[中国高考数学母题一千题](第0001号)愿与您共建真实的中国高考数学母题(杨培明:13965261699)长方体的模型功能之长方体中的一类特殊四棱锥模型解题法之十一 四棱锥是高考试题的重要载体模型,其中,底面与一侧面垂直,且底面竖直放置时的四棱锥,倍受高考命题者的特晴睐.[母题结构]:在长方体ABCD-A1B1C1D1中,构造底面与一侧面垂直,且底面竖直放置时的四棱锥.[母题解析]:①当底面为矩形(或直角梯形),且与其垂直的侧面为任意三角形时,如四棱锥B-DPQD1;②当底面为矩形(或直角梯形),且与其垂直的侧面为直角三角形时,如四棱锥D-ACC1A1. 1.基本模型① 子题类型Ⅰ:(2015年天津高考试题)如图,已知AA1⊥平面ABC,BB1∥AA1,AB=AC=3,BC=2,AA1=,BB1=2,点E和F分别为BC和A1C的中点.(Ⅰ)求证:EF∥平面A1B1BA;(Ⅱ)求证:平面AEA1⊥平面BCB1;(Ⅲ)求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小.[解析]:在长方体中作出几何体,如图:(Ⅰ)由点E和F分别为BC和A1C的中点EF∥BA1,又EF平面A1B1BA,BA1平面A1B1BAEF∥平面A1B1BA; (Ⅱ)由AA1⊥平面ABCAA1⊥AE,又BB1∥AA1AE⊥BB1;由AB=ACAE⊥BCAE⊥平面BCB1平面AEA1⊥平面BCB1;(Ⅲ)取B1C的中点M,则EM∥BB1,且EM=BB1EM∥AA1,且EM=AA1A1M∥AEA1M⊥平面BCB1∠A1B1M是直线A1B1与平面BCB1所成的角;由AB=AC=3,BC=2,AA1=,BB1=2A1B12=(BB1-AA1)2+AB2=16,B1C2=BC2+BB12=48A1B1=4,B1C=4B1M=2cos∠A1B1M==∠A1B1M=直线A1B1与平面BCB1所成角的大小为.[点评]:在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD⊥侧面PAB,底面ABCD为矩形(或直角梯形),且竖直放置,ΔPAB不是直角三角形时,我们称为基本模型①;对基本模型①,本题中的放置方法具有一般性. 2.基本模型② 子题类型Ⅱ:(2009年重庆高考试题)如图,在四棱锥S-ABCD中,AD∥BC且AD⊥CD,平面CSD⊥平面ABCD,CS⊥DS,CS=2AD=2,E为BS的中点,CE=,AS=.求:(Ⅰ)点A到平面BCS的距离;(Ⅱ)二面角E-CD-A的大小.[解析]:在长方体中作出四棱锥S-ABCD,如图:(Ⅰ)AD∥BCAD∥平面BCS点A到平面BCS的距离=点D到平面BCS的距离;由AD⊥CD,平面CSD⊥平面ABCDAD⊥平面CSD,又AD∥BCBC⊥平面CSDBC⊥SD,又CS⊥DSDS⊥平面BCS点D到平面BCS的距离=DS;由AD=1,AS=DS=点A到平面BCS的距离=;(Ⅱ)以S为坐标原点,射线SD、SC分别为x、y轴正方向,建立空间直角坐标系,则A(,1,0),B(0,2,2),C(0,2,0),D(,0,0)E(0,1,1);设平面ECD的法向量m=(x,y,z),由m=0,m=0y-z=0,x-y=0,令y=1得:m=(,1,1);同理可得平面ACD的法向量n=(,1,0)cos==二面角E-CD-A的大小为.[点评]:在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD⊥侧面PAB,底面ABCD为矩形(或直角梯形),且竖直放置,∠APB是直角三角形时,我们称为基本模型②;对基本模型②,本题中的放置方法具有一般性. 3.特殊模型 子题类型Ⅲ:(2015年福建高考试题)如图,在几何体ABCDE中,四边形ABCD是矩形,AB⊥平面BEC,BE⊥EC,AB=BE=EC=2,G,F分别是线段BE,DC的中点.