目录摘要………………………………………………………………………… 关键词………………………………………………………………………Abstract Keywords 1. 引言 2. 不同型泰勒公式证明 2.1 泰勒公式2.2 带有皮亚诺型余项泰勒公式的证明……………………………2.3带有柯西型余项泰勒公式的证明 2.4 带有拉格朗日余项泰勒公式的证明…………………………………2.5 带有积分型余项泰勒公式的证明……………………………………3. 不同型余项泰勒公应用 3.1. 带有皮亚诺型余项的泰勒公式的应用………………………………3.1.1 求未定式的极限的应用3.1.2 广义积分敛散性判定的应用3.1.3 数项级数和函数项级数敛散性判断的应用3.2 带有柯西型余项的泰勒公式的应用…………………………..3.2.1 初等函数的幂级数的展开式中的应用3.3 带有拉格朗日型余项的泰勒公式的应用……………………………3.3.1 证明中值公式的应用3.3.2 证明等式和不等式的应用3.3.3 近视值的计算的应用3.4 带有积分型余项的泰勒公式的应用3.4.1 定积分计算中的应用4. 结束语 参考文献…………………………………泰勒公式的证明内容摘要：泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，不仅在理论上占有重要 的地位,也在微分学理论中最一般的情形是泰勒公式 , 它建立了函数的增量,自变 量增量与一阶及高阶导数的关系，将一些复杂的函数近似地表示为简单的多项式 函数，这种化繁为简的功能 使它公式的余项有两种：一种是定性的，例如我们可以使用泰勒公式, 佩亚诺型余项； 另一种是定量的，如拉格朗日余项、柯西型余项等。
来很好的解决有关高价函数 导数问题泰勒公式的收缩适度很好的锻炼了学习数学的思维，让我们在学习的 时候有更广的思维空间关键字：泰勒公式 皮亚诺余项 拉格朗日1. 引言泰勒公式是数学分析中一个重要的内容，微分学理论中最一般的情形是泰勒公式，它建立了函数的增量，自变量增量与一阶及高 阶导数的关系，将一些复杂的函数近似地表示为简单的多项式函 数，这种化繁为简的功能使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆我们可以使用泰勒公式，来很好的解决某些问题，如求某些极限，确定无穷小的阶，证明等式和不等式，判断敛散性以及解决中值问题等本文着重论述泰勒公式在极限、近似、积分运算以及 中值问题这四个方面的具体应用方法2. 泰勒公式的证明2.1 泰勒公式我们在学习导数和微分概念时已经知道，如果函数 f 在点 x 可导，则有f (x)=f (x0)+八x0)( x - x0)+o( x - x0)即在点x附近，用一次多项式f (x ) + f '(x )(x-x )逼近函数f (x)时，其误差为0 0 0 0o(x-x )的高阶无穷小量然而在很多场合，取一次多项式逼近是不够的，往往需0要用二次或高于二次的多项式去逼近，并要求误差为o((x-x )n),其中n为多项 0式的次数，为此，我们考察任一n次多项式。
p (x)二 a + a (x — x ) + a (x — x )2 +... + a (x — x )n. ( 1) n 0 1 0 2 0 n 0+f (n)(x0) n!(x - x )n0逐次求它的点 x 处的各阶导数，得到0p (x ) = a ,p (x ) = a ,p''(x ) = 2!a p(n)(x ) = n!a ,,n 0 0 n 0 1 n 0 2 n 0 n即a = p (x ), a = pn(x), a =卩化)a =仔吧) 0 n 0 1 1! 2 2! n n !由此可见，多项式p (x)的各项系数由其点x的各阶导数值所唯一确定n0对于一般的函数f，设它在点x存在直到n阶的导数由这些导数构造一个n次0多项式2)T (x) = f (x ) + f "x°)(x- x ) + f "x°)(x- x )2 +... n 0 1! 0 2! 0称为函数f 在点x0处的泰勒多项式n (x)的各项系数晋^k = 口…,n)称为泰勒系数由上面对多项式系数的讨论，易知f (x)与其泰勒多项式T (x)在点x有相 n0同的函数值和相同的直至n阶导数值，即f(k)(x )=T(k)(x ) ,k=0 ， 1， 2，。
n (3)0 n 0下面将要证明f (x)-T (x) = o((x-x )n)，即以(2)式所示的泰勒多项式逼近f (x) n0时，其误差为关于(x-x )n的高阶无穷小量02.2 带有皮亚诺型余项的泰勒公式的证明 定理1若函数f在点x存在直至n阶导数，则有f (x) = T (x) + o((x-x )n)，即0 n 0f(x)= f(x0)+f'(x0)(x-x0)+2!( x - x )2 + ...0+n!