函数的奇偶性【学习目标】1. 理解函数的奇偶性定义；2. 会利用图象和定义判断函数的奇偶性；3. 掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用.【要点梳理】要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤1．函数奇偶性的概念偶函数：若对于定义域内的任意一个X,都有f(-x)=f(x),那么f(x)称为偶函数.奇函数：若对于定义域内的任意一个X,都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数.要点诠释：(1) 奇偶性是整体性质；(2) x在定义域中，那么-x在定义域中吗？具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的;(3) f(-x)=f(x)的等价形式为：f(x)一f(一x)=0,=1(f(x),0)，f(x)f(-x)=-f(x)的等价形式为：f(x)+f(—x)二0f力二—1(f(x),0)；f(x)(4) 由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0；(5) 若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0.2. 奇偶函数的图象与性质(1) 如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.(2) 如果一个函数为偶函数，则它的图象关于y轴对称；反之，如果一个函数的图像关于y轴对称，则这个函数是偶函数.3. 用定义判断函数奇偶性的步骤(1) 求函数f(x)的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；(2) 结合函数f(x)的定义域，化简函数f(x)的解析式；(3) 求f(—x)，可根据f(—x)与f(x)之间的关系，判断函数f(x)的奇偶性.若f(—x)=-f(x)，则f(x)是奇函数；若f(—x)=f(x)，则f(x)是偶函数；若f(—x),„f(x)，则f(x)既不是奇函数，也不是偶函数；若f(—x)=f(x)且f(—x)=-f(x)，则f(x)既是奇函数，又是偶函数要点二、判断函数奇偶性的常用方法1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断f（€x）与土f（x）之一是否相等.f（€x）（2）验证法：在判断f（€x）与f（x）的关系时，只需验证f（-x）土f（x）=0及，±1是否成立即f（x）可.（3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（y轴）对称.（4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.（5）分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断•在函数定义域内，对自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断f（€x）与f（x）的关系•首先要特别注意x与-x的范围,然后将它代入相应段的函数表达式中，f（x）与f（€x）对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.要点三、关于函数奇偶性的常见结论奇函数在其对称区间［a,b］和［-b,-a］上具有相同的单调性，即已知f（x）是奇函数，它在区间［a,b］上是增函数（减函数），则f（x）在区间［-b,-a］上也是增函数（减函数）；偶函数在其对称区间［a,b］和［-b.-a］上具有相反的单调性，即已知f（x）是偶函数且在区间［a,b］上是增函数（减函数），则f（x）在区间［-b，-a］上也是减函数（增函数）.【典型例题】类型一、判断函数的奇偶性例1.判断下列函数的奇偶性(1)f(x)，(x+1)(2)f(x)=x2-4|x|+3；(3)f(x)=|x+3|-|x-3|；⑷f(x)，1-x2Ix+21-2##„-x2+x(x…0)⑸f(x)=\Ix2+x(x<0)⑹f(x)，|[g(x)-g(—x)](xeR)思路点拨】利用函数奇偶性的定义进行判断.答案】（1）非奇非偶函数；（2）偶函数；（3）奇函数；（4）奇函数；（5）奇函数；（6）奇函数【解析】⑴•••f（x）的定义域为（-1,1］,不关于原点对称，因此f（x）为非奇非偶函数；⑵对任意xWR,都有-xWR,且f(-x)=x2-4|x|+3=f(x),则f(x)=x2-4|x|+3为偶函数；(3) VxGR,f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x),f(x)为奇函数；(4)1-X2>0-1„x„1x+2<+2x<0且x<-4xe[-1,0)u(0,1]f(X)；2；2=1-x2；x2二-f(x),・・・f(x)为奇函数;x(5) TxWR,f(x)=—x|x|+x・.f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x二-f(x),f(x)为奇函数；(6) f(-x)=2{g(-x)-g[-(-x)]}=2[g(-x)-g(x)]=-f(x),.・.f(x)为奇函数.【总结升华】判定函数奇偶性容易失误是由于没有考虑到函数的定义域•函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件，因此研究函数的奇偶性必须“坚持定义域优先”的原则，即优先研究函数的定义域，否则就会做无用功•如在本例(4)中若不研究定义域，在去掉Ix+21的绝对值符号时就十分麻烦.