(Ⅰ)求证:GF∥平面ADE;(Ⅱ)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值.[解析]:(Ⅰ)在长方体中作出几何体ABCDE,并以E为坐标原点,射线EB、EC分别为x、y轴正方向,建立空间直角坐标系,如图,则A(2,0,2),B(2,0,0),C(0,2,0),D(0,2,2)F(0,2,1),G(1,0,0);由=(-1,2,1),取AE的中点M(1,0,1),则=(-1,2,1)GF∥MDGF∥平面ADE;(Ⅱ)设平面AEF的法向量m=(x,y,z),由m=0,m=0x+z=0,2y+z=0,令y=1得:m=(2,1,-2),同理可得平面BEC的法向量n=(0,0,1)cos=-平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值=.[点评]:在基本模型②中,当底面ABCD为矩形,且AD=PA=PB,∠APB是直角三角形时,其母体为正方体. 4.子题系列:1.(2009年浙江高考试题)如图,DC⊥平面ABC,EB∥DC,AC=BC=BE=2DC=2,∠ACB=1200,P,Q分别为AE,AB的中点.(Ⅰ)证明:PQ∥平面ACD;(Ⅱ)求AD与平面ABE所成角的正弦值.2.(2007年四川高考试题)如图,平面PCBM⊥平面ABC,∠PCB=900,PM∥BC,直线AM与直线PC所成的角为600,又AC=1,BC=2PM=2,∠ACB=900.(Ⅰ)求证:AC⊥BM; (Ⅱ)求二面角M-AB-C的正切值;(Ⅲ)求多面体PMABC的体积.3.(2012年江西高考试题)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,E、F是线段AB上的两点,且DE⊥AB,CF⊥AB,AB=12,AD=5,BC=4,DE=4.现将△ADE,△CFB分别沿DE,CF折起,使A,B两点重合与点G,得到多面体CDEFG.(Ⅰ)求证:平面DEG⊥平面CFG;(Ⅱ)求多面体CDEFG的体积.4.(2007年浙江高考试题)在如图所示的几何体中,EA⊥平面ABC,DB⊥平面ABC,AC⊥BC,且AC=BC=BD=2AE,M是AB的中点.(Ⅰ)求证:CM⊥EM;(Ⅱ)求DE与平面EMC所成的角的正切值. 5.子题详解:1.解:(Ⅰ)在长方体中作出几何体,如图,由P,Q分别为AE,AB的中点PQ∥BE,又EB∥DCPQ∥DCPQ∥平面ACD;(Ⅱ)由DC⊥平面ABCPQ⊥平面ABCPQ⊥CQ,又CQ⊥ABCQ⊥平面ABE;由PQ∥DC,且PQ=DCDP∥CQDP⊥平面ABE∠DAP是AD与平面ABE所成的角;由DP=CQ=1,AD=sin∠DAP=.2.解:(Ⅰ)由平面PCBM⊥平面ABC,∠PCB=900PC⊥平面ABCPC⊥AC;由∠ACB=900AC⊥BCAC⊥平面PCBMAC⊥BM;(Ⅱ)作MN⊥BC于N,则MN∥PC∠AMN是直线AM与直线PC所成的角∠AMN=600MN=二面角M-AB-C的正切值=;(Ⅲ)多面体PMABC的体积=.3.解:(Ⅰ)在长方体中作出几何体,如图,由DE⊥AB,CF⊥AB,AB=12,AD=5,BC=4,DE=4GE=AE=3,EF=5,GF=BF=4EG⊥FG;由CF⊥GF,CF⊥EFCF⊥平面GEFCF⊥GEEG⊥平面CFG平面DEG⊥平面CFG;(Ⅱ)作GH⊥EF于H,则GH⊥平面CDEF,且GH=,又矩形CDEF的面积S=20多面体CDEFG的体积V=16.4.解:(Ⅰ)在长方体中作出几何体,如图,由EA⊥平面ABCEA⊥CM,又AC=BC,M是AB的中点CM⊥ABCM⊥平面ABDECM⊥EM;(Ⅱ)设AE=1,则AC=BC=BD=2CM=AM=BM=EM2=3,DM2=6,DE=9,CD2=8DM⊥EM,DM⊥CMDM⊥平面EMC∠DEM是DE与平面EMC所成的角tan∠DEM=.。