(x - x )n + o((x - x )n ) 00证设R (x)= f(x)+T(x),Q (x)=(x-x )n n n n 0现在只要证limXT XfR (x)—n Q (x)n由关系式(3)可知R (X ) = R' (X ) = ... = R(n)(x ) = 0 n 0 n 0 n 0并易知Q (X ) = Q' (X ) = ... = Q(n) (X ) = 0.Q(n) (X ) = n!. n 0 n 0 n 0 n 0因为f (n)(x )存在，所以在点x的某领域U(x )内f存在n-1阶导函数f (X) •于是, 0 0 0当x eU(x )且x T x，允许连接使用洛必达法则n-1次，得到00R (x) R' (x) R( n-1)( x)lim n — lim n =…=lim n—xT x0 Q ( x) xT x0 Q' (x)xTx0 Q(n-1)(x)0 n 0 n 0 n= limxTx0f(n-1)(x)- f(n-1)(x )- f(n)(x )(x-x ) 0 0 9-n(n 一 1)TW2(x 一 x )0=n!lim [xTx0f("-1)( X) — f(n-1)( X ) 9—X - X0- f(n)(x0)]定理所证的(4)式称为函数f在点x处的泰勒公式，R (x) — f (x)-T (x)称为泰 0 n n勒公式的余项，形如o((x-x )n)的余项称为皮亚诺型余项。
所以(4)又称带有皮 0亚诺型余项的泰勒公式2.3 带有柯西型余项的泰勒公式的证明定理2 设函数f和g满足(i) 在［a,b］上连续；(ii) 在(a,b)内可导;(iii) f'(x)和g'(x)不同时为零；(iv) g(a)丰 g(b),则存在g e (a, b),使得f'G) = f (b) - f (a) g '(©) g (b) - g (a)证 作辅助函数F (x) = f (x) - f (a)-f (b) - f (a) g (b) - g (a)(g(x) - g(a))易见F在［a,b］上满足罗尔定理条件，故存在gw (a, b)，使得g '(g) = 0f (b) - f (a) g (b) - g (a)2.4 带有拉格朗日型余项的泰勒公式的证明若函数f在［a,b］上存在直至n阶的连续导函数，在(a, b)内存在(n+1)阶导 数，则对任意给定的x, x0 e ［a, b］，至少存在一点gw (a, b),使得f (x) = f (x ) + f'(x )(x - x ) + f ［：0)(x - x )2 + ...0 0 0 2! 02! ( 5),f(n)(x )( ) , f(n+D(g )( ),+ x — x ) n + (x — x ) n+1n! 0 (n +1)! 0证 作辅助函数f (n) (t)F (t) = f (x) -［ f (t) + f '(t)(x -1) +...+ (x -1) n,n!G (t) = (x -1) n+1所证明的(0)式即为F(x ) = G(x )或竺二 f (n+1)(g )o (n +1)! o G(x ) (n +1)!0不妨设x0
且0, 0,F '(t) =-( x - t) nn!G'(t) = -(n + 1)(x -1)n 丰 0又因 F( x )=G( x ) =0，所以由柯西中值定理证明得F(x ) F(x )-F(x) F'(g) f(n+i)(g)0 = 1G(x ) G(x )-G(x) G'(g) (n +1)!00其中 g e (x0,x) u (a,b) (5)式同样称为泰勒公式，它的余项为R (x) f (x) -T (x)nnf (n+1)(g) (x - x )n+1(n +1)! o0<9 <1),g = x +9(x — x )00称为拉格朗日型余项，所以(5)式又称为带拉格朗日型余项的泰勒公式2.5 带有积分型余项的泰勒公式的证明设函数f (x)在闭区间I上有n+1阶连续可导，a , x e I,则f(x) f(a)+ f '(a)(x-a)+f ''(a)2!(x - a)2 + ...f(n)(a)n!(x -a)n +(x -a) n +1n!j 1(1— t) nf (n+1) (a +1 (x — a ))dt0证明 记t的函数Q(t) = f (a +1(x — a))•逐次对t求导数，得9 '(t) = f'(a +1 (x — a))(x — a)0 ''(t) = f'(a +1 (x — a))(x — a )29(k) (t) f (k)(a +t(x—a))(x—a)k设函数9 (t)在［0,1］上有n+1阶连续可导，根据牛顿——莱布尼兹公式，有9(1) 9(0)+j 19'(t)dt0对上式做部分积分n次，得出：© (t) = f (a +1 (x 一 a))e(i)=©(o)-f ® '(t)d(i—t)=© (0) +©' (0) + f1 ©''(t )(1 一 t) dt0=©(0) +©'(0) -2f1© (t)d(1-1)220=©(0) +©'(0) + © (0) + ... + ©(n)(0) + 丄 f1©(n+1)(t)d(1-t)ndt2! n ! n! 0将(0)式中的 t 分别取 1，0 带入(0)式中得：f (x) = f (a) + f'(a)(x - a) + (x - a )2 + …f (n)(a) (x - a)n+1 1+ (x — a)n f (1— t)nf(n-1) (a +1(x — a))dtn! n! 03. 不同型泰勒公式的应用3.1 带有皮亚诺型余项的泰勒公式的应用3.1.1 求。