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1、第七章 对称性与守恒定律* 7.1 守恒量的平均值和测量取值几率 力学量平均值随时间变化的方程在本征态中，如果测量力学量，则每时刻都可测得拟定值。而在任意状态中测量，力学量一般不显含时间，则在每一时刻测量成果一般没有拟定值。但可以按的本征态系做完全展开，因此测量本征值的几率是拟定的，有拟定的分布。这样，每一时刻在任意态下，力学量有拟定的平均值。在定态下，不显含时间的力学量算符的平均值不随时间变化。：t时刻的任意状态（归一化的）其中和都也许是时间的函数，则也可以是时间的函数。量子力学中，讨论力学量随时间的变化是通过讨论力学量的平均值随时间的变化来反映的。 运用含时薛定谔方程 运用的厄密性即 力学
2、量平均值随时间变化的方程。 守恒量 定义：在任意状态下，力学量的平均值不随时间变化，即为与时间无关的常量。数学： （与t无关的常量） 力学量守恒的条件阐明不显含时间（）（不显含， 而不一定为0）不特别声明，一般，如， 即与对易，也可以作为守恒量的定义 性质特点 体系在任意状态下，平均值不随时间变化。这是守恒量物理上的定义。 体系在任意状态下，测量力学量（不显含）取值的几率分布不随时间变化。证明：为守恒量，由于，因此、有共同完全本征函数系，则有和对任意态 为了求随时间的变化 （） 运用的厄密性有关的一阶微分方程，其解为： 与t无关。 问题：量子体系的守恒量一定取拟定值吗？不一定（一定取拟定的平均
3、值）量子体系的守恒量并不一定取拟定值，即体系的状态并不一定就是某个守恒量的本征态。若初始时刻，体系不处在守恒量的本征态，则此后任意时刻也不会处在的本征态，即守恒量不取拟定值，违者违背性质。若初始时刻体系处在守恒量的本征态，则此后任何时刻它将处在的属于同一本征值的本征态中，否则也违背性质。这时守恒量的量子数称为好量子数，就是与能量同步有拟定值的力学量的量子数。 守恒定律举例阐明 不显含，则， 自由粒子的动量（守恒）， ， ，因此动量是守恒量由于，量子力学中的动量守恒定律 中心力场运动粒子的角动量（，） （守恒），中心势场，对坐标原点各向同性， ， 不显含时间可以证明，即角动量是守恒量物理理解：在
4、绕原点转动变换下，如同样，也体现为一种标量，即不变化。而势也不变化，于是在绕原点转动变换下保持不变，可以证明，这时轨道角动量和是守恒量，即数学理解：如对，将与采用球坐标的表述。球极坐标下： 只对角变量作用，r与独立的函数与r的函数对易， 与r无关因此同理，即 量子力学中的角动量守恒定律如库仑场中的电子，氢原子 哈密顿不显含时间体系的能量（守恒） ，即能量是守恒量因此，即量子力学中的能量守恒定律如一维无限深势阱的粒子，线性谐振子等等 哈密顿对空间反演不变时的宇称（守恒）已学过，宇称指波函数在空间反演（）下的奇偶性，偶宇称，奇宇称把这种对波函数的空间反演运算用宇称算符表达。宇称算符： 对波函数的空
5、间反演运算宇称本征值：即算符的本征值为1 =1因此算符的本征值为1， 1 偶宇称 -1 奇宇称宇称守恒：证明：如果，即哈密顿量在空间反演下保持不变，则体系宇称是守恒量即证明： 0 因此 问题：宇称守恒的状态，宇称一定有拟定值（即处在宇称本征态）吗？不一定。（看初态）例2.7.1 粒子在势场中运动，求坐标算符和动量算符对时间的微商。解 粒子的，将代入（2.7.5）式，运用，可得 （2.7.6）以乘上式两边，即有 （2.7.7）这表白，典型力学的动量体现式的量子力学中以算符的形式浮现，坐标算符对时间的微商就是速度算符。同理，将代入（2.7.5）式，并运用（见习题2.2.7），即有 （2.7.8）式
6、中是作用力算符。这表白，典型力学的运动方程在量子力学中将以算符的形式浮现，动量算符对时间的微商正好等于力算符。将式（2.7.7）和（2.7.8）式对态求平均，即得坐标平均值与动量平均值的运动方程式 ， （2.7.9）将（2.7.9）式与（2.7.10）式联立可得 （2.7.10）（2.7.11）式称为厄任费斯特（Ehrenfest）方程，由于与年顿方程相似又称为“量子力学中的年顿方程”，但它与典型力学的年顿方程存在本质的区别：（1） 在典型力学中，给出的是坐标的加速度；在量子力学中，由于每一时刻一般没有拟定值，给出的是坐标平均值的加速度。（2） 在典型力学中，位于的粒子所受的力仅决定于该点的势
7、场，并且受力的大小与粒子的运动状态无关；在量子力学中，起作用的是力的平均值 （2.7.11）它是波及整个势场的作用，并且与粒子所处的状态有关。总之，典型力学中有关力学量之间的关系式，在量子力学中将以平均值或算符的形式浮现。2.7.2 守恒量及其性质1 守恒量的定义在任意态中，如果体系某一力学量的平均值对时间的微商为零，即 （2.7.17）这表白，守恒量取值的概率分布为不随时间而变。（2）性质二：若初始时刻体系不处在守恒量的本征态，则此后任何时刻体系也不会处在本征态，即守恒量不取拟定值，否则便会违背性质一；若初始时刻体系处在守恒量的本征态，则此后任何时刻它都处在的同一本征值的本征态中，否则也违背
