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1、2002 年一、以下结论是否成立，如成立，试证明，否则举反例。(每题 4 分，共24 分)1. 若a为f(x)的k重根，则a为f(x)的k+1重根，这里f(x)表示多项式f(x) 的微商(或导数)。2. 设 A 为 m*n 阵，B 为 n*m 阵，且 mn,则IABI=O。3. 若A，B均为n阶实对称阵，具有相同的特征多项式，则A与B相似。 4设 a1，a2，a3，a4 线性无关，则 a1+a2，a2+a3，a3+a4，a4+a1 的秩为 3。5. 设V, V2均为线性空间V的子空间，满足V与V2的交集为0，则V=V1V2。6. 设A为n阶正定阵，则一定存在正定阵B，使A=B2。二、(10分)
2、已知线性方程组Ax=kb1+b2，其中1 1 -121A=( -1 -2 1 )， b1=( 1 )， b2=( 3 )1 -1 -13-1求k，使方程组有解，并求有解时的通解。三、(10分)已知A是n阶实对称阵，a1，an是A的特征值，相对应的标准正交特征向量为b1，bn，求证A=abbT+a b b T1 1 1n n n这里“T”表示转置。101四、(12分)设线性变换/A在线性空间V的基a, a2, a3下矩阵为(-2 1 0 )1131. 求值域/AV，核/A-1(0)的基。2. 问 V=/AV+rA-1(0)吗？为什么。五、(10 分)设 A=(aij)n*n，如果 ai1+ai2
3、+ain=0, i=1,，n，求证 A11=A12=A1n这里 Aij 为 aij 的代数余子式。六、(12 分)设 A 为 n 阶矩阵，试证 A2=A 的充要条件为 r(A)+r(I-A)=n 这里I为n阶单位阵，r(A)表示A的秩。七、(10分)设A为4阶矩阵，且存在正整数k，使Ak=0,又A的秩为3,分别 求A与A2的若当(Jordan)标准型。八、(12分)证明，若f(x)与g(x)互素，并且f(x), g(x)次数都大于零，那么可以 选取 u(x), v(x)使 a(u(x)a(g(x), a(v(x)va(f(x),且有f(x)u(x)+ g(x)v(x)=1并且这样的u(x),
4、v(x)是唯一的。这里a(f(x)表示f(x)的次数。2003年填充题(每小题 6 分，共 30 分)1设 a1 ，a2，a3,耳，b2均为四维列向量，且四阶行列式| a1， a2， a3， b1|=m， | a1， a2， b2， a3|=n 则四阶行列式I a” a2，a3，(b1+b2)l=。2. 已知 a=(1，2，3)，b=(1，1/2，1/3)，设 A=aTb，其中 aT表示 a 的转置,则 A*=3.设矩阵A的行列式因子为1,a-1,(a-1)3,贝廿A的初等因子为A的若当标准型为。4. 设V是数域P上全体次数n 时， |AB|=0；(D) 当 nm 时， IABI=0。(A)当
5、mn时，IABI不等于0；(C)当nm时，IABI不等于0；3. 设n阶矩阵A可逆(n=2)，A*为A的伴随矩阵，则()(A) (A*)*=IAI(n+1)A；(C) (A*)*=IAI(n+2)A；(B) (A*)*=IAI(n-1)A；(D) (A*)*=IAI(n-2)A。1234.设Q= (2 4 t )，P为三阶非零矩阵，且满足PQ=0，贝U()369(A)当t=6时，P的秩必为1；(B)当t=6时，P的秩必为2；(C)当t不等于6时,P的秩必为1；(D)当t不等于6时,P的秩必为2。5已知片，n2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，a1，a2是Ax=0的基础解系，k, k2为
6、任意常数，则方程组Ax=b的通解(一般解)必是()(A) (n1-n2)/2+k1a1+k2(a1+a2)；(B) (n1+n2)/2+k1a1+k2(a1-a2)；(C) (n1-n2)/2+k1a1+k2(n1+n2)；(D) (n1+n2)/2+k1a1+k2(n1-n2)。三、(20分)设多项式f(x)=anxn+an xn-1+a0是整系数多项式，an不等于0, p 是素数，若 plai(i=0， 1， 2， n-1)，但 p&an，p2&a0，求证 f(x)是有理数 域上不可约多项式。四、(12 分) 设有 n 元实二次型 f(x1， ， xn)=( x1+a1x2)2+(x2+a
