函数知识要点一、本章知识网络结构：二、知识回忆：（一） 映射与函数1. 映射与一一映射2.函数函数三要素是定义域，对应法那么和值域，而定义域和对应法那么是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法那么二者完全相同的函数才是同一函数.3.反函数反函数的定义设函数〔〕的值域是，根据这个函数中，的关系，用把表示出，得到. 假设对于在中的任何一个值，通过，在中都有唯一的值和它对应，那么，)就表示是自变量，是自变量的函数，这样的函数 ()叫做函数〔〕的反函数，记作,习惯上改写成〔二〕函数的性质⒈函数的单调性定义：对于函数的定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,，⑴假设当时，都有,那么说在这个区间上是增函数；⑵假设当2时，都有,那么说在这个区间上是减函数.假设函数在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有〔严格的〕单调性，这一区间叫做函数的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.2.函数的奇偶性偶函数的定义：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数是偶函数〔〕奇函数的定义：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数。
是奇函数〔〕正确理解奇、偶函数的定义，必须把握好：1、定义域在数轴上关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件；或是定义域上的恒等式2、奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数的图象关于轴成轴对称图形反之亦真因此，也可以利用函数图象的对称性去判断偶函数的奇偶性3、奇函数在对称区间同增同减；偶函数在对称区间增减性相反4、如果是偶函数，那么，反之亦成立假设奇函数在时有意义，那么7. 奇函数，偶函数：⑴偶函数：设为偶函数上一点，那么也是图象上一点.偶函数的判定：两个条件同时满足①定义域一定要关于轴对称，例如：在上不是偶函数.②满足，或，假设时，.⑵奇函数：设为奇函数上一点，那么也是图象上一点.奇函数的判定：两个条件同时满足①定义域一定要关于原点对称，例如：在上不是奇函数.②满足，或，假设时，.8. 对称变换：①y = f〔x〕②y =f〔x〕③y =f〔x〕9. 判断函数单调性〔定义〕作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如：在进行讨论.10. 外层函数的定义域是内层函数的值域.例如：函数f〔x〕= 1+的定义域为A，函数的定义域是B，那么集合A与集合B之间的关系是.解：的值域是的定义域，的值域，故，而A，故.11. 常用变换：①.证：②证：12. ⑴熟悉常用函数图象：例：关于轴对称.关于轴对称.⑵熟悉分式图象：例：定义域，值域→值域前的系数之比.〔三〕指数函数与对数函数指数函数〔且〕的图象和性质图象性质(1)定义域：〔2〕值域：〔3〕过定点，即时，(4) 时，；时，(4) 时，；时，.〔5〕在 上是增函数〔5〕在上是减函数对数函数的图象和性质:对数运算：………………⑴………………⑴换底公式：推论：〔以上,,,,,,,,、、…、，且〕注⑴：当，时，.⑵：当时，取“+〞，当是偶数时且时，，而，故取“—〞.例如：〔因为中而中，且〕⑵〔,〕与互为反函数.当时，的值越大，越靠近轴；当时，那么相反.〔四〕方法总结⑴.相同函数的判定方法：定义域相同且对应法那么相同.⑴对数运算：⑵.函数表达式的求法：①定义法；②换元法；③待定系数法.⑶.反函数的求法：先解,互换、，注明反函数的定义域(即原函数的值域).⑷.函数的定义域的求法：布列使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义等.⑸.函数值域的求法：①配方法(二次或四次)；②“判别式法〞；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法.⑹.单调性的判定法：①设,是所研究区间内任两个自变量，且；②判定与的大小；③作差比拟或作商比拟.⑺.奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算与之间的关系：①为偶函数；为奇函数；②为偶；为奇；③是偶；为奇函数.⑻.图象的作法与平移：①据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线；②利用熟知函数的图象的平移、翻转、伸缩变换；③利用反函数的图象与对称性描绘函数图象.。