8、性质一。例如，在一维无限深势阱中运动的粒子，由于不显含，能量是守恒量。若粒子的初始状态不是能量的本征态，而是多种能量本征态的线性叠加态，则此后任何时刻也如此。又如自由粒子的动量是守恒量，若自由粒子的初始状态不是动量的本征态（平面波），而是多种波数的平面波的线性叠加态（波包），则此后任何时刻也如此。与守恒量相应的量子数，称为好量子数，可以用它作为描述体系状态的特性参数。当体系处在守恒量的本征态时，便可用好量子数来标记这个态。在解决实际问题时，总是从所有的守恒量中选出一组力学量构成完全集。由于表达守恒量的算符必与对易，因此这个共同本征态也是能量的本征态（定态）。例如，对于氢原子（见4.2节）一般选
9、择，和作为力学量的完全集，定态就是，和同步有拟定值的状态，描述它们的主量子数，角量子数和磁量子数都是好量子数。换句话说，好量子数就是与能量同步有拟定值的力学量的量子数。（3）性质三：若体系有互相不对易的守恒量和，则体系的能级一般是简并的。证 由为守恒量，有，故与有共同的本征态，它们的本征值方程为 （2.7.18） （2.7.19）又由为守恒量，有，则 （2.7.20）可见与均为的本征值为的本征态。另一方面，故有（除个别例外） （2.7.21）即不是的本征态。由此式可见，与是两个不同的态。即然两个不同的态具有相似的能级，可见能级是简并的。例如，对于氢原子，与都是守恒量，但，故氢原子的能级是简并的
10、。固然，氢原子的基本是一种例外。尽管，但使氢原子的基态能级并不简并。由于为常数，任何微分算符作用于均为零，这是一种非常特殊的例子。4.奇宇称算符和偶宇称算符（1）定义：在空间反演下，若算符，则称为奇宇称算符；在空间反演下，若算符，则称为偶宇称算符动量算符在空间反演下，有，称为奇宇称算符（也称具有奇宇称）。动能算符在空间反演下，有，称为偶宇称算符（也称具有偶宇称）。（2）哈密顿算符具有拟定宇称的条件。动能算符具有偶宇称，如果势能算符也具有偶宇称，即，则哈密顿算符具有偶宇称。反之，如果势能算符具有奇宇称，则哈密顿算符没有拟定的宇称。（3）体系宇称守恒的条件。若体系的哈密顿算符具有偶宇称（即空间反演
11、不变性），即 （2.7.33）则体系的宇称守恒。证 设为任意波函数，运用（2.7.33）式，可得由的任意性，便有，即；同步不显含，故宇称守恒。正如守恒量的性质二所指出的：若初始时刻体系处在宇称的本征态（即有拟定的宇称），则此后任何时刻体系的状态将具有与初态相似的宇称；若初始时刻体系不处在宇称的本征态（即没有拟定的宇称），则此后任何时刻体系的状态也没有拟定的宇称。总之，宇称守恒使得初态的宇称性质不随时间而变。5.能量本征态具有拟定守称的条件当是偶宇称算符，且能量本征值无简并，则相应的能量本征态具有拟定的宇称。证 由于具有偶宇称的体系宇称守恒，故。对于能量本征态，有 （2.7.34） （2.7.3
12、5）即与都是的属于的本征态。在能量无简并的性况下，与只能相差一种常数因子 （2.7.36）若能量本征态也是宇称的本征态，因而能量本征态具有拟定的宇称。若能量本征值有简并，尽管与是的属于的本征态，但与不是同一种态，因此，不是的本征态，也就没有拟定的宇称了（见例2.7.2）例2.7.2 一维自由粒子的，问：（1） 动量是不是守恒量？（2） 宇称是不是守恒量？（3） 与是不是对易的？体系的能级是不是简并的？（4） 能量的本征态有无拟定的宇称？为什么？解 （1）由于不显含时间，且，故动量为守恒量。（2）由于具有偶宇称，故宇称守恒。（3）设为任意波函数，由于（2.7.37）这表白，与不对易。宇恒量的性质
13、三指出，体系有互相不对易的守恒量时，体系的能级是简并的。（4）能量的本征态及，均不具有拟定的宇称。事实上 (2.7.38) (2.7.39)即不是宇称算符的本征态。 此时尽管是偶宇称算符，由于体系的能级是简并的，因此没有拟定的宇称。在典型力学中,从牛顿方程出发,在一定条件下可以导出力学量的守恒定律,粗看起来,守恒定律似乎是运动方程的成果.但从本质上来看,守恒定律比运动方程更为基本,由于它表述了自然界的某些普遍法则,支配着自然界的所有过程,制约着不同领域的运动方程.守恒定律的本源就是自然界存在着的对称性,而所谓对称性,就是指体系的哈密顿算符在某种变换下的不变性.每一种变换下的不变性,都相应着某一种力学量的守恒定律.如空间反演不变性相应着对称守恒(3.7),空间平移不变性相应着动量守恒,空间旋转不变性相应着角动量守恒,时间平移不变性相应着能量守恒,等等.保持体系的哈密顿算符不变的变换称为对称变换.本章第1节讨论对称变换的性质,以及对称变换与守恒量的关系.第