7、2x3)2+ +(xn-1+an-ixn)2+(xn+anxi)2,其中叩二1，口)为实数，试问：当a】，週， an满足何种条件时，二次型f(x1，x2，xn)为正定二次型。五、(18分)设V是数域P上的一个n维线性空间，a1，an是V的一个基, 用V1表示由a1+an生成的线性子空间，令 V2=lk1a1+k2a2+knanlk1+k2+kn=0, % 属于 Pl(1) 证明v2是V的子空间，(2) 证明 VrV V2，(3) 设V上线性变换A在基a1，, an下的矩阵A是变换矩阵(即：A的每 一行与每一列都只有一个元素为1,其余元素全为0),证明V1与V2都 是 A 的不变子空间。六、(
8、15 分)设 A 是 n 维线性空间 V 上可逆线性变换。(1) 试证A的逆变换A-1可表成A的多项式。(2) 如令f(a)为A的特征多项式，试证当多项式g(a)与f(a)互素时，g(A)是可 逆线性变换。七、(15分)设a1，, an与b1，, bn是n维欧氏空间V中两个向量组，满足 =vbj, bj, i,j=1,，m,这里表示内积，试证：存在正交变 换 A,是 Aai=bi，i=1，, m。八、(10分)设A1，A2，, An都是n阶非零矩阵，满足 当i=j时，A.A.=A.；当i不等于j时，A.A.=0i j ji j10证明：每个Ai (i=1, n)都相似于对角矩阵2004年一、(
9、18 分)已知齐次线性方程组(a1+b)x1+a2x2+anxn=0a1x1+(a2+b)x2+anxn=0a1x1+a2x2+(an+b)xn=0其中a1+a2+a不等于0,试讨论a1, a和b满足何种条件时，1 2 n 1 n(1) 方程组仅有零解，(2) 方程组有非零解。此时，用基础解系表示出所有解。二、(17 分)设实二次型f(x1， x2， x3)=ax12+ax22+ax32+2x1x2+2x1x3-2x2x3(1) 求正交变换X=QY把f化成标准形。(2) 问a为何值时，f的秩为2?此时，求f(X, x2，x3)=0的解。三、(15分)设舛，a为互不相同的整数，1ng(x)=(x
10、-a1)(x-an)-1(1) 求证g(x)在有理数域Q上不可约。(2) 对于不等于-1的整数t，问h(x)=(x-a1)(x-an)+t在有理数域Q上是否可约，为什么？四、(15分)设f为数域P上线性空间V上的线性变换，多项式p(x),q(x)互素,且满足p(f)q(f)=0o求证V=W辺S且W，S为f的不变子空间，这里W=K(p(f)，S= K(q(f)，其中K(g)表 示g的核。五、(10分)设m2，m3为欧式空间V的标准正交基，a=m1-2m2，b=2m1+m3，求正交 变换H,使H(a)=b。六、(10分)设A为n阶方阵，求证存在正整数m,使秩(人皿)=秩(Am+1),并证存在n阶矩
11、 阵 B,使 An=An+1B。七、(15分)设a, b均为非零n维列向量，记A=abT(1) 求A的最小多项式。(2) 求 A 的若当标准形。八、(20分)设V是数域P上全体2阶矩阵所构成的线性空间，给定一矩阵A属于V,定 义V上的变换Q如下：QX=AX， VX 属于 V(1) 证明：Q为V上的一个线性变换。(2) 取 V 的一组基 e1=(10),e2= (01),e3= (00),e4= (0 0),00 00 10 0 1求 Q 在此组基下的矩阵。(3) 求证如果A可相似对角化，则可找到V的一组基使Q在此组基下的矩阵为对角阵。九、(15分)设A, B分别为m阶和n阶矩阵，求证A, B无公共特征值的充要条件为矩阵 方程AX=XB只有零解。十、(15分)设线性空间V的两组基a1, a ； b1, b。1n 1n(1) 求证对 Vi 属于1,，n, Ea.属于a1，, an，使 b1，, b. 1，a., b，+1，, b为V的基。n(2) 如果n=3，对Vi属于1, 2, 3，是否存在j,k属于1, 2, 3, j不等于k,使b., a., a.为V的基，为什么？ji