举一反三：【变式1】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=2x2+2x⑵f(x)=x+1I+Ix-11；⑶f(x)=；X2+2x一1(x‘0)(4)f(x)二<0(x=0).—X2+2x+1(x“0)【答案】(1)奇函数；(2)偶函数；(3)非奇非偶函数；(4)奇函数【解析】(1)f(x)的定义域是R，又f(一x)=(一^=一扫=一几力，f(x)是奇函数.(2)f(x)的定义域是R，又f(一x)=1—x+11+1—x—11=1x-11+1x+11=f(x)，f(x)是偶函数.(3)f(—x)=(—x)2+(—x)+1=x2一x+1.f(—x)<—f(x)且(—x)0则—x<0,・.f(-x)=(-x)2+2(-x)T=x2-2xT=-(-x2+2x+1)=-f(x)任取x<0,则-x〉0f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-f(x)x=0时,f(0)=—f(0)...xWR时，f(—x)=—f(x)f(x)为奇函数.【高清课堂：函数的奇偶性356732例2(1)】【变式2】已知f(x),g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)・g(x)为偶函数.证明：设F(x)=f(x)+g(x),G(x)=f(x)・g(x)则F(-x)二f(-x)+g(-x)二-f(x)-g(x)二_[f(x)+g(x)]=-F(x)G(-x)=f(-x)・g(-x)=-f(x)・[_g(x)]=f(x)・g(x)=G(x).•・f(x)+g(x)为奇函数，f(x)・g(x)为偶函数.【高清课堂：函数的奇偶性356732例2(2)】【变式3】设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是().A.f(x)+|g(x)|是偶函数B.f(x)-|g(x)|是奇函数C.|f(x)|+g(x)是偶函数D.|f(x)|-g(x)是奇函数【答案】A例2.已知函数f(x),x€R,若对于任意实数a,b都有f(a+b)，f(a)+f(b),判断f(x)的奇偶性.【答案】奇函数【解析】因为对于任何实数a,b,都有f(a+b)，f(a)+f(b),可以令a,b为某些特殊值，得出##设a，0,则f(b)，f(0)+f(b),„f(0)，0.又设a，-x,b，x,则f(0)，f(-x)+f(x),„f(x)是奇函数.##【总结升华】判断抽象函数的单调性，可用特殊值赋值法来求解•在这里，由于需要判断f(-x)与f(x)之间的关系，因此需要先求出f(0)的值才行.举一反三:【变式1】已知函数f(x),x€R，若对于任意实数xi,x2，都有f(x+x)+f(x—x)，2f(x)…f(x)，判断函数f(x)的奇偶性.121212【答案】偶函数，0,x1【解析】令x=0,x=x,得f(x)+f(-x)，2f(0)f(x)12f(x)+f(x)，2f(0)f(x)由上两式得：f(x)+f(-x)，f(x)+f(x)，即f(-x)，f(x)„f(x)是偶函数.类型二、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)例3.f(x),g(x)均为奇函数，H(x)€af(x)+bg(x)+2在(0,+„)上的最大值为5,则H(x)在(-„,2)上的最小值为.【答案】-1【解析】考虑到f(x),g(x)均为奇函数，联想到奇函数的定义，不妨寻求H(x)与H(-x)的关系.H(x)+H(-x)=af(x)+bg(x)+2+af(-x)+bg(-x)+2f(-x)€-f(x),g(-x)€-g(x),・•・H(x)+H(-x)€4.••当x笔0时，H(x)€4-H(-x),而—x>0，・H(—x)W5，・H(x)n-1・H(x)在(-„,0)上的最小值为-1.【总结升华】本例很好地利用了奇函数的定义，其实如果仔细观察还可以发现af(x)+bg(x)也是奇函数，从这个思路出发，也可以很好地解决本题.过程如下：x>0时，H(x)的最大值为5,・x>0时af(x)+bg(x)的最大值为3,・x<0时af(x)+bg(x)的最小值为-3,・x<0时，H(x)的最小值为••-3+2=-1・举一反三：•【变式1】已知f(x)=x5+ax3-bx-8,且f(-2)=10,求f(2).【答案】-26【解析】法一：°^°f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=108a-2b=-50f(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26法二：令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数.g(-2)=-g(2).f(-2)+8=-f(2)-8.f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.【总结升华】本题要会对已知式进行变形，得出f(x)+8=x5+ax3-bx为奇函数，这是本题的关键之处,从而问题g(2)便能迎刃而解.例4.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)€x2+3x-1，求f(x)的解析式.x2+3x一1,x>0,【答案】f(x)={o,x€0,—x2+3x+1,x<0.【解析】f(x)是定义在R上的奇函数，€・f(—X)，^/(兀占一当X<0时，—X„0,€f(X)=—/(—X)=—_(一X)2+3(—x)—1_=—X2+3x+1又奇函数f(x)在原点有定义，€•f(0)，0•rX2+3X一1,X„0,.€f(X)，V0,X，0,—x2+3x+1,x<0.【总结升华】若奇函数f(X)在x，0处有意义，则必有f(0)，0，即它的图象必过原点(0,0).举一反三：【高清课堂：函数的奇偶性356732例3】。