充分条件与必要条件编稿：张希勇审稿：李霞【学习目标】1 •理解充分条件、必要条件、充要条件的定义；2 •会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件；3•会应用充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件表达命题之间的关系•4•能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明【要点梳理】要点一、充分条件与必要条件充要条件的概念符号p=q与p二q的含义若p，则q"为真命题，记作：p=q；若p，则q"为假命题，记作：p=q.充分条件、必要条件与充要条件① 若p=q，称p是q的充分条件，q是p的必要条件•② 如果既有p=q,又有q=p,就记作p=q,这时p是q的充分必要条件，称p是q的充要条件•要点诠释：对p=q的理解：指当p成立时，q—定成立，即由p通过推理可以得到q.① 若p，则q”为真命题；② p是q的充分条件；③ q是p的必要条件以上三种形式均为"p=q"这一逻辑关系的表达要点二、充分条件、必要条件与充要条件的判断命题若p则q”，其条件p①若p=q，但q=p，则②若p=q，但q二p，则③若P二q，且q二p，即④若p=q，且q=p，则从逻辑推理关系看与结论q之间的逻辑关系p是q的充分不必要条件，p是q的必要不充分条件，从集合与集合间的关系看q是p的必要不充分条件;q是p的充分不必要条件;p=q，则p、q互为充要条件;p是q的既不充分也不必要条件•右p:x€A,q:x€B,① 若A^B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件;② 若A是B的真子集，则p是q的充分不必要条件；③ 若A=B，则p、q互为充要条件;④ 若A不是B的子集且B不是A的子集，则p是q的既不充分也不必要条件•要点诠释：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件•判断方法通常按以下步骤进行：① 确定哪是条件，哪是结论；② 尝试用条件推结论，③ 再尝试用结论推条件，④ 最后判断条件是结论的什么条件•要点三、充要条件的证明要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立）要点诠释：对于命题若p，则q”① 如果p是q的充分条件，则原命题若p，则q"与其逆否命题若—q，则—p”为真命题；② 如果p是q的必要条件，则其逆命题若q，则p”与其否命题若—p，则一q”为真命题；③ 如果p是q的充要条件，则四种命题均为真命题.【典型例题】类型一：充分条件、必要条件、充要条件的判定例1.指出下列各题中，p是q的什么条件？(1)p:(x-2)(x-3)=0,q:x=2；⑵p:c=0,q:抛物线2y=axbxc过原点⑶p:一个四边形是矩形，q:四边形的邻边相等【解析】(1)px=2或x=3,q:*=2p-q且q=p,p是q的必要不充分条件；⑵•••p=q且q=p,•p是q的充要条件；⑶•••p—q且q=p，…p是q的既不充分条件也不必要条件【总结升华】判定充要条件的基本方法是定义法，即定条件一一找推式一一下结论有时需要将条件等价转化后再判定•举一反三：【变式1】指出下列各题中，p是q的什么条件？（1）p••乙A=•B，q:厶A和/B是对顶角.2（2）p:x=1，q:x=1；【答案】：p_?q且q—p,p是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件tq:x2=1=x=1或x--1—22—•••X=1=X=1，但X=1=X=1,•••p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件【变式2】判断下列各题中p是q的什么条件.(1) p：a0且b0,q：ab0(2) p：1,q：xy.【答案】(1) p是q的充分不必要条件.ta0且b0时，ab0成立；反之，当ab0时，只要求a、b同号即可••必要性不成立•p是q的既不充分也不必要条件x•/1在y0的条件下才有xy成立•y•充分性不成立，同理必要性也不成立【高清课堂：充分条件与必要条件394804例2】例2.已知p:00【解析】(1) 充分性：若xy=0，那么①x=0,y^C；②x^0,y=0:③x=0,y=0,于是|x+y|=|x|+|y|如果xy>0，即x>0,y>0或xv0,yv0,当x>0,y>0时，|x+y|=x+y=|x|+|y|.当xv0,yv0时，|x+y|=—(x+y)=—x+(—y)=|x|+|y|.总之，当xy>0时，有|x+y|=|x|+|y|.(2) 必要性：由|x+y|=|x|+|y|及x、y€R,得(x+y)2=(|x|+|y|)2,即x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2,|xy|=xy,/•xy>0综上可得|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy>0【总结升华】充要条件的证明关键是根据定义确定哪是已知条件，哪是结论,楚充分性是证明哪一个命题，必要性是证明哪一个命题.判断命题的充要关系有三种方法：(1) 定义法；等价法，即利用A=B与—B=A;B=A与—A=B;D.X3)|x—2|v1”丄m‘是“I•既不充分m垂直于平然后搞清A=B与一A=—B的等价关系，对于条件或结论是不等关系(否定式)的命题，一般运用等价法(2) 利用集合间的包含关系判断，若B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件.举一反三：【变式1】已知a,b,c都是实数，证明ac<0是关于x的方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件•【答案】充分性:若ac<0,则△=b-4ac>0，方程ax2+bx+c=0有两个相异实根，设为xi,X2,c•••ac<0,•••xi&=<0,即xi,X2的符号相反，即方程有一个正根和一个负根a必要性若方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根，设为xi,X2，且xi>0,X2<0,c则XiX2=<0,•ac<0a综上可得ac<0是方程ax+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件__一2【变式2】求关于x的方程ax+2x+i=0至少有一个负的实根的充要条件•【答案】(1) a=0时适合.(2) 当a工0寸，显然方程没有零根，若方程有两异号的实根，则必须满足若方程有两个负的实根，则必须满足=a::0;-：：：0a：=4-4a0-0a--=：0a:=4_4a_0综上知，若方程至少有一个负的实根，则a<1反之，若awl,则方程至少有一个负的实根，因此，关于x的方程ax2+2x+仁0至少有一个负的实根的充要条件是awi类型三：充要条件的应用例4.已知p:A={x€R|x2+ax+iw0},q：B={x€Rix2-3x+2w0},若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.【解析】B={x€R|x2-3x+2W0}={x|iWW2},•••p是q的充分不必要条件，•p=q，即AB,可知A-.或方程x2+ax+i=0的两根要在区间［i,2］内I.'.-0xac2M兰一一<2a2—4<0或-2-，得—20)，命题q：x>7或x<—1,并且p是q的既不充分又不必要条件，则c的取值范围是.【答案】00}，同理，命题q对应的集合B={x|x>7或x<—1}.因为p是q的既不充分又不必要条件，所以A'BW或A不是B的子集且B不是A的子集，所以1—c八1，①或1c--1，②，解①得g2,解②得O—2,J+c兰7J—CW7又c>0,综上所述得0