第二章 流体的运动^动的为体^^从■ Bta M—■ KO・ fifi a*^^MI U B«M*B ft! ■■* ■复杂的心脏流动模式可以利用速度场 中假象粒子的轨迹直观地表示出来此 图使用时间分辨三维相差磁共振成像 技术通过粒子轨迹直观地表示了流入 左心室的血流本章是用这些一般规律去研究适用于 液体和气体流动的较为特殊的规律液 体和气体的各部分之间可以有相对运 动，因而没有固定的形状物体各部分 之间可以有相对运动的特性，称为流动 有流动性来看，液体和气体都是流体流体的运动规律在水利、电力、煤气和石油的输送等工程部门都有广泛的应 用在人体生命活动中，也起着十分重要的作用本章研究流体运动的方法，选用欧拉法，即通过确定流体质元每一时刻在空 间各点的密度和速度来描述流体的运动实际流体是复杂的，具有可压缩性和粘滞性，研究流体的运动时，可分为理 想流体和粘性流体一般流体的运动也是复杂的，根据流体的运动状态可分为层 流（即稳定流动）、湍流和过渡流实际流体及其运动都是复杂的实际流体具有可压缩性和粘滞性；一 般实际流体运动时,流速是空间点（位置）及时间的函数，即v = f（x ,y, z,t ）但在某些问题中可以突出起作用的主要因素，忽略掉作用不大 的次要因素,而使问题简化。
因此,提出流体的理想模型——绝对不 可压缩、完全没有粘滞性的流体,称为理想流体把在流体中,各点 质元流速不随时间改变的流动称为稳定流动（或定常流动）为了形象 地描述流体的运动情况,引入流线和流管；为了便于描述流体在管道中运动，定义了横截面上的体积流量和平均速度等物理概念经分析得出不可压缩的流体、稳定流动时的运动规律——连续性方程可压缩性：流体的体积（或密度）随压力的大小而变化的性质，称为 流体的可压缩性压力增大时，流体的体积减小：压力减小时，流体的体积增大液体 的可压缩性很小；气体流动时，可压缩性可以忽略 粘滞性：流体分层流动时，速度不 同的各流层之间存在着沿分界面的切向摩擦力（即内摩擦力），流 体的这种性质称为流体的粘滞性流速大的一层给流速小的一层以 流体的粘滞性拉力，流速小的一层给流速大的一 层以阻力流线流线（stream line）：在流体中作许多曲线， 曲线上每一点的切线方向和流经该处的流 体质元的速度方向一致，这种曲线称为流 线流管(tube of flow )：称为流管理想流体(ideal fluid)：绝对不可压缩、完全没有粘滞性的流体(理 想化模型)，称为理想流体实际意义：可压缩性和粘滞性都很小的实际流体，可近似看成理想流 体。
稳定流动(steady flow)：在流体中，任意时刻，流体质元流经任一 给定点的速度不随时间改变，这种流动称为稳定流动特点：流线不随时间改变，不同时刻也不相交，流线与流动线(流线 上质元的运动轨迹)相重合流管不随时间改变，不同时刻也不相交， 管内流体不会流出管外，管外流体不会流入管内体积流量(volume rate of flow)：单位时间内通过流管某一横截面 的流体的体积，称为该横截面的体积流量公式：设Dt时间内通过流管某一横截面的流体的体积为DV,则该横 截面的体积流量Q为：单位：米3•秒-1 （m3，s-1）平均流速（mean velocity of flow）：通过流管某一横截面的单位面 积流体的体积,定义为该横截面的平均流速公式：设流管某一横截面的面积为S,通过该横截面的流量为Q则流 体通过该横截面的平均流速v为：r = 1单位：米•秒-1 （m，s-1）方程：设流管两横截面的面积分别为s1和s2；平均流速分别为v1和 v2,则流体通过两横截面的流量Q1和Q2相等，即Q1 =Q2，亦即s1v1 = s2v2 ，此式称为连续性方程连续性方程表明：(1) 不可压缩的流体作稳定流动时，流管的任一横截面积与该处的平 均流速的乘积为一恒量。
2) 同一流管，截面积较大处流速较 小；截面积较小处流速较大3) 流场中，流线密集的地方流速较 大；流线稀疏的地方流速较小流体动力学的基本原理仍然是牛顿运动定律伯努利于1738 年首先 推导出理想流体稳定流动时的动力学基本规律——伯努利方程伯努 利方程实质上是理想流体作稳定流动时的功能原理应用伯努利方程 可以解决很多流体运动中的实际问题，而解题方法有别于固体物体的 运动虹吸管、抽水机、流量计、流速计(皮托管)等，都是伯努利方程的实际应用伯努利方程(Bernoulli equation)：如图所示，理想流体、稳定流动时， 同一流管两截面（S］和s2）处的参 量 横截面积、速度、压强、高 度分别为 S］、V］、P］、h］和 S2、V2、P2、h2，流体的密度为r由功能原理可推导出伯努利方程：或p + fygh =恒量伯努利方程表明：理想流体、稳定流动时，同一流管不同截面处，单位体积流体的动能、势能与该处压强之和都是相等的解题方法：］.在流体中选流管：通常选管壁或流线2.在流管上选截面（或点）的原则：选所求量所在处的截面（或点）和已知条件多的截面（或点）3•高度h的零点(即重力势能零点)位置可任意选，但要便于解题。
