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1、 1 2 1 2解析几何三角形面积最值问题未命名一、解答题1（2019 黑龙江哈尔滨市 哈师大附中高三开学考试（文） 已知A(0, -2),椭圆x 2 y 2E : + =1(a b 0) a 2 b 2O为坐标原点.的离心率326, F 是椭圆 E 的右焦点,直线 AF 的斜率为 ,3（1）求椭圆的方程；（2）设过点 A的动直线l与椭圆 E 相交于 P ,Q两点,当DOPQ的面积最大时,求直线l的方程.【答案】（1）x2 y 2+ =18 2；（2） y =3 3x -2 或 y =- x -2 2 2【解析】试题分析：（1）由离心率与斜率可求得 a,b,c.(2) 设弦长公式，点到距离公式
2、，求得三角形面积l : y =kx -2，与椭圆组方程组，由试题解析：(1)设F (c,0)，由条件知，2 6= c = 6 ， c 3又c 3= a =2 2, b a 22=2 ，故椭圆 E 的方程为x 2 y 2+ =18 2；(2)当l x轴时，不合题意，故可设l : y =kx -2， y =kx -2, x2 y 2 + =1,8 2 (1+4k2)x2-16 kx +8 =0，D=16 (4k2-1)0k2 14，设P (x, y )，Q(x, y1 1 2 2)，16 k 8x +x = , x x =1 +4 k 2 1 +4 k2，试卷第 1 页，总 16 页t +2 k
3、PQ = 1 +k2(x +x1 2)2-4 x x = 1 24 2 1 +k 2 4k 2 -14 k 2 +1又点O到直线l的距离d =21 +k2，OPQ 的面积 SDOPQ=1 4 2 4 k 2 -1 PQ d =2 4k 2 +1，设 4k2-1 =t，则t 0， SDOPQ=4 2t 4 2 = 2t 2 +2 2t，当且仅当t =2t t = 23，即 k = 时等号成立， 2满足D0，当 k =32时 OPQ 的面积取得最大值 2，此时直线l的方程为y =3 3x -2 或 y =- x -2 . 2 2【点睛】弦长公式：（已知直线上的两点距离）设直线l : y =kx +
4、m，l上两点A (x, y ),B(x,y1 1 22)，所以 AB = 1 +k2x -x1 21 或 AB = 1 + y -y1 22（2020 江苏高二单元测试）已知椭圆C：x 2 y 2+ =1(a b 0) a 2 b 21 的离心率为 ，2以椭圆长、短轴四个端点为顶点为四边形的面积为 4 3 .（）求椭圆 C 的方程；（）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为 A 、 B ，当动点 M 在定直线 x =4 上运 动时，直线 AM、BM 分别交椭圆于两点 P 、 Q ，求四边形 APBQ 面积的最大值.试卷第 2 页，总 16 页t 【答案】（）x 2 y 2+ =14 3；（）6.【
5、分析】（）由 离心率为12，以椭圆长、短轴四个端点为顶点为四边形的面积为4 3 ，结合ce = , aa2=b2+c2,列方程组求得 a, b 的值，即可求出椭圆 C 的方程；（）点M (4,t)，直线 AM 的方程y =t6(x+2)x 2 y 2代入椭圆方程 + =14 3，得(27+t2)x2+4t2x +4t2-108 =0，利用韦达定理解出 P 点坐标，同理可求得Q 点的坐标，利用三角形面积公式将四边形面积表示为 t 的函数，利用换元法结合函数单调性 求解即可.【详解】（）由题设知， a =2c, 2 ab =4 3，又 a 2 =b 2 +c 2 ，解得 a =2, b =3, c
6、 =1 ，故椭圆C的方程为x 2 y 2+ =1 .4 3（）由于对称性，可令点M (4,t)，其中 t 0 .将直线 AM 的方程y = (x+2) 6x 2 y 2代入椭圆方程 + =14 3，得(27+t2)x2+4t2x +4t2-108 =0，由 x x = A P4t 2 -108 27 +t 2， x =-2 A得 x =P2t 2 -54 27 +t 2，则y =P18t27 +t2.再将直线 BM 的方程y =t2(x-2)x 2 y 2代入椭圆方程 + =14 3，得(3+t2)x2-4t2x -4t2-12 =0，由 x x = B Q4t 2 -12 3 +t 2， x
7、 =2 得 x = B Q2t 2 -6 3 +t 2，则y =Q-6t3 +t2.故四边形 APBQ 的面积为 S =12AB y -y =2 y -y = P Q P Q218t27 +t2+6t3 +t2试卷第 3 页，总 16 页= ( 2 2 =48t (9+t2) (27+t2)(3+t248t (9+t2) )(9+t2)2+12t2)=489 +t 2 12t +t 9 +t2.由于 l =9 +tt2612 12 ，且 l+ 在 6, +)上单调递增，故 l+ 8l l，从而，有S =4812l+l6.当且仅当 l=6，即 t =3，也就是点 M 的坐标为(4,3)时，四边形
8、 APBQ 的面积取最大值 6.注:本题也可先证明”动直线 PQ 恒过椭圆的右焦点F (0,1)”,再将直线PQ 的方程x =ty +1(这里t R)代入椭圆方程x 2 y 2+ =1 ,4 3整理得(3t2+4 )y2+6ty -9 =0,然后给出面积表达式 S =2 y -yP Q=2(y+yP Q)2-4 y yP Q=248t (3t2+3) (3t2+4)2,令m =t2+1 1,则S =249 m2m +6 m +1=24m19 m +m+66,当且仅当 l=6即 t =3时,S =6max.x 2 y 23（2020 宁夏银川一中高二期中（理） 已知椭圆 M : + =1 a b
9、 0a 2 b2)的一个 2 焦点与短轴的两端点组成一个正三角形的三个顶点，且椭圆经过点 2, . （1）求椭圆 M 的标准方程；（2）直线 l：x =ky +n与椭圆 M 相交于 A，B 两点，且以线段 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 C，求 ABC 面积的最大值.【答案】（1）x 24+y2=1；（2）1625.【分析】（1）首先根据题意得到2b =a 2 ，再根据椭圆经过点 2, ，即可得到答案. 试卷第 4 页，总 16 页2 D ,0l 5 2 2 （2）首先设直线 l的方程为x =ky +nx2 +y =1，联立 4 ，得到 x =ky +n(k2+4 )y2+2 kny +n2-4 =0，根据 CA CB =06 得到所以直线 恒过点 ，再计算ABC面积的最大值即可.【详解】（1）设椭圆的上下顶点为B (0,b)，B (0,-b) 1 2，左焦点为F (-c,0) 1，则B B F1 2是正三角形，所以 2b = c2+b2=a，x 2 y 2则椭圆方程为 + =1 .4b2 b 2 2 2 1
