能写成，由于x2,y2有也许为0，故应表达到x1y2- x2y1=0。【热点难点精析】一、平面向量的概念及其线性运算（一）向量的有关概念有关链接1、着重理解向量如下几种方面：（1）向量的模；（2）向量的方向；（3）向量的几何表达；（4）向量的起点和终点。2、鉴定两个向量的关系时，特别注意如下两种特殊状况：（1）零向量的方向及与其她向量的关系；（2）单位向量的长度及方向。例题解析【例1】给出下列命题：有向线段就是向量，向
11、量就是有向线段；若则ABCD为平行四边形；若若。其中对的命题的个数是 （ ）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3思路解析：对的理解向量的有关概念是解决本题的核心。注意到特殊状况，否认某个命题只要举出一种反倒即可。解答：选B。错，向量可用有向线段表达，但并不是有向线段。错，由于则也许A、B、C、D四点在一条直线上。对的。错，若，则对不共线的向量与，也有/，/，但与不平行。【例2】下列结论中，不对的的是 （ ）（A） 向量，共线与向量/同义；（B） 若向量/，则向量与共线；（C） 若向量=，则向量=；（D） 只要向量，满足|=|，就有=。解答：选D。根据平行向量（或共线向量）定义知A，B均对的；
12、根据向量相等的概念知C对的，D不对的。（二）向量的线性运算有关链接（1）用已知向量来表达别外某些向量是用向量解题的基本功，除运用向量的加、减法、数乘向量外，还应充足运用平面几何的某些定理；（2）在求向量时要尽量转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，运用三角形中位线，相似三角形相应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量求解。注：若A为BC的中点，则例题解析例1在ABC中，。思路解析：解本题要进行向量的加、减法外，尚有数乘向量运算，如在进行计算时要充足运用ABC，ADNABM等条件。解答：由ADEABC，得，又AM是ABC的中线，DE/BC，且A
13、M与DE交于点N，得2在OAB中，延长BA到C，使AC=BA，在OB上取点D，使。DC与OA交于E，设用表达向量及向量。解答：A是BC的中点，即（三）向量的共线问题例设两个非零向量与不共线，（1） 若求证：A、B、D三点共线；（2） 试拟定实数k，使和共线思路解析：（1）由已知求判断和的关系判断A、B、D的关系；（2）应用共线向量的充要条件列方程组解方程组得k值。解答：（1）、共线，又它们有公共点B，A、B、D三点共线（2）和共线，存在实数，使=（），即=。、是不共线的两个非零向量，=，-1=0。=1。注：（1）向量共线的充要条件中要注意当两向量共线量时，一般只有非零向量才干表达与之共线的其她
14、向量，要注意待定系数法的运用和方程思想。（2）证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才干得出三点共线。二、平面向量的基本定理及坐标表达（一）平面向量基本定理及其应用有关链接1、以平面内任意两个不共线的向量为一组基底，该平面内的任意一种向量都可表达到这组基底的线性组合，基底不同，表达也不同；2、对于两个向量，将它们用同一组基底表达，我们可通过度析这两个表达式的关系，来反映与的关系；3、运用已知向量表达未知向量，实质就是运用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或进行数乘运算。注：由于基底向量不共线，因此不能作为一种基底向量。例题解析例如图：在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知试用表达。思路解析：直接用表达有难度，可换一种角度，由表达，进而解方程组可求。解答：措施一：设则将代入得得措施二：设因M，N分别为CD，BC中点，因此因而即（二）平面向量的坐标运算有关链接1、向量的坐标运算重要是运用加、减、数乘运算法则进行，若已