4. 近似条件的使用：⑴ 若S2 >> S1，则v2 << J在伯努利方程中v2可近似为零2) 与气体相通处液体的压强可近似看成气体的压强5. 较复杂的题，可选同一流管的多个截面，列联立方程求解JIHI吸浮殴1财「戌内的水灌溉虹吸管：如图所示，粗细均匀的 U 形管，先注满水，一端插入敞开的 容器内的水面下，另一端在容器 外，可从容器中把水抽出来，这种 管子称为虹吸管抽水条件：(a) h2>0,即出水口低于液面.(b) h <10m.抽水机：用管子将水从低处抽到高处的机器一般抽水机,机内空气压强p为Ovp
LLL LU J-U LLL LUh [ _..—v 一—甘 ———^― 液体流速计流速计：由皮托管测速原理制成的测流速的仪器注：画原理图及实物图）液体流速计（皮托管）：如图所示，流速卩二阿，测量出h,可知流速 v气体流速计： 如图所示， 流速气体其中g为重力加速度，「为气体的 密度，r'为液体的密度测量出h, 可知流速V实际流体都不同程度地具有粘滞性气体和一些粘滞性小的液体在小 范围内流动时，粘滞性作为次要因素可忽略不计，而粘滞性很大的流 体、或粘滞性虽小，但由于远距离输送，粘滞性的影响却不能忽略不 计研究在流体中运动的物体受到阻力时，也必须考虑到流体的粘滞 性粘性流体层流时，各层流动的速度不同相邻两层之间存在着摩擦力， 称为内摩擦力（或称为粘滞力），其大小与该处的速度梯度有关，与 流体的粘滞系数有关，服从牛顿粘滞定律流体的流动除层流外，还 有湍流和过渡流的运动形式，流体处于那一种运动形式，由雷诺数决 定不可压缩的、粘滞流体在粗细均匀的水平圆管中层流时，圆管横 截面上速度分布有一定的规律，通过管子的流量遵从泊肃叶定律 不可压缩的粘性流体，稳定流动时，有粘性流体的运动规律，即对理 想流体、稳定流动时的伯努利方程加一个修正项，表示粘性流体在流 动过程中需克服内摩擦力做功，因而有自身的能量损失。
在流体中运 动的物体，由于其表面附着的流体与相临的流体有相对运动，而受到 粘滞阻力球形物体在流体中运动的速度很小时，其受到的粘滞阻力 服从斯托克斯定律，物体在流体中上升或下降时，受到重力、浮力和 到粘滞阻力物体起初为变速运动，最终会达到匀速运动，此时的速 度称为收尾速度内摩擦力(internal friction),粘滞力(viscous force),粘滞性 (viscosity)：流体分层流动时，速度不同的 各流层之间存在着沿分界面的 切向摩擦力，流速大的一层给 流速小的一层以拉力，流速小 的一层给流速大的一层以阻 力这种流体内部的摩擦力， 称为内摩擦力，或粘滞力流 体的这种性质称为流体的粘滞 性S £V*速度梯度(velocity gradie nt)：体中，在垂直于流速方向上，距离的两流层的速度变化量，速度梯度Av 平均速度梯度：x—x+Dx范围内的平均速度梯度为：忑Av _ dv 速度梯度：x附近的速度梯度为： 匚速度梯度的单位：秒-1(S-1)牛顿粘滞定律(Newt on law of viscosity ):粘性流体层流时，相邻两层之间的内摩擦力F与两流层的面积S成正 比，与该处的速度梯度成正比，即H二.dx称为牛顿粘滞定律。
式中比例系数h,称为为流体的粘滞系数粘滞系数(coefficient of viscosity)h：流体粘滞性大小的量度流体具有粘滞性的原因：分子力和分子的无规则热运动滞系数的决定因素：粘滞系数大小由流体本身的性质、流体的温度决 定对液体来说：温度越高，粘滞系数越小；温度越低，粘滞系数越 大对气体来说：温度越高，粘滞系数越大；温度越低，粘滞系数越 小粘滞系数的单位：Pa・s层流(laminar flow)：流体分层流动、各层流动彼此不相混合、只 作相对滑的流动，称为层流湍流(turbule nt flow)：流体不保持分层流动、各层之间相互混合、可出现旋涡的流动，称为湍流过渡流：流体的流动状态不稳定，可能层流，也可能湍流雷诺数(Reynold number)Re :流体的流动状态与流体的密度r、 粘滞系数h、平均流速v,管道半径r有关定义 ：Re称为雷诺数RevlOOO时,流体作层流;Re>1500时,流体作湍流；1000vRevl500 时,流体作过渡流速度分布：不可压缩的、粘滞系数为h的流体，在半径为R的水平圆 管中层流时，若长度为L的流体两端的压强差为P]-P2,则圆管横截 面上速度分布——流速随半径变化的关系为：管壁处：r=R处，vR=0；管中心处： r=0 处，中心流速最大，- 憩)当R, h —定时，vr由定，决®1 -止—厂称为压强梯度。
泊肃叶定律(Poiseuille law):不可压缩的、粘滞系数为h的流体，在半径为 R 的水平圆管中层流时，若长度为 L 的流体两端的压强差为P1-P2，则q=叔®宀)流量： ；称为泊肃叶定律平均流速流阻定义筝，则Rf称为流阻单位：牛顿•秒•米-5(Nsm-5),则流量有： ©粘性流体的运动规律：不可压缩的粘性流体，稳定流动时。